电荷与真空中的静电场2

电场线密处，场强大；电场线疏处，场强小。 (2) 电场线非实物。 (3) 电场线不一定是电场中点电荷运动的轨迹。
二、电通量 e
E dN
1、e 的定义
dS
通过电场中某一给定面的电场线的总条数称为通
过该面的电通量。
2、e 的计算
(1) 均匀电场中通过任 一平面的电通量
E 垂直平面 Φe ES E 与平面夹 角
注意：在具体计算时，要化成标量积分， 即先分解，再积分。
例题1 电荷均匀分布在一根长直细棒上，此棒电荷线
密度为。试计算距细棒垂直距离为a的P点的场强。已
知细棒两端的连线与X轴的夹角分别为1和 2。
解：dE
1
4 0
dq r2
r0
dx
dEx
1
4 0
dx cos
r2
dEy
1
4 0
dx sin
r2
r a
(3)仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献 (4)反映了静电场是“有源场”
四、高斯定理的应用
qi内
Φe E dS S
i
0
电荷的分布具有某种
对称性的情况下利用高 斯定理求解E 较为方便
球对称
球体 球面 球壳 点电荷
常见的电量分布的对称性
(均匀带电)
柱对称
面对称
（无限长）
（无限大）
两种电荷：正电荷和负电荷 同号相斥、异号相吸
电荷量：物体带电的多少，以q 或Q 来表示 单位：库（C）
一、电荷的量子化
在自然界中，电荷总是以一个基本电量的整数倍出现。
电子电荷的绝对值
e =1.602×10-19 C
q = ±n e
1913年，密立根设计了油滴实验，首先直接测定
了此基元电荷的量值。
夸克、反夸克具有的电量为±e/3或±2e/3。
柱体
平板
柱面
平面
带电线
1. 求电量为q、半径为R的均匀带电球体的场强分布。
(1) 分析对称性：E沿径向。
(2) 取高斯面：球面。
(3) 计算通量、场强
Φe
S
E dS
E 4
r2
1
0
q
r R: q q
q
E外 40r 2
rP
E
r R :
q
4
q
3
R3
4
3
r3
q r3 R3
r
E内
Ex 0
Ey 2 0a
例题2 计算一个半径为R均匀带电量为+q的圆环轴
线上场强的分布。
解：dEr
1
4 0
dq r2
err
dq
r
RP
Ox
X
dE
y dq
qR
P
x
ox
z
r dE
1
4 0
dq r2
err
dq R
根据对称性：E dE 0 O
r
x
P dE//
X
dE dE
E dE// dE cos
i
1
Ei 4 0
i
qi ri2
r ei
*电偶极子的电场强度
q
r0
q
r0
— 电偶极子的轴
p qr0
— 电偶极矩
求电偶极子轴线延长线上一点和轴线的中垂线上一
点的场强。
E
1
4 0
q r2
EA
q
4 0
[ (
i E
1 x r0 )2
(x
1
4
1 r0
q i
r2
0
]i )2
q r0
F
q0
单位：牛/库 ( N/C )
电场中 某点电 场强度
大小 单位电荷在该点受力的大小 方向 正电荷在该点受力的方向
只要有电荷就有电场存在, 与是否引入检验电荷无关
三、点电荷与点电荷系的电场强度
1、点电荷的电场强度
r F
4
1
π 0
Qq0 r2
r er
r
r E
F q0
4
1
π 0
Q r2
err
Q
Q
本学期的教学内容 第9章 电荷与真空中的静电场 第10章 导体和电介质中的静电场 第11章 恒定电流与真空中的恒定磁场 第12章 磁介质中的恒定磁场 第13章 电磁场与麦克斯韦方程组 第15章 波动光学
第四篇 电 磁 学
电磁学(electromagnetics)是研究电磁相互作用及其 运动规律的。
在具体问题中，当带电体的形状和大小与它们之间 的距离相比允许忽略时，可以把带电体看作点电荷。
2、库仑定律 (Coulomb`s Law)
q1
r1 2
F21
q2
F12
F12
q1q2 r122
在真空中，两个静止的点电荷之间的相互作用力的
大小与它们电荷的乘积成正比，与它们之间距离的平
方成反比；作用力的方向沿着两点电荷的连线，同号
二、电荷守恒定律
在一个与外界没有电荷交换的系统内，无论进行怎
样的物理过程，系统内正、负电荷量的代数和总是保 持不变电荷守恒定律。
三、真空中的库仑定律 1785年，库仑(A.de.Coulomb)通过扭称实验总结出f
真空中点电荷之间相互作用的静电力所服从的基本规
？ 律—库仑定律 。 1、点电荷 ( Point Charge )
都与该点场强 方向一致，这些曲线就叫电场线。
E
Ea
bE
bc
c E
d
dN
dS E
a
d
E dN ——电场线密度
dS
2、 电场线密度：通过垂直于场强方向的单位面积 的电场线数目。
规定：电场中某点处的电场线密度与该点场强的
大小相同。
点电荷的电场线
正点电荷
负点电荷
+
一对等量异号点电荷的电场线
+
一对等量正点电荷的电场线
电F荷2相1 斥q1，异er1号2r1电2 荷相吸。qF2r12
F1 2
k
q1q2 r122
er12
F2 1
k = 8.98755×109 N·m2 ·C-2 1
r F
1
4 0
q1q2 r2
err
4 0
库仑定律是 全部静电学
的基础
0= 8.85×10-12C2 ·N-1·m-2 称为真空中的电容率。
Whenever you turn on a light, listen to recorded music, or watch a motion picture you are enjoying one of the discoveries of Thomas Alva Edison.
