§1-1 几何构造分析的7个概念
结构力学 几何组成分析 几个概念
几何组成分析的几个概念1、几何不变体系与几何可变体系几何不变体系是指受到任意荷载作用下，若不考虑材料的应变，其几何形状和位置均能保持不变的体系。
几何可变体系是指即使不考虑材料的应变，在微小的荷载作用下也会产生刚体位移，而不能保持原有的几何形状和位置。
几何可变体系分为几何常变体系和几何瞬变体系。
几何可变体系在很小的荷载作用下会产生刚体位移，经微小位移后仍能继续发生刚体运动，这样的几何可变体系称为几何常变体系。
若原为几何可变体系，经微小位移后即转化为几何不变体系，这类几何可变体系称为几何瞬变体系。
工程结构绝不能采用几何瞬变体系，而且也应避免采用接近于瞬变的体系。
2、自由度指体系在所受限制的许可条件下独立的运动方式，即能确定体系几何位置的彼此独立的几何坐标数目。
平面内一点的自由度为2，一个刚片的自由度为3。
3、约束（联系）约束是指限制体系运动的各种装置，包括外部约束（支座约束）和内部约束。
（1）外部约束一个活动铰支座、固定铰支座和固定支座分别相当于1、2、3个约束。
（2）内部约束一根单链杆相当于1个约束；连接j（j>2）个结点的复链杆，相当于2j-3个单链杆，即相当于2j-3个约束；一个单铰相当于2个约束；连接m（m>2）个刚片的复铰，可折合成（m-1）个单铰，即相当于2(m-1)个约束作用；一单刚结点相当于3个约束；连接m（m>2）个刚片的刚结点称为复刚结点，可折合成（m-1）个单刚结点，即相当于3(m-1)个约束。
约束从能否减少体系的自由度方面来考虑，可分为必要约束和多余约束。
为保持体系几何不变所必须具有的约束称为必要约束，不能使体系的自由度数目减少的约束称为多余约束。
4、瞬铰（虚铰）两个刚片间用两个不共线链杆相连，其约束作用相当于这两根链杆交点位置处的一个铰所起的约束作用，这个铰称为虚铰或瞬铰（图1a）。
在几何组成分析中，尤其要注意：两刚片间用两根相互平行的链杆相连，两平行链杆所起的约束作用相当于无穷远处的瞬铰所起的约束作用，如图1b所示。
于玲玲结构力学第一章_结构的几何构造分析
（2）图 b
刚片 I、II 和 I、III 分别由无穷远处的瞬铰 A、B 相连，由于点 A 和点 B 为同方向的无穷远点，根
据结论（1），两点其实是一点，因此该点与连接刚片 II、III 的铰 C 共线，三点共线，所以该体系为几何
瞬变体系。
（3）图 c
显然为几何常变体系。
（4）图 d
刚片 I、II、III 分别由铰 C 和无穷远处的瞬铰 A、B 相连，由于 A、B 不同方向，所以其连线是一条
(a)
A
(b) A
B
(c)
B
(d)
A
B
C
C
A
B
C
C
(a) E
C
A
D
图 1-5 B
(b) E
C
A
DB
图 1-6
注意：二元体的三个结点都必须是铰接，如图 1-6，b 图中的 CEB 部分是二元体，而 a 图中的 CEB
2
部分不是二元体，区别仅在于 C 结点的连接方式不同。 去掉二元体是体系的拆除过程，应从体系的周边开始进行，而增加二元体是体系的组装过程，应从
结点 F、G、H、I、J 用 10 根链杆分别连于基础和刚片，约束数为 10，因此，
W=1×3＋2×5－6－10=－3
2、由计算自由度得出的结论
（1）若 W > 0，则体系缺乏必要约束，是几何常变的。注意：若所分析的体系没有与基础相连，应
将计算出的 W 减去 3，如果仍大于零，才可判断体系为几何常变，否则不是几何常变，详见例 1－3。
刚片，因此铰 O 不是瞬铰；而 b 图中的铰 O 是瞬铰，因为刚片 I、II 和链杆 3 组成一更大的刚片 IV，即
杆 1 和 2 连接的都是刚片 III 和 IV，因此铰 O 是瞬铰。
第一章 结构的几何构造分析
（2）体系中约束的布置方式要合理。
17
结构的几何构造分析
二 平面几何不变体系的基本组成规则 1、三刚片规则
三刚片用不在同一直线上的三个单铰两两相联，组成的体系 是几何不变体系，且无多余约束。
2、二刚片规则
两个刚片用三根不完全平行也不交于一同一点的链杆相联， 组成的体系是几何不变体系，且无多余约束。
在对结构进行分析计算前，首先分析体系的几何组成，以确 定其几何不变性，只有几何不变体系才能作为工程结构应用，
因此，几何构造分析的目的为：
1 判别体系是否为几何不变体系，从而决定能否 作为结构应用。
2 掌握几何不变体系的组成规则，便于设计出合理 的结构形式。 3 用以区分体系为静定结构或超静定结构，从而决 2 定采用不同的计算方法。
