55空间曲线的切线与弧长
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
不同时为零,则称曲线是光滑曲线.
第5页/共16页
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 位置.
过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.
T
M
T
M
第6页/共16页
曲线方程为参数方程的情况
设 t t0 对应M (x0 , y0 , z0 )
T
M
t t0 t 对应 M (x0 x, y0 y, z0 z)
部点.
r
rrr
曲线的向量表示 r t xti yt j ztk.
第4页/共16页
空间曲线是指区间 a,b 到空间 R3的一个连
续映射的像.
若 xt, yt, z t在 a,b 有连续的导
数,且对于每一点 ca,b, xt, yt, zt
二式相减,
得
z
1 2
,
将它代入原方程组的第一式(或第二式)
即得投影柱面方程 x2 y2 3 , 4
于是,所求C在 xoy 面上的投影曲线的方程是
x2 y2 3 ,
4
z 0,
第15页/共16页
例. 圆柱螺旋线
在 xoy, yoz, zox 面上的投影曲线分别是.
x2 y2 R2,
故我们可用不同的方法选择其中二个曲面, 使其交线是给定的曲线.
例如
x 0,
y
0,
x y 0,
及
x
y
0,
都表示同一空间直线 oz 轴.
第11页/共16页
设空间曲线C:
F1 F2
x, x,
y, y,
z z
0, 0,
1
消去变量 z 后得到方程 F x, y 0,
y2
表a 2示怎样的曲 4
解 z a2 x2 y2
上半球面,
( x a )2 y2 a2 圆柱面,
2
4
交线如图.
第3页/共16页
x x(t)
y
y(t )
空间曲线的参数方程
z z(t)
当给定 t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
第8页/共16页
例. 求圆柱螺旋线
对应点处的切线方程和法平面方程. 解: 由于
对应的切向量为 T (R , 0, k), 故
切线方程
x
yR
z
2
k
R 0
k
即
k y
x Rz R0
2
R
k
0
法平面方程
R
x
k
(
z
2
k
)
0
x
即
R
x
k
z
2
k
2
0
第9页/共16页
割线 MM 的方程 :
切线方程 x x0 y y0 z z0 r r x(t0 ) y (tr0 ) z (t0 )
即 r r t a t b 在 r t0 处的切线方程是
rr rr t0 +urr t0 u R
第7页/共16页
z
0,
z
y
R
sin
z k
,
x 0,
x R cos z ,
k
y 0,
第16页/共16页
o
x
y
在
z o M0
y
曲线的弧长
x xt,
曲线的参数方程
y yt,
z zt,
a t b,
则弧微分 ds rrt dt
xt 2 yt 2 zt 2 dt.
弧长
S
b
a
rrt
dt
b
a
xt 2 yt 2 zt 2 dt.
如：例2
第10页/共16页
*投影曲线与投影柱面
任一空间曲线可以看作是二个曲面的交线
FF12
x, x,
y, y,
z z
0, 0,
1
空间曲线的一般方程
因为通过一空间曲线的曲面可以有无穷多个,
此处要求 x(t0 ) , y(t0 ) , z(t0 ) 不全为0, 如个别为0, 则理解为分子为 0 .
切线的方向向量:
T (x(t0 ) , y(t0 ) , z(t0 )) 称为曲线的切向量 .
T
M
r(t) o
也是法平面的法向量, 因此得法平面方程
x(t0 )(x x0 ) y(t0 ) ( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
这是一个母线平行于 z 轴的柱面,称之为投影柱面
它显然通过空间曲线C
称
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F z
x, y
0,
0,
为C在 xoy 面上的投影(曲线)
同理,消去(1)中的 x 或 y ,可得曲线C在 yoz 或 zox 平面
上的投影 G y, z 0,
x
0,
或
H x, z 0,
y
0,
第12页/共16页
过程：
空间曲线
投影柱面
第13页/共16页
投影曲线
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体 曲 面
第14页/共16页
例求
C
:
x2 x2
y2 z2 1,
y2 z 12
1,
在 xoy 面上的投影曲线.
解: 先求C投影到 xoy 面的投影柱面,即只要从二方程消去 z
2x 3 y 3z 6
解 x2 y2 1 表示圆柱面， 2x 3 y 3z 6 表示平面， x2 y2 1 2x 3 y 3z 6
交线为椭圆.
第2页/共16页
例 方程组 线？
z a2 x2 y2
( x
a )2 2
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
空间曲线的一般方程
特点： 曲线上的点都满 足方程，满足方程的点都 在曲线上，不在曲线上的 x 点不能同时满足两个方程.
z
S1
S2
C
o
y
第1页/共16页
例 方程组 线？
x2 y2 1
表示怎样的曲
第5页/共16页
空间光滑曲线在点 M 处的切线为此点处割线的极限 位置.
