第十章真空中的静电场,大学物理学的

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四、场强叠加原理求场强
1、电荷离散分布
在点电荷系Q1,Q2,…,Qn的电场中，在P点放一试验电荷q0， 根据库仑力的叠加原理，可知试验电荷受到的作用力为
Qi q 0 F Fi e 2 i 4 0 ri P点的电场强度 Fi Qi E e 2 i q0 4 0 ri
F E q0
电场中某点的电场强度在数值上等于位于该点的单位正试 验电荷所受的电场力。 电场强度的方向与电场力的方向一致（当q0为正值时）。 单位：N.C-1或V.m-1
电场强度是电场的属性，与试验电荷的存在与否无关， 并不因无试验电荷而不存在，只是由试验电荷反映。
3、电场力
电荷q在电场E中的电场力
Ey Ex
与 x 夹 arctg
Ex 0
E Ey 2 0 a
例3、 均匀带电圆环轴线上一点的场强。 设正电荷q均匀地分布在半径为R的圆环上。计算在环的轴线 任一点p的电场强度。 解：由对称性可知，p点场强只有X分量
q cos qx E 3 2 2 2 4 0 r 4 0 ( R x ) 2
x 2

dE x
dE
dx E x dE x cos 2 4 0 r dx E y dE y sin 2 4 0 r
o a
dq
r
1
P dE y
y
统一变量：
x a ctg
dx acsc2 d
r 2 a 2 x 2 a 2csc2
2、电荷量子化
1913年，密立根用液滴法从实验中测出所有电子都具有相同 的电荷，而且带电体的电荷是电子电荷的整数倍。 电子电量 e 带电体电量 q=ne, n=1,2,3,... 电荷的这种只能取离散的、不连续的量值的性质，叫作电荷 的量子化。电子的电荷e称为基元电荷，或电荷的量子。 1986年国际推荐值 近似值
2
真空电容率
• 库仑力满足牛顿第三定律
F21 F12
•实验表明，库仑力满足线性叠加原理， 即不因第三者的存在而改变两者之间 的相互作用。
q1 rO1 qo rO 3
q3
库仑力的叠加原理：
n n 1 q0 qi F0 F0i e0i 2 i 1 i 1 4 0 r0 i
3、电偶极子中垂线上一点的电场强度
1 qli 1 qli E － 4 0 r 3 4 0 2 l 2 3 / 2 y 4
2q l / 2 E x＝E x＋E x 2 E COS 4 0 r 2 r
E
E
当y>>l
时，y2+
r0 电偶极子中垂线上距离中心较远处一点的场 强， 与电偶极子的电矩成正比，与该点离中心的距 q q p 离的三次方成反比，方向电矩方向相反。
r
1 p E － 3 4 0 y
l
2/4≈
y2
B
E
r
r
例2.均匀带电细棒的电场
已知：电荷线密度 ,场点 P ( a , 1 , 2 )
2 2 3 2
i
x 2rdr
4 0 ( x r )
2 2 3 2
x [1 ]i 1 2 0 (R2 x2 ) 2
E 2 0
讨论：对无穷大平面？
结论：
1. 无限大带电平面产生与平面垂直的均匀电场
E 2 0
E

E
E

E
求： E P
x 2

dE
P
解：建立坐标系 o xy 取
o a
dq
y
dq dx
dE dq 4 0 r 3 r
r
1
大小：
dx dE 4 0 r 2

方向：与+x 夹角为
各电荷元在P 点场强方向不同，用分量积分：
dEx dEcos
dE y dEsin
表明电场具有动量、质量、 能量，体现了它的物质性.
静电场
静止电荷产生的场叫做静电场。
2、电场强度
置于电场中某点的试验电荷将受到源电荷作用的电力，实验 证明：该力的大小与试验电荷的电量成正比，而该力与试验 电荷电量的比值F/q0则与试验电荷无关，是一个仅由源电荷 产生的电场决定的物理量。它可以反映电场本身的性质，用 这个物理量作为描写电场的场量，称为电场强度（简称场 强）。
rO 4
q4
rO 2
q2
例：在氢原子中，电子与质子之间的距离约为5.3×10-11m，求 它们之间的库仑力与万有引力，并比较它们的大小。 解：氢原子核与电子可看作点电荷
e2 (1.6 1019 ) 2 Fe＝ 2 9 109 8.2 10 8 N 11 2 4 0 r (5.3 10 ) 1
dq cos E dE x dE cos cos 2 q L 4 r 4 0 r 2 0
dq
L
dE
X
讨论：当求场点远大于环的半径时，
E
q 4 0 x 2
R
r
dq
方向在X轴上，正负由q的正负决定。 说明远离环心的场强相当于点电荷的场。
两值比较
Fe 8.2 108 ＝ 2.3 1039 Fg 3.6 10 47
三、电场强度
1、电场
电荷 电场 电荷 概念 电荷之间的相互作用是通过电场传递的，或者说电荷周围 存在有电场，引入该电场的任何带电体，都受到电场的作 用力，这就是所谓的近距作用。
电场的物质性
•给电场中的带电体施以力的作用。 •当带电体在电场中移动时，电场力作功；表明电场具有能量。 •变化的电场以光速在空间传播，表明电场具有动量。
2. 两平行无限大带电平面（
E

