离散数学ppt
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1.3等值演算(离散数学) PPT
解答
等值 不等值
基本等值式
1.双重否定律
A ┐┐A
2.幂等律
A A∨A, A A∧A
3.交换律
A∨B B∨A， A∧B B∧A
4.结合律
(A∨B)∨C A∨(B∨C) (A∧B)∧C A∧(B∧C)
5.分配律
A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律）
A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）
等值演算的应用 –证明两个公式等值
–判断公式类型 –解判定问题
等值演算的应用举例
例3 证明两个公式等值 (p→q)→r (p∨r)∧(┐q∨r)
解答
(p→q)→r (┐p∨q)→r
（蕴含等值式、置换规则）
┐(┐p∨q)∨r （蕴含等值式、置换规则）
(p∧┐q)∨r
（德摩根律、置换规则）
(p∨r)∧(┐q∨r) （分配律、置换规则）
(蕴含等值式) (分配律) (德摩根律) (蕴含等值式)
例题
例5 证明：(p→q)→r 与 p→(q→r) 不等值
解答 方法一、真值表法。
方法二、观察法。易知，010是(p→q)→r的成假赋值，而010 是p→(q→r)的成真赋值，所以原不等值式成立。
方法三、通过等值演算化成容易观察真值的情况，再进行判断。
1.3 等值演算
两公式什么时候代表了同一个命题呢？
抽象地看，它们的真假取值完全相同时即代 表了相同的命题。
设公式A,B共同含有n个命题变项，若A与B有 相同的真值表，则说明在2n个赋值的每个赋 值下，A与B的真值都相同。于是等价式AB 应为重言式。
等值的定义及说明
定义1.10 设A,B是两个命题公式，若A,B构成的 等价式AB为重言式，则称A与B是等值的，记 作AB。
等值 不等值
基本等值式
1.双重否定律
A ┐┐A
2.幂等律
A A∨A, A A∧A
3.交换律
A∨B B∨A， A∧B B∧A
4.结合律
(A∨B)∨C A∨(B∨C) (A∧B)∧C A∧(B∧C)
5.分配律
A∨(B∧C) (A∨B)∧(A∨C) （∨对∧的分配律）
A∧(B∨C) (A∧B)∨(A∧C) （∧对∨的分配律）
等值演算的应用 –证明两个公式等值
–判断公式类型 –解判定问题
等值演算的应用举例
例3 证明两个公式等值 (p→q)→r (p∨r)∧(┐q∨r)
解答
(p→q)→r (┐p∨q)→r
（蕴含等值式、置换规则）
┐(┐p∨q)∨r （蕴含等值式、置换规则）
(p∧┐q)∨r
（德摩根律、置换规则）
(p∨r)∧(┐q∨r) （分配律、置换规则）
(蕴含等值式) (分配律) (德摩根律) (蕴含等值式)
例题
例5 证明：(p→q)→r 与 p→(q→r) 不等值
解答 方法一、真值表法。
方法二、观察法。易知，010是(p→q)→r的成假赋值，而010 是p→(q→r)的成真赋值，所以原不等值式成立。
方法三、通过等值演算化成容易观察真值的情况，再进行判断。
1.3 等值演算
两公式什么时候代表了同一个命题呢？
抽象地看，它们的真假取值完全相同时即代 表了相同的命题。
设公式A,B共同含有n个命题变项，若A与B有 相同的真值表，则说明在2n个赋值的每个赋 值下，A与B的真值都相同。于是等价式AB 应为重言式。
等值的定义及说明
定义1.10 设A,B是两个命题公式，若A,B构成的 等价式AB为重言式，则称A与B是等值的，记 作AB。
离散数学-第2讲-同态与同构ppt课件.ppt
*abcd aabcd bbbdd ccdcd ddddd
*0123
00110 11121 21232 30123
可以验证在函数h: S→S′中，其中h(a)=0, h(b)=1, h(c)=0, h(d)=1，保持 运算。因此, h: S→S′是A到B的同态。
二、同态代数的性质
例2：设S = {a, b, c, d}, S′={0, 1, 2, 3}, 代数A=<S, *>和B=<S′, >由* 下表定 义:
一、同态与同构