过点 M 与切线垂直的平面称为曲线在该点的法平面.
T
M
T
M
第6页/共16页
曲线方程为参数方程的情况
设 t t0 对应M (x0 , y0 , z0 )
T
M
t t0 t 对应 M (x0 x, y0 y, z0 z)
部点.
r
rrr
曲线的向量表示 r t xti yt j ztk.
第4页/共16页
空间曲线是指区间 a,b 到空间 R3的一个连
续映射的像.
若 xt, yt, z t在 a,b 有连续的导
数,且对于每一点 ca,b, xt, yt, zt
二式相减,
得
z
1 2
,
将它代入原方程组的第一式(或第二式)
即得投影柱面方程 x2 y2 3 , 4
于是,所求C在 xoy 面上的投影曲线的方程是
x2 y2 3 ,
4
z 0,
第15页/共16页
例. 圆柱螺旋线
在 xoy, yoz, zox 面上的投影曲线分别是.
x2 y2 R2,
故我们可用不同的方法选择其中二个曲面, 使其交线是给定的曲线.
例如
x 0,
y
0,
x y 0,
及
x
y
0,
都表示同一空间直线 oz 轴.
第11页/共16页
设空间曲线C:
F1 F2
x, x,
y, y,
z z
0, 0,
1
消去变量 z 后得到方程 F x, y 0,
y2
表a 2示怎样的曲 4
解 z a2 x2 y2
上半球面,
( x a )2 y2 a2 圆柱面,
2
4
交线如图.
第3页/共16页
x x(t)
y
y(t )
空间曲线的参数方程
z z(t)
当给定 t t1 时，就得到曲线上的一个点 ( x1 , y1 , z1 )，随着参数的变化可得到曲线上的全
第8页/共16页
例. 求圆柱螺旋线
对应点处的切线方程和法平面方程. 解: 由于
对应的切向量为 T (R , 0, k), 故
切线方程
x
yR
z
2
k
R 0
k
即
k y
x Rz R0
2
R
k
0
法平面方程
R
x
k
(
z
2
k
)
0
x
即
R
x
k
z
2
k
2
0
第9页/共16页
割线 MM 的方程 :
切线方程 x x0 y y0 z z0 r r x(t0 ) y (tr0 ) z (t0 )
即 r r t a t b 在 r t0 处的切线方程是
rr rr t0 +urr t0 u R
第7页/共16页
z
0,
z
y
R
sin
z k
,
x 0,
x R cos z ,
k
y 0,
第16页/共16页
o
x
y
在
z o M0
y
曲线的弧长
x xt,
曲线的参数方程
y yt,
z zt,
a t b,
则弧微分 ds rrt dt
xt 2 yt 2 zt 2 dt.
弧长
S
b
a
rrt
dt
b
a
xt 2 yt 2 zt 2 dt.
如：例2
第10页/共16页
*投影曲线与投影柱面
任一空间曲线可以看作是二个曲面的交线
FF12
x, x,
y, y,
z z
0, 0,
1
空间曲线的一般方程
因为通过一空间曲线的曲面可以有无穷多个,
此处要求 x(t0 ) , y(t0 ) , z(t0 ) 不全为0, 如个别为0, 则理解为分子为 0 .
切线的方向向量:
T (x(t0 ) , y(t0 ) , z(t0 )) 称为曲线的切向量 .
T
M
r(t) o
也是法平面的法向量, 因此得法平面方程
x(t0 )(x x0 ) y(t0 ) ( y y0 ) z(t0 )(z z0 ) 0
这是一个母线平行于 z 轴的柱面,称之为投影柱面
它显然通过空间曲线C
称
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
F z
x, y
0,
0,
为C在 xoy 面上的投影(曲线)
同理,消去(1)中的 x 或 y ,可得曲线C在 yoz 或 zox 平面
上的投影 G y, z 0,
x
0,
或
H x, z 0,
y
0,
第12页/共16页
过程：
空间曲线
投影柱面
第13页/共16页
投影曲线
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体 曲 面
第14页/共16页
例求
C
:
x2 x2
y2 z2 1,
y2 z 12
1,
在 xoy 面上的投影曲线.
解: 先求C投影到 xoy 面的投影柱面,即只要从二方程消去 z
2x 3 y 3z 6
解 x2 y2 1 表示圆柱面， 2x 3 y 3z 6 表示平面， x2 y2 1 2x 3 y 3z 6
交线为椭圆.
第2页/共16页
例 方程组 线？
z a2 x2 y2
( x
a )2 2
空间曲线C可看作空间两曲面的交线.
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
空间曲线的一般方程
特点： 曲线上的点都满 足方程，满足方程的点都 在曲线上，不在曲线上的 x 点不能同时满足两个方程.
z
S1
S2
C
o
y
第1页/共16页
例 方程组 线？
x2 y2 1
表示怎样的曲