15
结构的几何构造分析
§1-6 平面几何不变体系的基本组成规则
一 平面几何不变体系应满足的条件 1 计算体系的自由度（或可变度），能否判断体系为几何不 变体系？ 平面体系计算自由度（可变度）的计算结果，可能有以下三 种情况： （1）W 0 ，表明体系缺少足够的约束，体系肯定为几何 可变体系。 （2）W 0 ，表明体系具有成为几何不所需的最少约束数 目，此时体系可能为几何不变体系，也可能为几何可变体 系。
5
结构的几何构造分析
约束的种类:
⑴ 链杆: 一根链杆相当一个约束。
y
B
y x A
y
B A
2 1
o
x
o
x
6
结构的几何构造分析
⑵ 单铰：
连接两个刚片的铰称为单铰 。 一个单铰相当于两个 约束。
y
x 1 Ⅰ
A
2 Ⅱ y
o
平面结构的几何构造分析
W≤0，是体系几何不变的必要条件，非充分条件。
体系的几何组成，不仅与约束的数量有关，而且与 约束的布置有关。
说明：
（1）、Ｗ≤０是 体系几何不变的必 要条件，非充分条 件。 （2）、体系的 几何组成（是否几 何不变）不仅与约 束的数量有关，而 且与约束布置有关。
W=2×6-9-3=0
体系几何不变
l
A’
l
受力分析：
由∑x=0
∑y=0
FN1=FN2=FN
2FN sinθ- FP =0
FN= FP /2sinθ
FN1 A’ FN2 θ FP
•
•
θ趋近于零，则FN趋近于无穷大。
表明：瞬变体系即使在很小的荷载 作用下，也会产生很大的内力，从而导 致体系迅速破坏。 • 结论：工程结构不能采用瞬变体系， 接近瞬变的体系也应避免使用。
杆系体系几何组成分析的目的
（1）检查并保证结构的几何不变性。（ 体系是否可做结构? 并创造新颖合理的结构 形式）
（2）研究几何不变体系的组成规则，区分静 定结构和超静定结构。 （3）指导结构的内力计算（几何组成分析 与内力分析之间有密切联系）。
三、自由度
• 体系的运动自由度=体系独立运动 的数目或体系运动时可以独立改变的
•
规律1 : 一个
刚片与一个点用两 根不在一直线的链 杆相连，构成内部 几何不变且无多余 约束的体系。
B
A
C
Ⅰ
引论: 二元体(片)规则
A
二元体
二元体(片）：由两 根相互不平行的链杆连接 一个新结点的装置，称为 二元体（片）。 • 二元体规则：在一 个刚片上增加一个二元体， 仍为几何不变无多余约束 体系。
二、两种体系
第二章结构几何构造分析方案
例题：分析图示体系的几何构造（习题2-10b）
将由若干个杆件组成的几何不变体视为一个刚片，然后 运用规律二。
补充例题：分析图示体系的几何构造
利用规律二， 运用了瞬铰的概念。
补充例题：分析图示体系的几何构造
运用规律二形成更大的 刚片，最后装配于基础 （上部简支与基础）。
补充例题：分析图示体系的几何构造
二元体
两个不共线的链杆，由一个节点相连 。
在任何一个体系上增加或减去一个二元体，对体系 的组成性质无影响。
几何体系的组成
刚片
体系
约束
内部无多余约束的刚片 内部有多余约束的刚片
必要约束 多余约束
几何构造分析方法
1.逐步拆去二元体，使结构简单。 2.从基础出发，反复运用规律一、二进行装配。 3.将由若干个杆件组成的几何不变体视为一个刚片，然后反
体系中全部约束数
体系计算自由度的计算
1.当组成体系的部件为刚片时 W=3m－(3g＋2h＋b) m：内部无多余约束的刚片数，若有多余约束,则将其 计入 3g＋2h＋b g：单刚结点数 h：单铰结点数 b：单链杆数
2.当组成体系的部件为结点时 W=2j－b
j：具有自由度的点的个数 b：单链杆数
例题 计算体系的W
W＝3m－(3g＋2h＋b)＝3×1－(3×3＋2×0＋4)＝－10
例题 计算体系的W
W＝3m－(3g＋2h＋b)＝3×9－(3×0＋2×12＋3)＝0 W＝2j－b＝2 ×6－12＝0
例题 计算体系的W
W＝3m－(3g＋2h＋b)＝3×7－(3×0＋2×9＋3)＝0
例题 计算体系的W
W＝3m－(3g＋2h＋b)＝3×7－(3×0＋2×9＋3)＝0 W＝2j－b＝2 ×7－14＝0 W＝3m－(3g＋2h＋b)＝3×2－3＝3 W＝3m－(3g＋2h＋b)＝3×1－3＝0
第04讲 几何构造分析的几个概念_R1
