多元函数极值的行列式算法及应用

微积 分 、 线 性 代 数 和概 率 统 计 是 目前 高 等 院 校
定理 １
元 二次 函数 （ １ ）的最小 值可 表示 为
Ａ ６
开 设 的 主要数 学课 程． 如 何 建 立 知 识 之 间 的 有 机联
系， 培养学 生运 用所 学 知识解 决 实际 问题 的能 力 ， 是
教 学 改革 和提 高教 学 质 量 所 面 临 的一 项 主要 任 务 ．
（ 宁夏 大 学 数 学 计 算 机 学 院 ，宁 夏 银 川 ７ ５ ０ ０ ２ １ ）
摘
要 针 对多 元二 次 函数求 极值 的 问题 给 出一 种行 列式 算法 ， 并 将其 用 于 回归分 析 ， 得 出计 算 残 差平
方 和 的一种 方法 ．
关 键 词 多 元 二 次 函数 ； 极值 ； 行列式 ； 回归 分 析 ； 残 差 中 图 分 类 号 Ｏ１ ７ ２ ． １ 文 献标 识 码 Ａ 文 章 编 号 １ ０ ０ ８ — １ ３ ９ ９ （ ２ ０ １ ３ ） ０ ２ — ０ ０ １ ３ — ０ ２
为未 知 参数 向量 ， ｅ 为随 机误差 ， 且
Ｅ（ ｅ ）一 ０ ， Ｄ（ ｅ ） Ｉ ．
则设 计矩 阵
１ Ｏ
利 用最小 二 乘法可 得 ｌ Ｊ 的估计
∑
１
西＝ ＝ ＝ （ ｘ ｘ） ～Ｘ Ｔ ｙ ，
而 的估 计为嘲
ｓ ，
一
Ｘ —
。
ｘＴ Ｙ ＝
口
其 中
Ｓ ： （ １ ， 一 ） （ １ ， 一 ）
１ ０
为残 差平 方 和． 要计 算 ｓ 需 先计算 ， 计 算量 很 大． 注意 到 Ｓ 是 关 于 口的二 次 函数 Ｑ一 （ ｙ～ ） （ ｙ一 邵 ）一 （ ｘ —２ ｘＴ ｙ ｐ＋Ｙ Ｙ
的最 小值 ， 故可 记
ｃ 一 ｛ Ａ ６ ，
由Ａ的正定性 ， 当ｘ 一一妻Ａ ｂ 时， （ ｘ） 有最小值
ｍｉ ｎ ｆ （ Ｘ） 一ｆ （ ｘ ） 一 ｃ一÷６ Ａ ～ｂ ． （ ２ ）
利 用式 （ ２ ） 求ｍｉ ｎ ｆ （ Ｘ） 需 要计 算 Ａ ～， 本 文通 过 对式 （ ２ ）的简单 推导 ， 将 其简 化 为行 列 式 形式 ， 并 给 出其 在线 性 回归分 析 中 的一 个应 用 实例 ．
Ａ — ＸＴＸ ， ｂ一一 ２ Ｙ Ｘ ， Ｃ ： Ｙ Ｙ，
ＸＴ Ｘ ＝ ＝
１ ０
∑
ｉ 一 １
∑ ％
】 ０
ｙ ｙ 一∑ ，
一
１
则 由式 （ ３ ） 可 得
１ ４
高 等 数 学 研 究
ｌ ０ １ ０
２ Ｏ １ ３ 年 ３月
Ｙ
＋ ｅ，
其中ｌ ， 为 因变 量 的观测 值 ， 为 Ｐ， 而
为 设计 矩 阵 且秩
∑ Ｙ 一４ ６ １ ４ ． ８ ０ ， ∑ Ｙ 一１ ９ ８ １ ． １ ４ ，
１ ｉ ＝１
ｍｉ ｎ ， （ ｘ）一 丽１
Ｔ１
－
