电磁场与电磁波第3章 静电场分析

式中 p = q d e z
根据叠加原理，体积V内电偶极子
产生的电位为：
ϕ
=
1 4πε0
∫V '
P(r′) ⋅ R3
RdV
'
∴ ∵
e R = ∇ '( 1 ) = − ∇ ( 1 )
R2
R
R
∫ ϕ = 1 P(r ')⋅∇'( 1 )dV '
4πε0 V '
R
矢量恒等式： ∇ ′ ⋅ (u A ) = u ∇ ′ ⋅ A + A ⋅ ∇ ′u
∫ ∫ ϕ ( P ) − ϕ ( P0 ) =
−
P0 d ϕ
P
=
P0 E ⋅ d l
P
∫ 设P0为参考点 ϕ (P) = P0 E ⋅ d l P
5、 电位参考点的选择原则
• 场中任意两点的电位差与参考点无关。 • 同一个物理问题，只能选取一个参考点。
• 选择参考点尽可能使电位表达式比较简单，且有意义
（第一类边值问题）ϕ S = f1(S)
已知边界上的电位法向导数，求导体电位和场
中电位分布（第二类） ∂ϕ = 已知某一部分边界电∂n位S和
f2 (S ) 另一部
分
边
界电
位
法
向导数，求场的分布（混合）。(αϕ
+β
∂ϕ ) ∂n
=
S
f3 (S )
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重要意义
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∫ ∫ ϕ (r)
=
1 4πε 0
⎡ ⎢ ⎣
(ρ f
V'
+ R
ρ p ) dV
'+
(σ
S'
f
+ σ p ) dS R
⎤ '⎥ ⎦
∫ ∫ E(r)
=
1 4πε 0
⎡ ⎢ ⎢⎣
(ρ f
V'
+ ρp)R R3
dV
'+
(σ
S'
f
+σ p)R R3
dS
⎤ '⎥ ⎥⎦
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通过ds 面跑出去的正电荷数目为 nds ⋅l
电势与电场、等位面与电力线
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在球坐标系中：ϕ p
=
q 4πε 0
(1 R
−
1) r
1
R = (r 2 + d 2 − 2rd cosθ )2
r >> d
等位线方程（球坐标系）
1 = 1 + d cosθ
p cos θ 4πε 0 r 2
= C，
r
= C'
）
• 一导体的电位为零，则该导体不带电。 （
）
• 任何导体，只要它们带电量不变，则其电位是不变的。（ ）
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2. 静电场中的电介质
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应用： 微波加热
无极性分子
常见现象： 高压线附近电晕
有极性分子
• 电介质在E作用下发生极化，形成有向排列的电偶极矩；
• 电荷分布在有限区域时，选择无穷远处为参考点；
• 电荷分布在无穷远区时，选择有限远处为参考点。
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二、 电力线与等位线（面） 电力线微分方程 E×dl = 0 ϕ ( x , y , z ) = C 等位线(面)方程 • E线不能相交; • E线起始于正电荷，终止于负电荷; • E线愈密处，场强愈大; • E线与等位线（面）正交；
cos θ
电力线微分方程 dr = rdθ
R r r2
ϕp =
qd cosθ 4πε 0r 2
=
p ⋅er 4πε 0r 2
Er
解得Ｅ线方程为
r = D sin 2 θ
Eθ
E p = −∇ϕ
E
=
−q 4πε 0
∇
⎛ ⎜⎝
l
cosθ r2
⎞ ⎟⎠
=
q 4πε 0r 3
(2 cosθ er
+
sin θ eθ
极化电荷体密度
设介质分子密度为n l +q -q
ds
θ +q +q
-q
-q
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极化时正负电荷拉开的位移为 l
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通过薄层进入介质2的正电荷为 P2 ⋅ ds， 由介质1通过薄层下侧面进入薄层的正电荷为 P1 ⋅ ds
'+
1
σ
p
(r ' ) dS
'
4πε 0 V ' R
4πε 0 S ' R
极化电荷体密度 极化电荷面密度
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讨论与引申
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• 电荷守恒
∫ ∫ − ∇ ⋅ PdV
V'
'+
S ' P ⋅ en dS ' ≡
0
• 在均匀极化的电介质内，极化电荷体密度
ρp = 0
• 有电介质存在的场域中，任一点有
)
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例3.2 求电荷面密度为σ，半径为R，
均匀带电圆盘轴线上的电场强度。
解：采用柱坐标。在园盘上取半径为r宽为dr的园环，
其元电荷dq(=σ2πrdr)在轴线上P电所产生的电位
dϕ =
dq
4πε0 r 2 + z2
= σ rdr 2ε 0 r 2 + z2
∫R