第4讲几何构造分析的几个概念结构力学O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOOC 中国大学M O O C 中国大学M OO COO C中国大学M OO C 中国大学M O O C 中国大学M OO COO C中国大学M OO C中国大学M O O C中国大学M O O COO C中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学M O O COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M O O C几何构造分析是力学计算吗？有计算公式吗？几何构造分析有什么用？自由度和约束是什么关系？O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O CO O C中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M O O CO O C中国大学M O O C中国大学M OO C中国大学M OO CO O C中国大学MOOC中国大学MO O C中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO COOC中国大学M OOC中国大学M OO C中国大学M OO COO C中国大学M OO C中国大学M OO C 中国大学M OO COO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C一、几何构造分析的目的➢一个杆件结构要能够承受各种可能的荷载，它本身应是几何稳定的，即几何形状保持不变，简称几何不变体系。
➢几何构造分析的目的，就是把杆件结构看成一个杆件体系，检查它是不是几何不变体系，从而正确设计新结构。
➢也可以判定结构是静定还是超静定，如为超静定结构，还可判定其超静定次数。
O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学M O O C中国大学M O O C 中国大学M O O C 中国大学M O O C中国大学MO O C中国大学M O O C 中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学MO O C中国大学MOOC 中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学MOO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学MOOC中国大学M OOC 中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学MOO C中国大学M OO C 中国大学M OO C中国大学M OO C中国大学MOO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C 中国大学M OO C中国大学M二、几何不变体系和几何可变体系➢不考虑由于材料的应变所产生的变形，即在零应变假设下（杆件假设为刚性杆件）进行几何构造分析。
几何构造分析
两个多余约束 一个多余约束
7
§2.2体系的计算自由度
一个平面体系通常都是由若干部件（刚片或结点）加入一
些约束组成.按照各部件都是自由的情况, 算出各部件自由度
总数， 再算出所加入的约束总数， 将两者的差值定义为：
体系的计算自由度computational degree of freedom W。即：
8
m=1,a=1，n=0 ， r=4+3×2＝10 则：
W=3m－2n － r －3×a =3×1－10 － 3×1 ＝ － 10
m=7,n=9，r=3 W=3×m－2×n－r
=3×7－2×9－3 =0
9
例a：m=9；n=12；r=3. C 所以：W=3×9－2×12－3=0
对于由j个结点、b根链杆、r个
⑦
④ 支座约束组成的铰结链杆体系,
W=2 j －b + r (2—2)
A
B
例a：j=6；b=9；r=3.
所以：W=2×6－9－3=0
①
②
⑥
⑨
⑤
③
⑦
⑧
④
例b：j=6；b=9；r=3. 所以：W=2×6－9－3=0
10
注意：1、W并不一定代表体系的实际自由度,仅说明了体系
组相链成联杆无组相多成联余无，约多组束 余 成的约无几束多何的余不几约变何束体不的系变几体何. 系不变. 体系.
17
几种常用的分析途径
1、去掉二元体,将体系化简单，然后再分析.