Ｃ
本 文试 图通 过对 多元 二 次 函数 极 值 问题 的讨 论 ， 使 学 生看 到线 性代 数 知识 在解 决 高 等 数 学 、 概率 统 计
问题 中 的重 要作 用 ， 同时 也 希 望 能 为 数 学 教学 提 供 点 滴 素材． 文 中所用 到 的知 识 及 推 导 都 是 在所 学 内 容 框架 以内进行 的 ， 学生 完全 可 以理解 和 掌握 ．
问题 １ 设 Ａ 是 阶正 定 矩 阵 ， Ｘ， ｂ∈ ，
（ １ ）
证 明
记
Ａ Ｂ ＝ ＝
－
６
１ ｂ
Fra Baidu bibliotek。 ，
Ｃ
则 由引 理 １可得
１
Ｃ∈ ， 试求 元 二次 函数
厂 （ Ｘ）一 ｘ Ａ ｘ ＋ ｂ Ｔ Ｘ＋ Ｃ
Ｊ Ｂ『 ＝（ ｃ 一÷６ Ａ ６ ）『 Ａ ｌ ，
１ ｂ
。
Ｃ
＝ 一 ２．
Ｊ Ｂ｝ 一 （ ｚ ｚ —Ｂｚ Ｂ ７ Ｉ ￣ Ｂ ２ ）｝ Ｂ ） ．
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ｌ — Ｏ ２ — ２ ２ ； 修 改 日期 ： ２ ０ １ ３ － ０ ２ — ２ ０
（ ３ ）
由定 理 １可得
ｍｉ ｎ ｉ ’ 一一 １ ．
引理 １ ＿ １ ］ 设有
ｆ Ｂ】 １ Ｂ】 ２ １
一
例１ 求 函数 ｆ （ ｘ １ ， ． ３ ２ ２ ， ３ ７ ３ ）一 ． ２ ２ ｊ ＋２ ｘ ； ＋３ ｘ ； 一
Ａ —
一
ｌ Ｂ ２ ｂ 。 。 Ｊ ’
Ａ ｆ 一 ２ ．
－
Ａ
其 中Ｂ 为 一 １ 阶 可逆方 阵 ， Ｂ 为 （ 一 １ ） ×坎巨 阵， Ｂ 为 × （ 一 ｚ ）矩 阵 ， ｂ ： ∈ ， 则 有
第１ ６卷 第 ２期
２ Ｏ １ ３年 ３ 月
高 等 数 学 研 究
Ｓ ＴＵＤＩ ＥＳ Ｉ Ｎ Ｃ０Ｉ ＬＥＧＥ Ｍ ＡＴＨＥＭ ＡＴＩ ＣＳ
Ｖｏ ｌ Ｉ １ ６ 。 Ｎｏ ． ２
Ｍａ ｒ ．，２ ０１ ３
多元 函数 极 值 的行 列式 算 法及 应 用
李 惠东
再 由式 （ ２ ）式 可知定 理成 立 ． 利用 式 （ ３ ） 计 算 ｍｉ ｎ ｆ （ Ｘ） 相 当于用 两个 行列 式 的计 算代 替式 （ １ ）中Ａ 的计算 ， 在 计算 量 上有 一定
的简 化．
的极 值 ．
解 利 用 配方法 易得
， （ ｘ ） 一（ ｘ ＋ Ａ 叫 ６ ） Ａ （ ｘ ＋ Ａ ６ ） ＋
作者简介 ： 李惠东（ １ ９ ５ ９－ －） ， 男， 山 东 日照 人 ， 副 教授 ， 从 事 数 理 统 计 教学与研究． Ｅ ｍａ ｉ ｌ ： ｌ ｈ ｄ ８ ５ １ ５ ＠１ ６ ３ ． ｃ ｏ ｎ ｒ
以下 给 出 定 理 １在 回归 分 析 中 的一 个 应用 ． 考
虑线 性 回归 模型