同构定义:
设A=<S, *, △, k>和A′=<S′, *′, △′, k′>是同构的, 如果存在 一双射函数h，使
(1) h: S → S′；
(2) h(a*b) = h(a) *′h(b)； (3) h(△a) = △′h(a)；
在h作用下，A的 每一运算都保持， 简称为运算保持
f 0表示A上的恒等函数；f 1表示f；f 2表示合成函数f·f；f 3表示f 2·f； f 4表示 f 3·f；则f 4=f 0。设F={f 0, f 1, f 2, f 3}, 则代数<F, ·, f 0>可以用左下方的运算 表给定, 这里f 0是么元。集合N4={0, 1, 2, 3},+4是模4加法,代数<N4,+4,0>用 右下方的运算表给定, 这里0是么元。
(1)
p=h(x)=h((x-1)+1)=h(x-1)·h(1)
(2)
但因为p是一质数, 唯一的因子是p和1, 根据(1), h(x)=1或h(0)=1; 根据(2), h(1)=1或h(x-1)=1。
因为0＜1≤x-1＜x, 所以，在映射h下, 1至少是两个元素的象, 得出h 不是双射函数,因此< N, +>和< I+, ·>不同构。
离散数学树ppt课件.ppt
知，G-e已不是连通图， 所以，e为桥。
(5)(6)
如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任 何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的 一个含新边的圈。
因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图， 所以，G中没有回路，也即G中无圈。
又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知，
根树的分类
(1)设T为根树，若将T中层数相同的顶点都标定次序， 则称T为有序树。
(2)分类：根据根树T中每个分支点儿子数以及是否有序 r叉树——每个分支点至多有r个儿子
r叉有序树——r叉树是有序的 r叉正则树——每个分支点恰有r个儿子
r叉正则有序树——r叉正则树是有序的 r叉完全正则树——树叶层数均为树高的r叉正则树
1，1，1，2，2，2，3
由度数列可知，Ti中有一个3度顶点vi，vi的邻域N(vi)中有3个顶 点，这3个顶点的度数列只能为以下三种情况之一：
1,1,2
1,2,2
2,2,2
设它们对应的树分别为T1，T2，T3。此度数列只能产生这三棵 非同构的7阶无向树。
例16.2
例题
例题 已知无向树T中，有1个3度顶点，2个2度顶点，其余 顶点全是树叶，试求树叶数，并画出满足要求的非同构 的无向树。
无向树的性质
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
证明
设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
例16.1
例16.1 画出6阶所有非同构的无向树。
解答 设Ti是6阶无向树。 由定理16.1可知，Ti的边数mi＝5， 由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。 于是Ti的度数列必为以下情况之一。
(5)(6)
如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任 何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的 一个含新边的圈。
因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图， 所以，G中没有回路，也即G中无圈。
又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知，
根树的分类
(1)设T为根树，若将T中层数相同的顶点都标定次序， 则称T为有序树。
(2)分类：根据根树T中每个分支点儿子数以及是否有序 r叉树——每个分支点至多有r个儿子