D
A
依次去掉二元体A、B、C、D后,
剩下大地.故该体系为无多余
约束的几何不变体系。
C
B
G
几何构造分析
• 有瞬铰的体系与瞬变体系的关系
§2.3 平面体系的计算自由度
自由度（刚体自由度） —— 体系运动时可独立变化的 几何参变量的数目。 计算自由度W—— 体系的自由度总数减约束总数 以刚片为对象
W 3m (3g 2h b)
以结点为对象
W 2 j b
例1：计算图示体系的自由度
AC CDB CE EF CF DF DG FG
常变体系 瞬变体系
两刚片以不相互平行,也不相交于一点的三个 链杆相连,构成无多余约束的几何不变体系，且无 多余约束。
§2.2 几何不变体系的组成规则
规则一、三刚片 规则二、二刚片 规则三、二元体(点与刚片的联接)
二元体:在一个体系上用两个不共线的链杆联 结一个新结点的装置. 在一个体系上加减二元体不影响原体系的几何构造.
瞬变体系
§2.2 几何不变体系的组成规则
规则一. 三刚片联结 规则二. 两刚片联结 两刚片以一铰及不通过该铰的一个链杆相联, 构成无多余约束的几何不变体系。
两刚片以不相互平行,也不相交于一点的三个 链杆相连,构成无多余约束的几何不变体系。
§2.2 几何不变体系的组成规则
规则一. 三刚片 规则二. 两刚片 两刚片以一铰及不通过该铰的一个链杆相联, 构成无多余约束的几何不变体系，且无多余约束。
解: 该体系为常变体系.
去掉二元体.
应用举例
例6: 对图示体系作几何组成分析
解: 该体系为无多余约束几何不变体系.
从基础部分(几何不变部分)依次添加.
应用举例
例7: 对图示体系作几何组成分析
解: 该体系为有一个多余约束几何不变体系.
例 8：
o
虚铰
1
刚片1
结构的几何构造分析概念
结构的几何构造分析概念概述：结构的几何构造分析是一种用于研究和分析建造结构的方法，通过对结构的几何形态和构造特征进行详细的分析，以揭示其力学特性和性能。
本文将介绍结构的几何构造分析的概念、目的、方法和应用，并通过实例进行说明。
一、概念：结构的几何构造分析是指对建造结构的几何形态和构造特征进行系统性的研究和分析，以获取结构的几何特性、力学行为和性能的方法。
它涉及到结构的形状、尺寸、布置、连接方式等方面的分析，旨在揭示结构的力学特性和行为。
二、目的：1.了解结构的几何形态：通过几何构造分析，可以了解结构的形状、尺寸和布置等几何特征，从而对结构的整体形态有一个清晰的认识。
2.揭示结构的力学特性：几何构造分析可以揭示结构的刚度、稳定性和变形特性等力学特性，为结构的设计和优化提供依据。
3.评估结构的性能：通过几何构造分析，可以评估结构的承载能力、抗震性能和耐久性等性能，为结构的安全和可靠性提供保障。
三、方法：1.几何形态分析：通过对结构的形状、尺寸和布置等几何特征进行分析，包括平面形态、立面形态和剖面形态等方面的研究。
2.构造特征分析：对结构的构造特征进行详细的分析，包括结构的构件形式、连接方式、节点形态等方面的研究。
3.力学行为分析：通过对结构的几何形态和构造特征进行力学分析，揭示结构的刚度、稳定性、变形特性等力学行为。
4.性能评估分析：通过分析结构的几何构造，评估结构的承载能力、抗震性能、耐久性等性能指标。
四、应用：1.结构设计：几何构造分析为结构的设计提供了重要的依据，可以通过分析结构的几何形态和构造特征，优化结构的形态和构造，提高结构的性能。
2.结构评估：几何构造分析可以用于对已有结构的评估，通过分析结构的几何特征和构造特征，评估结构的安全性和可靠性。
3.结构优化：通过几何构造分析，可以识别出结构的不足之处，进而进行结构的优化设计，提高结构的性能。
4.结构研究：几何构造分析可以用于研究结构的力学行为和性能，为结构的理论研究提供依据。
结构的几何构造分析概念
结构的几何构造分析概念1-11、几何组成分析的目的主要是分析、判断一个体系是否几何可变，或者如何保证它成为几何不变体系，只有几何不变体系才可以作为结构。
几何可变体系：不考虑材料应变条件下，体系的位置和形状可以改变的体系。
几何不变体系：不考虑材料应变条件下，体系的位置和形状保持不变的体系。
2、自由度：描述几何体系运动时，所需独立坐标的数目。
平面内一个动点A，其位置要由两个坐标 x 和 y 来确定，所以一个点的自由度等于2。