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电场力的应用
显像管
回旋加速器
静电复印机
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3.1 真空中静电场的基本方程
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一、基本变量
1、电荷分布—— ρ（r）;σ（r）; ρ（l r） 2、电场强度 电场符合矢量叠加原理
∫ E = 1
4πε 0
dq R2
e
R
ρ( r ′)d V ′ σ(r′)ds ′ ρl(r′)dl′
∫ 4πε0 v' R ∫ ρ dV ′ , σ dS ′ ,τ dl′
ϕ(r ) = 1 ρldl′ 4πε0 l′ R
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3、E与 ϕ 的微分关系 E = −∇ ϕ 4、 E与 ϕ 的积分关系
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沿着电位减少最快的方向
E ⋅ d l = −∇ϕ ⋅ d l
= −[ ∂ϕ dx + ∂ϕ dy + ∂ϕ dz ] = −dϕ ∂x ∂y ∂z
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第3章 静电场分析
3.1 真空中静电场的基本方程
3.2 电位函数
3.3 泊松方程与拉普拉斯方程
3.4 唯一性定理 3.5 电介质中的高斯定律 边界条件
3.6 电容 3.7 电场的能量
3.8 恒定电场的基本方程 边值问题
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1小结
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静电场的典型应用
静电放电 静电感应 静电屏蔽 电场力的应用 / 静电场的危害
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四、静电场的基本方程 ⎪⎧∇ × E = 0
⎨ ⎪⎩∇ ⋅ D = ρ 静电场的物理特性:
D0 = ε 0 E
1）场源：电荷（散度源），旋度为零（保守场），可定义势能。
2）电力线：非环，始于正电荷或带正电荷的导体或无穷远，终
于负电荷或带负电荷的导体或无穷远。
可判断静电场问题的解的正确性：
例：图示平板电容器的电位，哪一个解答正确？
A、ϕ 1
=
U0 d
x2
B、ϕ 2
=
U0 d
x +U0
C、ϕ 3
=
−U0 d
x +U0
正确答案：C
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• 唯一性定理表明：一旦找到某种电荷分布，既不违背导体平衡特 性，又是物理实在，则这种电荷分布就是唯一可能的分布。
如果场中无电荷分布
∇2ϕ = 0 拉普拉斯方程 例3.4.1 半径为a的带电导体球，球体电位U（无限远＝0）， 求空间的电位函数及电场。
总结 对于一维场（场量仅仅是一个坐标变量的函数），
对二阶常系数微分方程积分两次，得到通解
利用边界条件求得积分常数，得到电位的解
由 E = −∇ϕ 得到E
n
qi
i =1
n
∫ ∑ D ⋅ d S S
=
qi
i =1
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电荷是场的散度源（通量源）
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三、静电场环路定律
1. 静电场旋度
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∇ × E = 0 静电场是一个无旋场。
2. 静电场的环路定律
∫l E ⋅ d l = 0
静电场中,电场强度沿着闭合回路的环量恒等于零。 电场力作功与路径无关,静电场是保守场 无旋场一定是保守场，保守场一定是无旋场。
dS
r =r0
=
ε0
A r02
dS
=
ε0 A4π r02 r02
∴A= Q 4πε 0
ϕ= Q
(r > a)
4πε 0r
ϕ表面
= ϕ内
=
Q 4πε 0 a
(r ≤ a)
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3.4 唯一性定理
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在静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程的解是唯一的
已知边界上的电位函数，求场中的电位分布
ϕ=
σrdr
= σ [ R2 + z2 − z]
0 2ε rε 0 r 2 + z 2 2ε rε 0
E
=
−∇ϕ
=
−
∂ϕ ∂z
ez
=
σ 2εrε0
[1−
z R2 +
z2
]ez
R
→
∞
σ 2ε rε 0
ez
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3.3 泊松方程与拉普拉斯方程
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∇2ϕ = ∇ ⋅∇ϕ = − ρ ε0
电荷为 dQ = qnl ⋅ ds = p ⋅ ds