r叉有序树——r叉树是有序的 r叉正则树——每个分支点恰有r个儿子
r叉正则有序树——r叉正则树是有序的 r叉完全正则树——树叶层数均为树高的r叉正则树
1，1，1，2，2，2，3
由度数列可知，Ti中有一个3度顶点vi，vi的邻域N(vi)中有3个顶 点，这3个顶点的度数列只能为以下三种情况之一：
1,1,2
1,2,2
2,2,2
设它们对应的树分别为T1，T2，T3。此度数列只能产生这三棵 非同构的7阶无向树。
例16.2
例题
例题 已知无向树T中，有1个3度顶点，2个2度顶点，其余 顶点全是树叶，试求树叶数，并画出满足要求的非同构 的无向树。
无向树的性质
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
证明
设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
例16.1
例16.1 画出6阶所有非同构的无向树。
解答 设Ti是6阶无向树。 由定理16.1可知，Ti的边数mi＝5， 由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。 于是Ti的度数列必为以下情况之一。
离散数学及应用PPT课件
28.04.2020
引 言（续）
二、该课程的主要内容： 离散数学课程的主要内容可以分为四个部分： 数理逻辑，包括命题逻辑和谓词逻辑。(教材的第一、二章) 集合论，包括集合、关系和函数。（教材的第三、四章） 代数系统，包括代数系统的一般概念，几类典型的代数系
统和格。（教材的第五、六章） 图论，包括图的基本概念，几种特殊的图。 (教材的第七章)
数理逻辑：人工智能，数据库，形式语言及自动机， 高级程序设计语言。
集合论： 信息结构与检索，数据结构。 图论： 可计算性理论，计算机网络,数据结构。 代数结构：开关理论，逻辑设计和程序理论，语法
分析。 2. 通过学习离散数学，可以培养和提高自己的抽象思
维和逻辑推理能力，获得解决实际问题能力，为以 后的软、硬件学习和研究开发工作，打下坚实的数 学基础。
版） (美)Kenneth H.Rosen 著 机械工业出版社
28.04.2020
引 言（续）
七、考核方式： 期末考试成绩占70%, 平时成绩占30%.
28.04.2020
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 逻辑：是研究推理的科学。公元前四世纪由希腊的 哲学家亚里斯多德首创。作为一门独立科学，十七 世纪，德国的莱布尼兹(Leibniz)给逻辑学引进了符 号, 又称为数理逻辑(或符号逻辑)。
➢ 因此，离散数学是随着计算机科学的发 展而逐步建立的，它形成于七十年代初期， 是一门新兴的工具性学科。
28.04.2020
引 言（续）
➢ 离散数学是现代数学的一个重要分支， 是计算机科学与技术的理论基础，是计算机 科学与技术专业的核心、骨干课程。
➢ 它 以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标，其研究对象一般是有限个或可 数个元素，因此它充分描述了计算机科学离 散性的特点。
引 言（续）
二、该课程的主要内容： 离散数学课程的主要内容可以分为四个部分： 数理逻辑，包括命题逻辑和谓词逻辑。(教材的第一、二章) 集合论，包括集合、关系和函数。（教材的第三、四章） 代数系统，包括代数系统的一般概念，几类典型的代数系
统和格。（教材的第五、六章） 图论，包括图的基本概念，几种特殊的图。 (教材的第七章)
数理逻辑：人工智能，数据库，形式语言及自动机， 高级程序设计语言。
集合论： 信息结构与检索，数据结构。 图论： 可计算性理论，计算机网络,数据结构。 代数结构：开关理论，逻辑设计和程序理论，语法
分析。 2. 通过学习离散数学，可以培养和提高自己的抽象思
维和逻辑推理能力，获得解决实际问题能力，为以 后的软、硬件学习和研究开发工作，打下坚实的数 学基础。
版） (美)Kenneth H.Rosen 著 机械工业出版社
28.04.2020
引 言（续）
七、考核方式： 期末考试成绩占70%, 平时成绩占30%.
