算法复习整理(第2版)

改进算法和提高计算机处理能力对算法速度的影响（课堂上讲过相关提高算法效率的实例）

上界证明

快速排序

矩阵连乘问题

TSP问题（Dijkstra算法）

按路径长度递增次序产生算法：

把顶点集合V分成两组：

（1）S：已求出的顶点的集合（初始时只含有源点V0）

（2）V-S=T：尚未确定的顶点集合

将T中顶点按递增的次序加入到S中，保证：

（1）从源点V0到S中其他各顶点的长度都不大于从V0到T中任何顶点的最短路径长度

（2）每个顶点对应一个距离值

S中顶点：从V0到此顶点的长度

T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度

依据：可以证明V0到T中顶点Vk的，或是从V0到Vk的直接路径的权值；或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和

（反证法可证）

求最短路径步骤

算法步骤如下：

1. 初始时令S={V0},T={其余顶点}，T中顶点对应的距离值

若存在，d(V0,Vi)为弧上的权值

若不存在，d(V0,Vi)为∞

2. 从T中选取一个其距离值为最小的顶点W且不在S中，加入S

3. 对其余T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值缩短，则修改此距离值

重复上述步骤2、3，直到S中包含所有顶点，即W=Vi为止

下面是该算法的C语言实现

1 #include

2 3 4 5 6 7 8 9

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32 #include

#definemax1000000000;

inta[1000][1000],d[1000],p[1000];//d表示某特定边距离，p表示永久边距离intmain(){

inti,j,k,m,n,sum=0;//m代表边数，n代表点数

intx,y,z;

scanf("%d%d",&n,&m);

for(i=1;i<=m;i++){

scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);

a[x][y]=z;

a[y][x]=z;

}

for(i=1;i<=n;i++)d[i]=max;

d[1]=0;

for(i=1;i<=n;i++){

intmin=max;

for(j=1;j<=n;j++)

if(!p[j]&&d[j]

min=d[j];

k=j;

}

p[k]=1;

for(j=1;j<=n;j++)

if(a[k][j]!=0&&!p[j]&&d[j]>d[k]+a[k][j])

d[j]=d[k]+a[k][j];

}

for(i=1;i<=n;i++)

printf("%d",d[i]);

system("pause");

return0;

}

图着色问题

最小生成树问题

（需要知道最小生成树如何生成）

PPT上都有算法看懂即可、

证明使用贪心法可以获得最优解。

例：最小生成树的生成步骤。

求MST的一般算法可描述为：针对图G，从空树T开始，往集合T中逐条选择并加入n-1条安全边（u，v），最终生成一棵含n-1条边的MST。

当一条边（u，v）加入T时，必须保证T∪{(u，v)}仍是MST的子集，我们将这样的边称为T的安全边。

伪代码

GenerieMST(G){//求G的某棵MST

T〈-￠；//T初始为空，是指顶点集和边集均空

while T未形成G的生成树do{

找出T的一条安全边（u，v）；//即T∪{(u，v)}仍为MST的子集

T=T∪{(u，v)}；//加入安全边，扩充T

}

return T；//T为生成树且是G的一棵MST

}

注意：

下面给出的两种求MST的算法均是对上述的一般算法的求精，两算法的区别仅在于求安全边的方法不同。

为简单起见，下面用序号0，1，…，n-1来表示顶点集，即是：

V(G)={0，1，…，n-1}，

G中边上的权解释为长度，并设T=(U，TE）。

求最小生成树的具体算法（pascal):

Prim算法

procedure prim(v0:integer);

var

lowcost,closest:array[1..maxn] of integer;

i,j,k,min:integer;

begin

for i:=1 to n do begin

lowcost[i]:=cost[v0,i];

closest[i]:=v0;

end;

for i:=1 to n-1 do begin

{寻找离生成树最近的未加入顶点k}

min:=maxlongint;

for j:=1 to n do

if (lowcost[j]0) then begin min:=lowcost[j];

k:=j;

end;

lowcost[k]:=0; {将顶点k 加入生成树}

{生成树中增加一条新的边k 到closest[k]}

{修正各点的lowcost 和closest 值}

for j:=1 to n do

if cost[k,j]