平面内一个刚片，其位置要由两个坐标 x 、y 和AB 线的倾角α来确定，所以一个刚片在平面内的自由度等于3。
3、刚片：平面体系作几何组成分析时，不考虑材料应变，所以认为构件没有变形。
可以把一根杆、巳知是几何不变的某个部分、地基等看作一个平面刚体，简称刚片。
4、约束：如果体系有了自由度，必须消除，消除的办法是增加约束。
约束有三种：5、多余约束：减少体系独立运动参数的装置称为约束，被约束的物体称为对象。
使体系减少一个独立运动参数的装置称为一个约束。
例如一根链杆相当于一个约束;一个连接两个刚片的单铰相当于二个约束;一个连接n个刚片的复铰相当于n—1个单铰;一个连接二个刚片的单刚性节点相当于三个约束;一个连接n 个刚片的复刚性节点相当于n—1个单刚性节点。
如果在体系中增加一个约束，体系减少一个独立的运动参数，则此约束称为必要约束。
如果在体系中增加一个约束，体系的独立运动参数并不减少，则此约束称为多余约束。
平面内一个无铰的刚性闭合杆(或称单闭合杆)具有三个多余约束。
6、瞬变体系及常变体系：常变体系概念：体系可发生大量的变形，位移。
区别于瞬变体系：瞬变体系概念：体系可发生微小的变形，位移。
7、瞬铰：两刚片间以两链杆相连，其两链杆约束相当(等效)于两链杆交点处一简单铰的约束，这个铰称为瞬铰或虚铰。
2-2平面杆件体系的计算自由度1、体系是由部件（刚片或结点）加上约束组成的。
2、刚片内部：是否有多余约束。
结构力学——几何构造分析
如果将链杆视为一刚片， 则三规律等价
三角形规律的应用技巧
• • • • • 1. 刚片的广义化 2. 约束的等价性 3. 二元体增减的等效性 4. 内部大刚片定义的灵活性 5. 瞬变体系的多样性
1. 刚片的广义化
三边在两边之和大于第三边时,能唯一地组 成一个三角形——基本出发点.
三刚片规则： 三个刚片用不在同 一直线上的三 个单 铰两两相连，组成 无多余联系的几何 不变体系。
图2-11 瞬变体系
规则3 二元体规则
在体系上用两个不共线杆件或刚片连接一个 新结点，这种产生新结点的装置称为二元体，图 2-12a符合定义为二元体，而图2-12b因为不符合上 述定义条件，因此不是二元体。
(a)
图2-12
(b)
二元体和非二元体
基于二元体的定义，在任意一体系上加二元体
或减二元体都不会改变体系的可变性。 利用加二元体规则，可在一个按上述规则构成
行吗？
瞬变体系
它可 变吗？
找虚铰 无多几何不变
F
D E
G
找刚片 无多几何不变
C
F
D
内部不 变性
E 找刚片
A B
5. 瞬变体系的多样性
瞬变体系
A C
P
B
不能平衡 C1 微小位移后，不能继续位移 瞬变体系(instantaneously unstable system) --原为几何可变，经微小位移后即转化为 几何不变的体系。
n=3
每个结点有 多少个 自由度呢？ n=2
每个单铰 能使体系减少 多少个自由度 呢？ s=2
每个单链杆 能使体系减少 多少个 自由度呢？ s=1
每个单刚结点 能使体系减少 多少个 自由度呢？ s=3
几何图形的构造和判定
几何图形的构造和判定一、图形的构造1.点、线、面的基本概念及关系–点：没有长度、宽度和高度的简单几何形状。
–线：由无数个点连成的，有一定方向的无限延伸的图形。
–面：由线段或曲线段围成的封闭平面图形。
2.基本图形的构造–三角形：由三条线段首尾顺次连接而成的图形。
–四边形：由四条线段首尾顺次连接而成的图形。
–圆：平面上到定点距离等于定长的点的集合。
3.图形的大小和形状–长度：图形边缘的长度。
–面积：图形所覆盖的平面区域的大小。
–角度：两条射线的夹角，用来度量图形的大小。
4.坐标系与几何图形的表示–直角坐标系：由两条互相垂直的数轴组成的坐标系统。
–极坐标系：以原点为中心，用角度和距离表示点的位置的坐标系统。
二、图形的判定1.相等判定–两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。
–两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等。
–两边及其夹角分别相等的两个四边形相似。
2.平行判定–同位角相等，两直线平行。