28.04.2020
第一部分 数理逻辑（Mathematical Logic)
❖ 逻辑：是研究推理的科学。公元前四世纪由希腊的 哲学家亚里斯多德首创。作为一门独立科学，十七 世纪，德国的莱布尼兹(Leibniz)给逻辑学引进了符 号, 又称为数理逻辑(或符号逻辑)。
➢ 因此，离散数学是随着计算机科学的发 展而逐步建立的，它形成于七十年代初期， 是一门新兴的工具性学科。
28.04.2020
引 言（续）
➢ 离散数学是现代数学的一个重要分支， 是计算机科学与技术的理论基础，是计算机 科学与技术专业的核心、骨干课程。
➢ 它 以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标，其研究对象一般是有限个或可 数个元素，因此它充分描述了计算机科学离 散性的特点。
离散数学PPT课件
定义2.1设A,B是两个命题公式，若A，B构成的等价 式AB为重言式，则称A与B等值，记为AB。
20
例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
7
例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
16
例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
离散数学
1
离散数学课件
离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
2
第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
20
例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
7
例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
16
例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
离散数学
1
离散数学课件
离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
2
第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
离散数学-耿素云PPT第5版1.5-6.ppt
x y
x∧y x y
x∨y x
x
与门
或门
非门
7
组合电路的例子
(x∨y)∧x的组合电路
x y
x y
第一种画法
x 第二种画法
8
例
例 楼梯的灯由上下2个开关控制, 要求按动任何一个 开关都能打开或关闭灯. 试设计一个这样的线路. 解 x,y:开关的状态, F:灯的状态, 打开为1, 关闭为0. 不妨设当2个开关都为0时灯是打开的.
2
复合联结词
与非式: pq(pq) 或非式: pq(pq)
和与, ∧,∨有下述关系: p(p∧p)pp p∧q( p∧q)(pq)(pq)(pq) p∨q(p∧q)(p)(q)(pp)(qq)
3
复合联结词(续)
ppp p∧q(pp)(qq) p∨q(pq)(pq)
定理 {}, {}是联结词4
表示串
0 1
标记*表示该项已被合并
14
例(续)
项 x1∧x3∧x4 x1∧x2∧x3 x2∧x3∧x4
x1∧x4
覆盖 (1,4) (2,4) (2,6) (3,5,6,7)
运算符数 3 3 3 2
选择(1,4), (2,4)和(3,5,6,7), 或者(1,4), (2,6)和(3,5,6,7). 最简展开式为
联结词的全功能集
定义 设S是一个联结词集合，如果任何n(n1) 元 真值函数都可以由仅含S中的联结词构成的公式表 示，则称S是联结词全功能集.
说明：若S是联结词全功能集，则任何命题公式都 可用S中的联结词表示.
设S1, S2是两个联结词集合，且S1 S2. 若S1是全
功能集，则S2也是全功能集. 反之，若S2不是全功能 集，则S1也不是全功能集.
离散数学群与子群-PPT
解:由题意,R上得二元运算★得运算表如上所示,由表知,运算★在R上就 是封闭得。
对于任意a, b, cR,(a★b)★c表示将图形依次旋转a, b和c,而 a★(b★c)表示将图形依次旋转b,c和a,而总得旋转角度都就是 a+b+c(mod 360),因此(a★b)★c= a★(b★c),即★运算满足结合性。
a
b
c
d
b
d
a
c
定理5、4、4 群〈G,*〉得运算表中任一行(列)得元素都就是G中元 素得一个置换。且不同行,不同列得置换都不同。 证明 首先,证明运算表中得任一行或任一列所含G中得一个元素不可能多 于一次。用反证法,如果对应于元素a∈G得那一行中有两个元素都就 是c,即有 a*b1=a*b2=c 且b1≠b2 由可约性可得 b1=b2,这与b1≠b2矛盾。
其次,要证明G中得每一个元素都在运算表得每一行和每一列中出现。考 察对应于元素a∈G得那一行,设b就是G中得任一元素,由于 b=a*(a1*b),所以b必定出现在对应于a得那一行中。
再由运算表中没有两行(或两列)相同得事实,便可得出:<G,*>得运算表中 每一行都就是G得元素得一个置换,且每一行都就是不相同得。同样得 结论对于列也就是成立得。
结果都等于另一个元素, ) 3) G中任何元素得逆元就就是她自己; 。 故〈G,*〉为一个群。 此外,运算就是可交换得,一般称这个群为克莱因(Klein)四元群,简称四元群。