于是通过任一封闭曲面跑出去的总电荷为 Q = ∫∫ P ⋅ ds
S
由电荷守恒，V内净余的负电荷 Qp = −Q = −∫∫ P ⋅ ds
S
Qp = ∫V ρ pdτ = − ∫∫ P ⋅ ds = −∫V ∇ ⋅ Pdτ S
ρ p = −∇ ⋅ P
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静电放电
高压输电线附近的电晕
高电压测量——球隙
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静电感应
电容式传感器
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静电屏蔽
实验室的屏蔽墙
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通信电缆及光缆的铠 装
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3）电位比电场易测量。
2、已知电荷分布，求电位：
以点电荷为例推导电位：
∑ ∫ 点电荷群 ϕ(r) = 1 N qi + C
ϕ(r ) = q + C
4πε0R ϕ(r ) = 1
ρdτ ′
4πε0 τ ′ R
4πε0 i=1 R
∫ 连续分布电荷 ϕ(r) = 1
dq + C
ϕ(r ) = 1 σ dS′ 4πε0 S′ R
图中是根据导体内场强处处为零判断存在两 种实在的电荷分布的迭加就是唯一的分布
电像法——解静电问题的一种特殊方法
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图 导电微晶静电场描绘仪
移动同步探针在导电微晶 上找出若干电位相同的点， 由此便可描绘出等位线。
(1) 稳恒电流场中的电极形状应与被模拟的静电场中的带电体几 何形状相同。 (2) 稳恒电流场中的导电介质是不良导体且电导率分布均匀。 (3) 模拟所用电极系统与被模拟电极系统的边界条件相同。
∫ ∫ ϕ = −1 ∇′ ⋅ P(r ')dV '+ 1
∇ ⋅ P(r ')dV '
4πε 0 V ' R
4πε 0 V '
R
散度定理
∫ ∫ = −1 ∇ ⋅ P(r′)dV '+ 1
P(r′) ⋅ en dS '
4πε 0 V ' R
4πε 0 S ' R
∫ ∫ ∴ ϕ (r ) = 1
ρ
p
(r ' ) dV
3、电位移矢量（ Displacement）
电介质在外电场作用下，体系中电荷的微小位移所引起。 D线从正的自由电荷发出 终止于负的自由电荷。
在各向同性介质中 D = ε0E + P = ε0E + χeε0E = εrε0E = ε E
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二、真空中的高斯定律
1. 静电场的散度———高斯定律的微分形式
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∫ 体电荷产生的电场
E(r) = 1 4πε 0
τ
'
R R3
ρ (r
') d τ
'
对上式等号两端取散度 利用奇异函数的特性 2. 高斯定律的积分形式
∇
⋅E(r )
=
ρ (r ) ε0
∫ ∫ ∑ ∫τ∇ ⋅ E dτ
=
∫1 ρ d τ
ε0 τ
散度定理
∇ ⋅ Edτ
τ
=
E ⋅ dS = 1
S
ε0
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练习：求带电Q的导体球（半径为a）产生的电势
1、参考点的选择；2、对称性
∇2ϕ = 0 (r > a)
ϕ = A + B (r > 0) r
r → ∞,ϕ → 0
B≡0 ϕ = A
r
∂ϕ = ∂ϕ = − A ∂n ∂r r 2
∫ ∫ Q = −
ε0
∂ϕ ∂r
• 电介质内部和表面产生极化电荷；
• 极化电荷与自由电荷都是产生电场的源。
P
=
lim
ΔV → 0
∑p
ΔV
C/m2 电偶极矩体密度
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微波炉加热原理
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一个电偶极子产生的电位：ϕ = 1 p ⋅ eR = qd cosθ 4πε0 R2 4πε0R2
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3.5 电介质中的高斯定律 边界条件
1. 静电场中导体的性质 • 导体内电场强度E为零，静电平衡； • 导体是等位体，导体表面为等位面； • 电场强度垂直于导体表面；
• 电荷分布在导体表面，且 E = σ
ε0
静电平衡的过程
静电屏蔽
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• 接地导体都不带电。（
为什么说它们是静电场的基本方程？ 方程的两种形式之间存在什么联系、有何差异？ 它们在应用方面有何不同？
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3.2 电位函数
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一 . 电位函数
1、 电位的引出 1）矢量运算变标量运算。
∵∇ × E = 0,
2）静电场电位是单位正电荷的势能。
∴ E = − ∇ϕ