–内错角相等，两直线平行。
–平行线之间的夹角相等。
3.垂直判定–两条直线相交成直角，则这两条直线垂直。
–一个角的两边分别垂直于另一角的两边，则这两个角互相垂直。
4.角度判定–三角形的内角和为180度。
–四边形的内角和为360度。
–圆周角等于圆心角的一半。
5.三角形判定–等边三角形：三边相等的三角形。
–等腰三角形：两边相等的三角形。
–直角三角形：一个角为90度的三角形。
6.四边形判定–矩形：对角线相等且互相平分的四边形。
–平行四边形：对边平行且相等的四边形。
–梯形：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形。
三、图形的变换•保持图形大小、形状不变，仅改变图形位置的变换。
•保持图形大小、形状不变，仅改变图形方向的变换。
•图形关于某条直线对称，对称轴上的点不变。
4.中心对称–图形关于某个点对称，对称中心上的点不变。
四、图形的性质与定理1.三角形的性质–三角形的内角和为180度。
–两边之和大于第三边。
–两边之差小于第三边。
2-1几何构造分析基本概念
西南交通大学几何组成分析 Gmometrical construction Analysis of Plane System
西南交通大学土木工程学院 主讲：罗永坤
yluo@
第二章 平面体系的 几何构造分析
一、概述 二、体系几何组成分析假定
不考虑材料变形 三、几何构造分析的几个概念
1.几何可变与几何不变 2.刚片 3.自由度 4.约束（联系） 5.多余约束与必要约束
6.计算自由度 7.单铰与复铰 8.实铰与虚铰(瞬铰) 9.瞬变体系
yluo@
§1 概述 三、几何构造分析的几个概念
5.计算自由度
yluo@sw定jtu.超cn 静定静定结构的超静定次数和基本结构。
§1 概述
一、概述 3.内容与要求
⑴掌握基本概念； ⑵计算自由度概念与计算； ⑶掌握几何不变体系的组成规律与运用； ⑷体系可变性与结构的关系。
二、体系几何组成分析假定 不考虑材料变形
yluo@
§1 概述 三、几何构造分析的几个概念
一、概述 二、体系几何组成分析假定
不考虑材料变形 三、几何构造分析的几个概念
1.几何可变与几何不变 2.刚片 3.自由度 4.约束（联系） 5.多余约束与必要约束
6.计算自由度 7.单铰与复铰 8.实铰与虚铰(瞬铰) 9.瞬变体系
yluo@
§1 概述 三、几何构造分析的几个概念 8. 实铰与虚铰（瞬铰）
6.计算自由度 7.单铰与复铰 8.实铰与虚铰(瞬铰) 9.瞬变体系
yluo@
§1 概述
一、概述 1.作为一个承重结构，它的几何构造应当合 理，本身应当是几何稳固的，要能够保持几 何形状不变，简称为几何不变体系。
于玲玲结构力学第一章_结构的几何构造分析
12 31 2 3I 12 31 2 3 第一章 结构的几何构造分析一、基本概念1、几何不变体系、几何可变体系、常变体系、瞬变体系的概念及其相互关系几何不变体系——在不考虑材料应变的条件下，几何形状和位置保持不变的体系。
几何不变体系可以分为无多余约束的几何不变体系（静定结构）和有多余约束的几何不变体系（超静定结构）。
几何可变体系——在不考虑材料应变的条件下，几何形状和位置可以改变的体系，包括常变体系和瞬变体系。
常变体系——如果一个几何可变体系可以发生大位移，则称为几何常变体系。
几何常变体系绝大多数情况下都缺少必要约束，但少数情况下即使不缺少必要约束也可以组成几何常变体系，如图 1-1a 、c 中，刚片 I 、II 之间均由三根链杆相连，不缺少必要约束，但图 a 中三链杆平行等长，图 c 中三链杆交于一实铰，这两种体系都能发生很大的位移，是几何常变体系，发生位移后的情形见图 1-1b 、d 。
瞬变体系——本来是几何可变，经微小位移后又成为几何不变的体系，称为瞬变体系。
其特点是： （1）不缺少必要的约束，但约束的布置不合理，当发生微小位移后，约束的布置变得合理，就成为几何不变体系；（2）在发生微小位移之前，体系具有自由度，因此瞬变体系至少有一个多余约束。
如图 1-2 a 、c 中，均不缺少必要约束，发生微小位移后，三链杆不再交于一点，故原体系为瞬变体系。