思考练习
已知:在整数集 I 上得二元运算定义为:a,b∈I,
a b=a+b-2
证明:< I , >为群。
么元为:2 逆元:x-1＝4-x
离散数学群与子群
一、群得概念
左孝凌离散数学ppt课件
第七章 图论 7.1 图的基本概念
完全图：任意两个不同的结点都是邻接的简单图称为
完全图。n个结点的无向完全图记为Kn。
图7.1.5给出了K3和K4。从图中可以看出K3有３条边，
K4有６条边。容易证明Kn有条边。
n(n 1) 2
图7.1.5K3与K4示意图
图7.1.6
第七章 图论 7.1 图的基本概念
一个图G可用一个图形来表示且表示是不唯一的。
第七章 图论 7.1 图的基本概念
【例7.1.2】设G=〈V(G),E(G)〉,其中
V(G)={a,b,c,d},E(G)={e1,e2,e3,e4,e5,e6,e7},e1=(a,b), e2=(a,c),e3=(b,d),e4=(b,c),e5=(d,c),e6=(a,d),e7=(b,b) 。
1)若e1，e2，…，ek都不相同， 则称路μ为迹；
2)若v0，v1，…，vk都不相同， 则称路μ为通路；
3)长度大于２的闭的通路（即 除v0＝vk外，其余结点均不相同的 路）μ称作圈。
图7.1.1
第七章 图论
7.2 路与回路
例如在图7.2.1中，有连接v5 到v3的路v5e8v4e5v2e6v5e7v3，这 也是一条迹；路v1e1v2e3v3是一 条通路；路v1e1v2e3v3e4v2e1v1是 一条回路，但不是圈；路 v1e1v2e3v3e2v1是一条回路，也是 圈。
定 义 7.2.1 给 定 图 G ＝ 〈V,E〉, 设 v0,v1,…,vk∈V ， e1 ， e2，…，ek∈E，其中ei是关联于结点vi-1和vi的边，称 交替序列v0e1v1e2…ekvk为连接v0到vk的路，v0和vk分别 称为路的起点与终点。路中边的数目k称作路的长度。 当v0=vk时,这条路称为回路。
离散数学高等教育出版社配套PPT课件屈婉玲耿素云张立昂
15
子群判定定理2
定理10.6 （判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当a,b∈H 有ab1∈H.
证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea1∈H，即a1∈H. 任取a,b∈H，知b1∈H. 再利用给定条件得a(b1) 1∈H，即 ab∈H. 综合上述，可知H是G的子群.
13
10.2 子群与群的陪集分解
定义10.5 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作
H≤G. (2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作
H<G.
例如 nZ (n是自然数) 是整数加群<Z,+> 的子群. 当n≠1时, nZ是Z的真子群.
11
实例
例 5 设G是群，a,b∈G是有限阶元. 证明
(1) |b1ab| = |a|
(2) |ab| = |ba|
证 (1) 设 |a| = r，|b1ab| = t，则有
(b1ab)r (b1ab)(b1ab)...(b1ab)
r个
b1arb b1eb e
从而有t | r. 另一方面，由 a = (b1)1(b1ab)b1可知 r | t. 从而 有 |b1ab| = |a|.
实例： <Z,+>和<R,+>是无限群，<Zn,>是有限群，也是 n 阶群. Klein四元群是4阶群. <{0},+>是平凡群. 上述群都是交换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法 构成的群是非交换群.
5
群中元素的幂
子群判定定理2
定理10.6 （判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当a,b∈H 有ab1∈H.
证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea1∈H，即a1∈H. 任取a,b∈H，知b1∈H. 再利用给定条件得a(b1) 1∈H，即 ab∈H. 综合上述，可知H是G的子群.
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10.2 子群与群的陪集分解
定义10.5 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作
H≤G. (2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作
H<G.
例如 nZ (n是自然数) 是整数加群<Z,+> 的子群. 当n≠1时, nZ是Z的真子群.
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实例
例 5 设G是群，a,b∈G是有限阶元. 证明
(1) |b1ab| = |a|
(2) |ab| = |ba|
证 (1) 设 |a| = r，|b1ab| = t，则有
(b1ab)r (b1ab)(b1ab)...(b1ab)
r个
b1arb b1eb e
从而有t | r. 另一方面，由 a = (b1)1(b1ab)b1可知 r | t. 从而 有 |b1ab| = |a|.