9-1 电 荷 库 仑 定 律
主要特点：研究对象不再是分离的实物，而是连
续( 如分Er布, 的U ,场Br，等用)空来间描函述数。 静电场
电磁学
恒定磁场 变化中的电磁场
第九章 电荷与真空中的静电场
Electrostatic field
太阳风中高能离子沿着磁力 线侵入地球的极区在地球两 极的上层大气中放电而产生 的极光。
雷电
电鳗
o
q
4 0
(x
q E A
x
2x r0
2
r2 0
/
4)2
E x2
x
当x r0时 :
2 EA
1
4 0
2 2qr0 x3
1
2 0
p x3
1
q
E E 4 0 y 2 (r0 2)2
EB 2E cos i
2q
r0 / 2
i
4 0
(y2
r2 0
/
4) 3 /2
y2
当y r0时 :
1 x dq
4 0 r r 2
q
dq dl
2 R
r
R2 x2
E 1
qx
2R dl 1
qx
4 0 (R2 x2 )3/ 2 0 2 R 4 0 (R2 x )2 3/ 2
讨论
E 1
qx
4 0 (R2 x )2 3/ 2
(1) x R
(2) x 0,
E
4π
q
0x2
E0 0
—环心处场强为零
r
穿入
Φe
E dS
S
E cos dS
S
r
dS2
r
r
E dS1
1 r
E2
E1
2
三、真空中静电场的高斯定理 Gauss theorem
高斯定理讨论的是: 封闭曲面的电通量与该曲面
1、点电荷的情况
内包围的电荷之间的关系
1) 通过以点电荷为球心,
半径为R的球面的电通量
E
q
4 0 R2
en
ds dsen
9-2 电场和电场强度
一、电场 Electric Field
1、超距作用不理需要论时间
不需要介质
？ 电荷
电荷
√ 2、法拉第提出近距作用, 并提出力线和场的概念
电荷 场 电荷
在任何电荷的周围，都存在一种特殊的物质—电场。 电场是物质的一种特殊形态，弥散在整个空间，我们 可以通过电场对电荷的作用来认识电场。
(3) 令 dE 0 dx
x 2R 2
此处为电场强度极大 值的位置
—点电荷电场强度
2R E
2
o 2R x 2
例题3 一个半径为R均匀带电薄圆盘，其电荷面密
度为，求圆盘轴线上场强的分布。
解：dq ds 2 rdr
dE 1
xdq
4 0 (r 2 x2 )3/ 2
E 1
R
2
rdr
4 0
Φe
ES
cos
Φe E S
S
E
en
S
E
(2) 非均r 匀电场r中通过任意曲面的电通量
dS
r
dS r
en
dΦe
E dS
E cos dS
E
en
dS
E
Φe dΦe s E dS
s E cos dS
S为封闭曲面
1
π, 2
dΦe1 0
穿出
蜒 2
π r2
,
dΦe2 0
E dE dq sin
y
y
L 4 R2
0
dq R
dEx
o
x
dE
dE y
dq
Q
R
dl
Q
d
Q
sin d
Q
4 2 R2 0 0
2 2 R2 0
Q
E
j
2 2 R2
0
上节内容回顾
库仑定律
r F
1
4 0
q1q2 r2
r er
电场强度
E
F
q
0
点电荷的场强
r E
4
1
π 0
Q r2
err
点电荷系的场强
d s
en
E
+q
Φe
E
ds
S
S
q
4 0 R2
ds
R
q
4 0R2
ds
S
q 4 R2 4 0 R2
q
Φe 0
2) 点电荷不位于球面的中心
q
Φe 0
3) 任意形状封闭曲面
Φe
q
0
E
+q
R
E
+q
R
4) 点电荷位于封闭曲面外
+q
Φe 0
E
2、点电荷系的情况
若场源为点电荷系，其中n个点
电场 电荷 力的作用 — 电场强度 功的作用 — 电势