,）的电场
E
E
E
Ex cosd 4 0a ( sin 2 sin 1 ) 4 0 a Ey sind ( cos 1 cos 2 ) 4 0 a 4 0 a
2 1 2 1
得： E P E E
2 x
2 y
讨论：对靠近直线场点如何？ a 棒长 . 1 0 . 2
万有引力为
mM Fg＝G 2 r 9.1 10 31 1.67 10 27 6.67 1011 3.6 10 47 N (5.3 1011 ) 2
结论：库仑力比万有引力大得多， 所以在原子中，作用在电子上的 力，主要是电场力，万有引力完 全可以忽略不计。
q
q
电偶极矩：
l
p ql
2、电偶极子轴线延长线上一点的电场强度
E q i 2 4 0 x l / 2 1
q O q
Hale Waihona Puke Baidu E
A
E
1 q E i 2 4 0 x l / 2
E＝E＋E－
l
x
1 q q － i 2 2 4 0 x l / 2 x＋l / 2
F ＝ qE
当q>0时，电场力方向与电场强度方向相同； 当q<0时，电场力方向与电场强度方向相反。
4、点电荷电场强度 F Q E＝ e 2 r q0 4 0 r
Q>0，电场强度E与er同向 Q<0，电场强度E与er反向。
+
说明：
(1)点电荷电场是非均匀电场； (2)点电荷电场具有球对称性。
库仑定律内容
在真空中，两个静止的点电荷之间的相互作用力，其大小 与点电荷电量的乘积成正比，与两点电荷之间距离的平方 成反比，作用力在两点电荷之间的连线上，同号电荷互相 排斥，异号电荷互相吸引。
q1q2 F12 k 2 e12 r12 r12 r1 r2
F12 r1
体密度
电荷体分布，dq=ρdV
e r E＝ dV 2 4 0 r V er E＝ dS 2 4 0 r S
电荷面分布，dq=σdS
面密 度 线密度
电荷线分布，dq=λdl
er E＝ dl 2 l 4 r 0
例1.电偶极子
1、基本概念：
电偶极子：等量异号电荷+q、-q，相距为r0，它相 对于求场点很小，称该带电体系为电偶极子。 电偶极子的轴：从-q指向+q的矢 量l称为电偶极子的轴
第10章 真空中的静电场
讨论电磁运动中最简单的情况，即研究真空中静电场的
基本特性：从三条最基本的实验定律：电荷守恒定律、库仑
定律和电场的叠加原理出发，从电荷在静电场中受力和电场 力对电荷作功两个方面，引入电场强度与电势这两个描述电
场性质的基本物理量，并且讨论了二者之间的关系。
静电场的基本定律：库仑定律、叠加定律； 静电场的基本定理：高斯定律、环路定理； 描述静电场的物理量：电场强度、电势；
q1 r12
r2
q2
F21
e12 r12 / r12
k 1 4 0
O
表示单位矢量
9 10 9 N m 2 / C 2 是国际单位制中的比例系数
0 8.85 10 C N m 1 q1q2 F12 e12 2 4 0 r12
12 2 1
L
例4：带电圆面的电场.
已知电荷面密度 ，利用例3结果简化计算，将半径为 R 的圆盘看成——由许多均匀带电圆环组成 .
x
思路
dq dS ? dE ? E dE ?
dr
P
dE

o
r

解： dq 2r dr
R E i
0
dE
x dq 4 0 ( x r )
主要内容
10.1 电荷与静电场 10.2 静电场的高斯定律 10.3 静电场的环路定理 电势 10.4 等势面 电场强度与电势梯度的关系
数理系 黄海波编
§10.1电荷与静电场
一、电荷守恒
1、电荷
摩擦起电：用木块摩擦过的琥珀能吸引碎草等轻小物 体的现象，后来又发现，许多物体经过毛皮或丝绸等 摩擦后，都能够吸引轻小的物体。于是人们就说它们 带了电，或者说它们有了电荷。 质 子( ) 电量的定义： 原 子 核 原 子 中子 物体所带电荷的多 电 子(-) 少叫作电量。 单位：库仑(C) 当物质处于电中性时，质子数＝电子数 当物质的电子过多或过少时，物质就带 有电荷 电子过多时——物体带负电 电子过少时——物体带正电
e 1.602 177 33(49) 1019 C
e 1.602 1019 C
3、电荷守恒定律
内容：
在孤立系统中，不管系统中的电荷如何迁移，系统 的电荷的代数和保持不变。
二、库仑定律
库仑 (Charlse-Augustin de Coulomb 1736 ~1806)
法国物理学家，1773年发表有关材料强度的 论文，所提出的计算物体上应力和应变分布 情况的方法沿用到现在，是结构工程的理论 基础。1777年开始研究静电和磁力问题，发 现线扭转时的扭力和针转过的角度成比例关 系，从而可利用这种装置测出静电力和磁力 的大小，这导致他发明扭秤。1779年对摩擦 力进行分析，提出有关润滑剂的科学理论。 1785~1789年，用扭秤测量静电力和磁力，导 出著名的库仑定律。他还通过对滚动和滑动 摩擦的实验研究，得出摩擦定律。
E＝ E i
点电荷系电场中某点的场强等于各个点电荷单独存在时 在该点的场强的矢量和。这就是电场强度的叠加原理。
2、电荷连续分布
将带电区域分成许多电荷元dq
E＝ dE
dq e 2 r 4 0 r
+ + + + dq dE
dQ ＝ dV dQ ＝ dS dQ ＝ dl
q 2 xl E＝ 2 2 2 i 4 0 x l / 4


当x>>l时，x2- l2/4≈ x2
1 2lq 1 2p E＝ i 3 4 0 x 4 0 x 3
在电偶极子轴线延长线上任意 点的电场强度的大小与电偶极 子的电偶极矩大小成正比，与 电偶极子中心到该点的距离的 三次方成反比；电场强度的方 向与电偶极矩的方向相同。