实例： <Z,+>和<R,+>是无限群，<Zn,>是有限群，也是 n 阶群. Klein四元群是4阶群. <{0},+>是平凡群. 上述群都是交换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法 构成的群是非交换群.
5
群中元素的幂
1.7推理理论(离散数学)PPT
例2. 构造下列推理的证明
前提：p∨q, p→ r, s→t, s→r, t
结论：qБайду номын сангаас
①s→t
前提引入
② t
前提引入
③ s
①②拒取式
④ s→r
前提引入
⑤r
③④假言推理
⑥p→ r
前提引入
⑦ p
⑤⑥拒取式
⑧p∨q
前提引入
⑨q
⑦⑧析取三段论
例3. 构造下列推理的论证
前提：p→q, r→ q, r∨s, s→ q
称(A1∧A2∧…∧Ak)→B 为由前提A1,A2,…,Ak推结论 B 的推理的形式结构.
说明：
同用“A B”表示“AB”是重言式类似,用 “AB”表示“AB”是重言式.因而,若由前提 A1,A2,···,Ak推结论B的推理正确,也记
(A1∧A2∧…∧Ak)B.
于是,判断推理是否正确的方法就是判断重言蕴涵 式的方法.比如真值表法,等值演算法,主析取范式 法等.
8.(A→B)∧(C→D)∧(A∨C) (B∨D). 构造性二难
推理规则
（1）前提引入规则 在证明的任何步骤上都可以引入前提。
（2）结论引入规则 在证明的任何步骤上所得到的结论都可以作为
后继证明的前提。
（3）置换规则 在证明的任何步骤上，命题公式中的子公式都
可以用与之等值的公式置换，得到公式序列中的又 一个公式。
①p∨ s
前提引入
②s
附加前提引入
③p
①②析取三段论
④p→ (q→r)
前提引入
⑤q→r
③④假言推理
⑥q
前提引入
⑦r
⑤⑥假言推理
四、归谬法
若A1∧A2∧…∧An 是可满足式，则称A1 ,A2,…,An 是相 容的，
精品课程《离散数学》PPT课件(全)(1)
13
1.1 命题符号化及联结词
命题与命题变项象程序语言中常量与变量的关系一样。
例：5是一个常量，是一个确定的数字，而x是一个变量， 赋给它一个什么值它就代表什么值，即x的值是不定的。
例3：判断下列句子是否为命题？
1．张校长的头发有一万根。
（是）
2．我所说的是假的。
（否）
14
1.1 命题符号化及联结词
式公式。 （2）称A是n+1(n≥0)层公式是指下列情况之一：
(a) A= B,B是n层公式; (b)A=B∧C,其中B,C分别为i层和j层公式,且n=max(i,j) ； (c) A=B ∨ C,其中B,C的层次及n同(b); (d) A=B ∨ C,其中B,C的层次及n同(b); (e) A=B C,其中B,C的层次及n同(b); (f) A=B C,其中B,C的层次及n同(b);
4
第一章 命题逻辑
❖ 数理逻辑是研究推理（即研究人类思维的形式 结构和规律）的科学，起源于17世纪，它采用 数学符号化的方法，因此也称为符号逻辑。
❖ 从广义上讲，数理逻辑包括四论、两演算—— 即集合论、模型论、递归论、证明论和命题演 算、谓词演算，但现在提到数理逻辑，一般是 指命题演算和谓词演算。本书也只研究这两个 演算。
6
第一章 命题逻辑
❖ 数理逻辑与计算机学、控制论、人工智能的相 互渗透推动了其自身的发展，模糊逻辑、概率 逻辑、归纳逻辑、时态逻辑等都是目前比较热 门的研究领域。
❖ 本篇我们只从语义出发，对数理逻辑中的命题 演算与谓词演算等作一简单的、直接的、非形 式化的介绍，将不涉及任何公理系统。
7
1.1 命题符号化及联结词
运算规则：
p
q
p q
1.1 命题符号化及联结词
命题与命题变项象程序语言中常量与变量的关系一样。
例：5是一个常量，是一个确定的数字，而x是一个变量， 赋给它一个什么值它就代表什么值，即x的值是不定的。
例3：判断下列句子是否为命题？
1．张校长的头发有一万根。
（是）
2．我所说的是假的。
（否）
