高等数学(工程数学)第二版第三册--物理类专业课后答案[1]

1 z2 0 x2
1 y2 x 0
2
, ( xyz ≠ 0)
0 21 左边 = ( xyz ) c2 ÷ x 1 c3 ÷ y c4 ÷ z 1
r2 ÷ x r3 ÷ y r4 ÷ z
1 0 z xHale Waihona Puke Baidu y xz
1 z2 0 x2
1 z xy 0 x yz
1 r2 × xyz 0 r3 × xyz y xz r4 × xyz 1 xyz = xyz xyz x yz 0 xyz
6. 利用行列式的定义计算 （4） ）
x 0 0 0 y
y x 0 0 0
0 y x 0 0
0 0 y x 0
0 0 0 = y x ( −1)τ ( j1L j5 ) a1 j1 a 2 j2 a 3 j3 a4 j4 a5 j5 ∑
j1 L j5
其中非0项为： 其中非 项为： 项为
( −1)τ (12345 ) a11a 22a 33 a44a55 + ( −1)τ ( 23451) a12 a 23 a 34 a45 a51 = x5 + y5
( x1 − x2 )( y1 − y2 ) ∴原式 = A + B = 0
n=2 n>3
（6） x1 − m ）
x1 L x1
x2 x2 − m L x2
L L L L
xn xn L xn − m
1 解： c 1 + c 2 + L+ c n n 1 ∑ xi − m 原式 = L i =1 1 1
1 0 z2 y2
1 z2 0 x2
1 y2 x2 0
0 c1 ÷ xyz 1 = 1 1
1 0 z2 y2
1 y2 = 右边 2 x 0
10. 计算行列式。 计算行列式。 b c d （1） a ） a a+b a+b+c a+b+c+d a 2a + b 3a + 2b + c 4a + 3b + 2c + d a 3a + b 6a + 3b + c 10a + 6b + 3c + d 解： a b c d a a+b a+b+c ri − ri −1 0 a a+b a + b + c 按第一 a a 2a + b 3a + 2b + c = 原式 = i = 4, 3, 2 0 a 2a + b 3a + 2b + c 列展开 a 3a + b 6a + 3b + c 0 a 3a + b 6a + 3b + c
a11a 23a 32 a44 , a12 a 23a 34 a41 , a14 a 23a 31a42
6. 利用行列式的定义计算 （2） ）
a11 a 21 a 31 a41 a51
a12 a 22 a 32 a42 a52
a13 a 23 0 0 0
a14 a 24 0 0 0
a15 a 25 0 = 0 0 ( −1)τ ( j1L j5 ) a1 j1 a 2 j2 a 3 j3 a4 j4 a5 j5 ∑
a2 − a1 原式 = a3 − a1 i = 2 , 3 ,Ln L an − a1 a1 − b1 a2 − a1 a3 − a1 L an − a1
c i − c1 i = 2 , 3Ln
=
b1 − b2 0 0 L 0
b1 − b3 0 0 L 0
b1 − bn 0 (a2 − a1 )(b2 − b1 ) n = 2 0 = n>2 0 L 0
1. 计算下列排列的反序数，从而判断奇偶性。 计算下列排列的反序数，从而判断奇偶性。 （3） τ (n( n − 1) L 321) ）
= ( n − 1) + ( n − 2) + L + 2 + 1 n( n − 1) = 2
（4） ）
τ (135L( 2n − 1)246L ( 2n))
= 0 + 1 + 2 + L + ( n − 1) n( n − 1) = 2
n( n − 1) ∑ l (i j ) = (n − 1) + (n − 2) + L + 1 + 0 = 2 j =1
n
n( n − 1) τ ( in in−1 L i1 ) = − τ ( i1 i2 L in ) 2
5. 写出四阶行列式中含因子 a 23 且带负号的项。 且带负号的项。 解：四阶行列式中的项为 a1 j1 a 2 j2 a 3 j3 a4 j4
sin 2 α （2） ） sin 2 β sin 2 γ
证明： 证明：
cos 2 α cos 2 β cos 2 γ
cos 2α cos 2 β = 0 cos 2γ
cos 2 α cos 2 β cos 2 γ cos 2 α - sin 2 α cos 2 β - sin 2 β cos 2 γ - sin 2 γ
（5） 1 + x1 y1 1 + x1 y2 L 1 + x1 yn ）
1 + x2 y1 1 + x2 y2 L 1 + x2 yn L L L L
1 + xn y1 1 + xn y2 L 1 + xn yn
解：
1
1 + x1 y2 L 1 + x1 yn
x1 y1
1 + x1 y2 L 1 + x1 yn
L L
1 0
2 2
3 6
L L
n 2n 2n = n! L n
原式
0 0 3 L i = 2 , 3Ln L L L L 0 0 0 L
=
（3） x1 a12 a13 L a1n − 1 ）
x1 x1 x2 x2 a23 L a2 n − 1 x3 L a3 n − 1 L L x3 L x3 L L xn − 1 xn − 1
c a
1 1 1 2
=
9. 不展开行列式，证明下列等式成立。 不展开行列式，证明下列等式成立。 （1） b + c ）
c+a c'+ a'
a+b
a
b
c
a'+ b' = 2 a' b' c' b' '+ c' ' c' '+ a' ' a' '+ b' ' a' ' b' ' c' '
证明： 证明：
b'+ c'
左边
c 2 − c1 c 3 − c1
( c1 + c 2 + c 3 ) ÷ 2
=
a+b+c c+a a+b 2 a'+ b'+ c' c'+ a' a'+ b' a' '+ b' '+ c' ' c' '+ a' ' a' '+ b' '
