平面向量总复习.ppt

a2 )
⑤|a· b|≤|a|· |b|
四、向量垂直的判定
（ 1 ） a b a b 0 向量表示 坐标表示 （ 2 ） a b x x y y 0 1 2 1 2 五、向量平行的判定(共线向量的判定)
（ 1 ） a // b b a （ a 0 ） 向量表示 （ 2 ） b / / a x y x y 0 ， 其 中 a （ x ， y ） ， b （ x ， y ） 1 2 2 1 1 1 2 2
平面向量
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向量 向量有关概念 向量的定义 单位向量及零向量 相等向量及相反向量 平行向量和共线向量 向量的运算 向量的加法 向量的减法 实数和向量的积 向量的数量积 基本应用 平行与垂直的条件 求长度 求角度
一、向量的概念 1、向量：既有 大小 ，又有 方向 二、向量的表示 1、代数字母表示： AB 或 a 2、几何有向表示：
例2 设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_____(k∈R)
解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b
2a+kb=λ(2a-b)=2λa-λb
2=2λ
k=-λ
∴
λ=-1
k=-1
∴k=-1
例3、 已知a=(3,-2) b=(-2,1) c=(7,-4)， 用a、b表示c。 解：c = m a+n b (7,-4)=m(3,-2)+n(-2,1) 3m-2n=7 m=1 -2m+n=-4 n=-2 c = a-2b
y
|或 | a| （可运算） | AB
的量 叫做向量。
向量的两要素： 大小 和 方向 （与位置无关，没有大小）
（有向线段、作图）
3、坐标表示：（综合运算）
（ x， y） ax iyj
OA （ x， y）
a j x O i
y
A (x,y)
a
x
三、几个特点向量 1、零向量：长度为零 的向量叫零向量。记作
六、向量的长度
| a | a （ 1 ） a a |a |，
2
2
坐标表示
（ 2 ） 设 ax （ ， y ） ， 则 | a | x 2 y 2
2 2 （ 3 ）若 A （ x ， y ）， B （ x ， y ），则 | AB | （ x x ） （ y y ） 1 1 2 2 1 2 1 2 x x y y 1 2 1 2 七、向量的夹角 cos a b 2 2 2 2 x y x y | a || b | 1 1 2 2
1、作图 平行四边形法则： 2、坐标运算： 设 a （ x ， y ） ， b （ x ， y ） 1 1 2 2
则a b （ x x ， y y ） 1 2 1 2
平行四边形法则：
b
B
A
C
B
a ( R ) （三）数乘向量 λ
（1）长度： a 1、 a 的大小和方向：
1、平面向量数量积的定义： a b | a| | b| cos
2、数量积的几何意义： 等 于 a 的 长 度 | a | 与 b 在 a 方 向 上 的 投 影 | b | c o s. 的 乘 积

A
3、数量积的坐标运算
B
a b x x y y 1 2 1 2
O B1 4、运算律: （ 1 ） abb a （ 2 ）（ a ） b （ a b ） a （ b ） θ
பைடு நூலகம்
a
a 与 a 同 向 0时， （2）方向： 当 当 0 时 ， a 与 a 异 向
（ x ， y ） （ xy ， ） 2、数乘向量的坐标运算 ： a 3、数乘向量的运算律： a a （ a b ） ab （ ） a a a 4、平面向量基本定理
如 果 ee ， 是 同 一 个 平 面 内 的 两 个 不 共 线 向 量 ， 那 么 对 于 1 2 这 一 平 面 内 的 任 一 向 量 a ， 有 且 只 有 一 对 实 数 ， 使 1 2 a e e 1 1 2 2

当 0时， a 0

(四) 数量积
0 ，
零向量的方向是 任意的 ，零向量与任意向量 平行 。 a 2、单位向量：长度为1 的向量叫单位向量。记作 | a | 。
3、相等向量： 长度相等，方向相同 的向量叫相等向量。
4、相反向量： 长度相等，方向相反的向量叫相反向量。
5、平行向量：表示向量的一些有向线段，平行或在一直线上
的向量叫平行向量。 注意：共线向量也称平行向量 6、请说出以上向量的相互关系？
三、向量的运算
（一）向量的加法 三角形法则：A B B C A Ca + b 1、作图
C
a a （ x ， y ） ， b （ x ， y ） 2、坐标运算： 设 1 1 2 2 （ x x ， y y ） D 则a b 1 2 1 2 a +b b （二）向量的减法 A B A D D B A a
特别注意：
a b 0 cos 0 为锐角或 0
a b 0 cos 0 为钝角或
由此，当需要判断或证明两向量夹角为锐角或钝角时，应
排除夹角为0或的情况，也就是要进一步说明两向量不共
线。
典型例题分析:
例1 e1、e2不共线，a=e1+e2 b=3e1－3e2 a与b是否共线。 解：假设,a与b共线则 e1+e2=λ(3e1-3e2)=3λe1-3λe2 1=3λ 1=-3λ 这样λ不存在。 ∴a与b不共线。
（ 3 ）（ a b ） c a c b c
平面向量的数量积a· b的性质: ①e·a=a·e=|a|cosθ
② a⊥ b a· b=0 ③a，b同向a· b=|a||b|反向时a· b=-|a|· |b| a2=a· a=|a|2(a· a= ④cosθ=
a b | a ||b |