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1.1 命题符号化及联结词
式公式。 （2）称A是n+1(n≥0)层公式是指下列情况之一：
(a) A= B,B是n层公式; (b)A=B∧C,其中B,C分别为i层和j层公式,且n=max(i,j) ； (c) A=B ∨ C,其中B,C的层次及n同(b); (d) A=B ∨ C,其中B,C的层次及n同(b); (e) A=B C,其中B,C的层次及n同(b); (f) A=B C,其中B,C的层次及n同(b);
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第一章 命题逻辑
❖ 数理逻辑是研究推理（即研究人类思维的形式 结构和规律）的科学，起源于17世纪，它采用 数学符号化的方法，因此也称为符号逻辑。
❖ 从广义上讲，数理逻辑包括四论、两演算—— 即集合论、模型论、递归论、证明论和命题演 算、谓词演算，但现在提到数理逻辑，一般是 指命题演算和谓词演算。本书也只研究这两个 演算。
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第一章 命题逻辑
❖ 数理逻辑与计算机学、控制论、人工智能的相 互渗透推动了其自身的发展，模糊逻辑、概率 逻辑、归纳逻辑、时态逻辑等都是目前比较热 门的研究领域。
❖ 本篇我们只从语义出发，对数理逻辑中的命题 演算与谓词演算等作一简单的、直接的、非形 式化的介绍，将不涉及任何公理系统。
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1.1 命题符号化及联结词
运算规则：
p
q
p q
离散数学一阶逻辑.ppt
义可以看出，对于任意的谓词A(x), 都有：
xA(x) A(a1)∧A(a2) ∧…∧A(an); xA(x) A(a1)∨A(a2) ∨…∨A(an).
多个量词同时出现时，不能随意颠倒他们的顺序。
15
例题
对任意的x，存在着y，使得 x+y=5.
H(x,y)表示x+y=5 可符号化成：x y H(x,y) 不可符号化成： y x H(x,y)
P37. 例题2.2、2.3、2.4、2.5
16
第二章 一阶逻辑
第2章 一阶逻辑
2.1 一阶逻辑基本概念 2.2 一阶逻辑合式公式及解释 2.3 一阶逻辑等值式
17
2.2 一阶逻辑公式及解释
合式公式(简称公式) 个体变项的自由出现和约束出现 解释与分类
18
一阶逻辑合式公式采用字母表
个体词:是可以独立存在的客体. 个体常项:用小写的英文字母
a,b,c,d…. 个体变项:用小写的英文字母
x,y,z…. 个体域:个体的取值范围. 全总个体域:指宇宙中的一切事物.
7
2.谓词的相关概念
谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词
谓词常项：F(a)：a是人 谓词变项：F(x)：x具有性质F
在解释N下,下面那些公式为
真命题;
真?那些公式为假?
(3) x+y=y+z
(1)xF(g(x,a),x);
真值不确定,不是命题.
(2)xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a) ,x));
(3)F(f(x,y),f(y,z))
30
公式的分类
设A为一公式(谓词公式) 如果A在任何解释下都是真的, 称A为 逻辑有效式(或永真式); 如果A在任何解释下都是假的, 称A为 矛盾式(或永假式); 若至少存在一个解释使A为真, 则称A 是可满足式(协调式).
xA(x) A(a1)∧A(a2) ∧…∧A(an); xA(x) A(a1)∨A(a2) ∨…∨A(an).
多个量词同时出现时，不能随意颠倒他们的顺序。
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例题
对任意的x，存在着y，使得 x+y=5.