a+b+c a+b+c b c −b −c b' c' = 右边 = 2 a'+ b'+ c' − b' − c' = 2 a'+ b'+ c' a' '+ b' '+ c' ' − b' ' − c' ' a' '+ b' '+ c' ' b' ' c' '
1 1 + x2 y2 L 1 + x2 yn x2 y1 1 + x2 y2 L 1 + x2 yn 原式 = + L L L L L L L L 1 1 + x n y 2 L 1 + x n yn xn y1 1 + xn y2 L 1 + xn yn = A+ B
1
c i − c1
x1 y2 L x1 yn x 2 y2 L x 2 yn L x n y2 x2 y2 − x1 y2 = L L 0 L x n yn n=2 n>2
8. 利用行列式的性质计算 （3） ）
a b c b+c 2
r4 − r2 − r3
1 a b c 1 r4 ÷ 1 1 b 2 c a a b 1 = 2 c a b c+a a+b 1 b+c c+a a+b 2 2 a b c 1 1b c a 1 =0 2c a b 1 0 0 0 0
b c
A
i = 2 , 3Ln
=
1 L 1
x1 1 + x1 y2 x 2 1 + x 2 y2 B = y1 L L x n 1 + x n y2 y1 ( x1 − x2 ) = 0
L 1 + x1 yn L 1 + x2 yn L L L 1 + x n yn n=2 n>3
x1 1 L 1 c i − y i ⋅ c1 x2 1 L 1 = y1 i = 2 , 3Ln L L L L xn 1 L 1
sin 2 α 左边 = sin 2 β sin 2 γ
c 3 + c1
sin 2 α
cos 2 α cos 2 β cos 2 γ
cos 2 α cos 2 β cos 2 γ
= sin 2 β sin 2 γ
= 0 = 右边
（3）0 x y z 0 1 ） x 0 z y 1 0 = y z 0 x 1 z2 z y x 0 1 y2 证明： 证明：
j1 L j5
如何组合， 分析 a1 j1 a 2 j2 a 3 j3 a4 j4 a5 j5 ，无论 j1 j2 j3 j4 j5 如何组合， 中都至少有一个数字≥3， 在 j3 j4 j5 中都至少有一个数字 ，使得 a1 j1 a 2 j2 a 3 j3 a4 j4 a5 j5 中出现 a ij ( i ≥ 3, j ≥ 3) ，使得 a1 j1 a 2 j2 a 3 j3 a4 j4 a5 j5 = 0 因此该行列式的值为0. 因此该行列式的值为
a1 − b2 a2 − a1 a3 − a1 L an − a1 a1 − b3 a2 − a1 a3 − a1 L an − a1 L L L L L L L L L a1 − bn a2 − a1 a3 − a1 L an − a1
a2 − b1 L
an − b1
解：
ri − r1
a1 − b1
a1n a2 n a3 n L a( n − 1 ) n xn
L L x1 x2 x1 x2
0 ri − ri −1 0 = i = n , n − 1,L2 L 0 0
解：
x1
a12 x2 − a12 0 L 0 0
a13 a23 − a13 x3 − a23 L 0 0
L
a1n − 1
a1n a2 n − a1n a3 n − a2 n L a( n − 1 ) n − a( n − 2 ) n x n − a( n − 1 ) n
∑ [l (i ) − r (i )] = ∑ l (i ) − ∑ r (i )
n n n j =1 j j j =1 j j =1 j
个不相等的自然数， 对于任意 n 个不相等的自然数，其中最大的数字有 n-1 个小 于它的， 个小于它的， 因此， 于它的，次大的数字有 n-2 个小于它的，…… 因此，
c i − c1 × x i
x2 x2 − m L x2 L L L L 0 0 L −m
L L L L
xn xn L xn − m
0 −m L 0
n 1 = ∑ xi − m L i = 2 , 3Ln i =1 1
2. 已知排列 i1 i 2 L i n 的反序数，求 in i n −1 L i1 的反序数。 的反序数， 的反序数。 解：对于排列 i1 i 2 L i n 中的数字 i j ，设排列中有 l ( i j ) 个 小于它的数字，设这些小于它的数字中， 小于它的数字，设这些小于它的数字中，位于其右边的 有 r ( i j ) 个，则位于其左的有 l ( i j ) − r ( i j ) 个。 则： ( in in −1 L i1 ) = τ
L a2 n − 1 − a1n − 1 L a3 n − 1 − a2 n − 1 L L L xn − 1 − a( n − 2 )( n − 1) L 0
= x1 ( x2 − a12 )( x3 − a23 )L( xn − a( n − 1) n )
（4） a1 − b1 ）
a1 − b2 L a1 − bn a2 − b2 L a2 − bn L L L an − b2 L an − bn
j1 j2 j3 j4
则
是数字1、 、 、 的组合 的组合。 是数字 、2、3、4的组合。
含因子 a 23 时，令
j2 = 3
j1 j2 j3 j4 可能的组合有： 可能的组合有：
1324，1342，2314，2341，4312，4321 ， ， ， ， ， 其中奇排列为： 其中奇排列为：1324，2341，4312 ， ， 且带负号的项为： 则含因子 a 23 且带负号的项为：
ri − ri −1
a a+b a+b+c a a 2a + b 3a + b
= a0 i = 3,2 0
按第一 列展开
= a
a 2a + b = a 4 2 a 3a + b
（2） 1 ）
2 0 -2 L -2
3 3 0 L -3
L L L L
n n n 0
-1 -1 L -1
解：
c i + c1