二、电场强度 Electric Field Strength
★试验电荷q0 ：电荷量足够小的点电荷
在电场中某一确定位置，
F
q
F q0 恒量 , 与q0的大小无关，
仅与该点电场性质有关。
0
q
q0
Q
2q0 3q
0
0
F
2F 3F
E
F
—— 电场强度
+
+
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
q
带电平行板电容器的电场线 ++++++++++++
3、电场线的性质： (1) 起于正电荷(或无穷远)，止于负电荷(或无穷远)，
不会在无电荷处中断，也不会自行构成闭合曲线。 (2) 任意两条电场线在无电荷处不会相交。
说明 (1) 可用电场线的疏密程度来描述电场强度的大小：
电荷在S内，m个点电荷在S外
Φe E dS ( Ei ) dS
S S
E1 dS E2 dS Enm dS
S
S
S
q2
q1
qn1
Φe1 Φe2 Φen Φe(n1 ) Φe(nm)
q1 q2 qn 0 0
0 0
0
1 n
q i 0 i 1
r E
1
4 0
i
qi ri2
r er
连续分布电荷的场强
r dE
1
4 0
dq r2
err
r
E
1
4 0
dq r r 2 er
注意：在具 体计算时， 要先分解， 再积分。
9-3 电通量 真空中静电场的高斯定理
一、电场线 electric field line
1、 在电场中作许多曲线，使曲线上每点切线方向
EB
qr0
4 0 y3
p
4 0 y3
y
E
EB
B
E y
q
r0
q
x
3、连续分布任意带电体的场强
dE
r dE
1
4 0
dq r2
err
r
P
E dE
1
4 0
dq r2
err
dq
电荷线分布 dl dq dl 电荷线密度
电荷面分布 ds dq ds 电荷面密度
电荷体分布 dV dq dV 电荷体密度
(r2 x )2 3/2
0
[1 x ]
2 0
R2 x2
dr
r
o xPx
方向沿x轴
讨论
x R, 无限大均匀带电平面， E / 20
例题4 一均匀带电半圆环，半径为R，总电量为Q，
求环心o处的电场强度。
y
解： dE 1 dq 4 0 R2
dE dE cos x
dEy dE sin
根据对称性：Ex dEx 0
1
qi
0 i (内 ）
S q
n
q nm
3、真空中静电场的高斯定理 Gauss theorem
在真空中的静电场内，通过任一闭合曲面的电通量
等于这闭合曲面所包围的电荷量的代数和除以0
讨论
Φe
E dS
1
S
0
i
qi内
(1)不仅适用静电场，也适用变化的电场。 (2)高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度
x a
s in
tan
Y
dE
P
a
1
r
2
O x dx
dx a d sin2
X
dEx
4 0a
cos
d
dEy
4 0a
sin d
Ex
dEx 4 0a
2 cos d
1
Βιβλιοθήκη Baidu
4 0a
(sin 2
sin 1)
Ey
dEy
4 0a
2 sin d
1
4 0a
(cos1
cos2 )
讨论：均匀带电细棒为无限长时 1 0，2
rr
q0
rF
rr
r E
E
q0
E
Q
E Q
2、电场强度叠加原理
点电荷 qi 对 q0 的作用力
r Fi
4
1
π 0
qi q0 ri2
r ei
q1
q2 q3
r1 r2 r3
q0
F3
F2 F1
由力的叠加原理得 q0 所受合力
F
Fi
q0 处总电场强度
E
F
Fi
q0
q i 0
i
电场强度的叠加原理 E