H(x,y)表示x+y=5 可符号化成：x y H(x,y) 不可符号化成： y x H(x,y)
P37. 例题2.2、2.3、2.4、2.5
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第二章 一阶逻辑
第2章 一阶逻辑
2.1 一阶逻辑基本概念 2.2 一阶逻辑合式公式及解释 2.3 一阶逻辑等值式
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2.2 一阶逻辑公式及解释
合式公式(简称公式) 个体变项的自由出现和约束出现 解释与分类
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一阶逻辑合式公式采用字母表
个体词:是可以独立存在的客体. 个体常项:用小写的英文字母
a,b,c,d…. 个体变项:用小写的英文字母
x,y,z…. 个体域:个体的取值范围. 全总个体域:指宇宙中的一切事物.
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2.谓词的相关概念
谓词: 表示个体词性质或相互之间关系的词
谓词常项：F(a)：a是人 谓词变项：F(x)：x具有性质F
在解释N下,下面那些公式为
真命题;
真?那些公式为假?
(3) x+y=y+z
(1)xF(g(x,a),x);
真值不确定,不是命题.
(2)xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a) ,x));
(3)F(f(x,y),f(y,z))
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公式的分类
设A为一公式(谓词公式) 如果A在任何解释下都是真的, 称A为 逻辑有效式(或永真式); 如果A在任何解释下都是假的, 称A为 矛盾式(或永假式); 若至少存在一个解释使A为真, 则称A 是可满足式(协调式).
清华大学离散数学ppt课件
对于有穷集，极小元和极大元必存在，可能存在多个. 最小元和最大元不一定存在，如果存在一定惟一. 最小元一定是极小元；最大元一定是极大元. 孤立结点既是极小元，也是极大元.
19
偏序集的特定元素(续)
定义4.29 设<A, ≼>为偏序集, BA, yA.
（1） 若x (x∈B→x≼y) 成立, 则称 y 为B 的上界.
实例：数集上的小于或等于关系是全序关系 整除关系不是正整数集合上的全序关系 {1, 2, 4, 6}集合上的整除关系, 2覆盖1, 4 和 6 覆盖2. 但4不覆盖1.
15
偏序集与哈斯图
定义4.27 集合A和A上的偏序关系≼一起叫做偏序集, 记 作<A,≼>. 实例：整数集和数的小于等于关系构成偏序集<Z,≤>
定义4.28 设<A,≼>为偏序集, BA, y∈B. (1) 若x(x∈B→y≼x)成立, 则称 y 为 B 的最小元. (2) 若x(x∈B→x≼y)成立, 则称 y 为 B 的最大元. (3) 若x(x∈B∧x≼y→x=y)成立, 则称 y 为B的极小元. (4) 若x(x∈B∧y≼x→x=y)成立, 则称 y 为B的极大元.
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物.
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
23
请您欣赏
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偏序集的特定元素(续)
定义4.29 设<A, ≼>为偏序集, BA, yA.
（1） 若x (x∈B→x≼y) 成立, 则称 y 为B 的上界.
实例：数集上的小于或等于关系是全序关系 整除关系不是正整数集合上的全序关系 {1, 2, 4, 6}集合上的整除关系, 2覆盖1, 4 和 6 覆盖2. 但4不覆盖1.
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偏序集与哈斯图
定义4.27 集合A和A上的偏序关系≼一起叫做偏序集, 记 作<A,≼>. 实例：整数集和数的小于等于关系构成偏序集<Z,≤>
定义4.28 设<A,≼>为偏序集, BA, y∈B. (1) 若x(x∈B→y≼x)成立, 则称 y 为 B 的最小元. (2) 若x(x∈B→x≼y)成立, 则称 y 为 B 的最大元. (3) 若x(x∈B∧x≼y→x=y)成立, 则称 y 为B的极小元. (4) 若x(x∈B∧y≼x→x=y)成立, 则称 y 为B的极大元.
Being kind is more important than being right. 善良比真理更重要.
You should never say no to a gift from a child. 永远不要拒绝孩子送给你的礼物.
Sometimes all a person needs is a hand to hold and a heart to understand. 有时候,一个人想要的只是一只可握的手和一颗感知的心.
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