相互关系：♣ ♣无多余约束♠几何不变体系（可以作为结构）♦ ♠ 体系♦ ♥有多余约束 ♣常变体系 ♠ 几何可变体系（不能作为结构）♦ ♠♥ (a) I (b)(c) I ♥瞬变体系 (d) IIIII IIII图 1-1(a)(b) (c) I(d)I II2、瞬铰（或虚铰） 2.1 瞬铰的概念IIIIII图 1-2用两根链杆连接两个刚片时，这两根链杆的约束作用相当于一个单铰，该铰的位置在两杆的交点， 我们称这种铰为瞬铰（或虚铰）。
两根平行链杆所起的约束作用相当于无穷远处的瞬铰。
几何构造分析练习题
） ）
4、在工程中，瞬变体系不能作为结构的原因是（ A．会发生微小位移 B．约束的数量不足 C．正常荷载作用下，可能产生很大的内力 D．会产生较大的位移 5、下图中链杆 1 和链杆 2 的交点可视为虚铰。 （
1
） 。 （福州大学 2012）
） （河北工业大学 2012）
2
6、下图所示体系虽有 3 个多余约束，但未保证其几何不变，哪两根链杆是不能同时去掉的。 （ （中国矿业大学 2012） A．a 和 e B. a 和 b
B 1 A 2 C
瞬变体系与常变体系的两个判定规则： 1） 微小变形规则 让体系发生微小变形，如果三个铰还在同一直线上，则是常变体系，不在同一直线上，则是瞬 变体系。 2） 平行等长规则（特别注意平行等长的对象是谁） 组成无穷远铰的两根平行链杆与另外两铰的连线平行且等长，则为常变体系，否则为瞬变体系。 【例题】图示体系的计算自由度 W 1 ，是几何_________变体系；若在 A 点加一竖向链杆支座，则 称为几何_____________变体系；若在 A 点加一固定铰支座，则称为______变体系。 （哈尔滨工业大 学 2010 年）
J
C
D
E
F
A
B
【练习题】试对图示体系作几何组成分析。 （东南大学 2015，湖南大学 2
J
E A B C
F D
【练习题】试对图示体系作几何组成分析。(东南大学 2013)
D E G H
F
A
B
C
9 / 19
§1-4 计算自由度
所有体系都是由部件加约束组成的。但约束可分为必要约束和多余约束。 体系所有的部件自由度之和减去所有的约束，就是体系的计算自由度。之所以叫计算自由度，是为 了与体系的真实自由度区分开来。体系的真实自由度等于所有部件自由度之和减去必要约束。 1. 单约束与复约束 约束可以分为单约束和复约束，两个刚片间的结合为单结合，三个刚片间的结合相当于两个单 结合。一般说来，n 个刚片间的复结合相当于（n-1）个单结合。 举例说明：用 1 个铰连接 5 个链杆，相当于（5-1）个单铰约束。因为 5 个独立的链杆共有（5×3） 个自由度，用一个铰连接起来后，整体有 2 个平动自由度，外加每根杆有 1 个转动自由度，共有 7 个自由度，因此体系获得了（15-7）=8 个约束，即（5-1）=4 个单铰约束。满足 n 个刚片间的复结 合相当于（n-1）个单结合这一结论。
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李其林结构力学
第一章几何构造分析
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第一章几何构造分析
§1-1 几何构造分析的9个概念
§1-2 平面杆件体系的基本组成规律
§1-3 瞬变体系与常变体系的判定
§1-4 计算自由度
§1-5 扩大基础法与等效替代
§1-6 综合练习题
学习说明：本章按照考研的出题规律，分为6节，其中第1、2两节是基本概念和基本规律，第3、4、5节为重点、难点，这三节的知识点往往教材强调不够。
这5节里面，每节都有例题和练习题，例题可以先看视频，练习题建议先做题再看视频，相应的练习题就用上面的例题的知识点就可以解决。
第6节的综合练习题不再指定用什么方法，需要自己灵活应用前面的多种方法。
祝大家克服难点，学习愉快！
§1-1 几何构造分析的7个概念
1. 几何不变体系和几何可变体系
几何不变体系：在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是不能改变的。
几何可变体系：在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和形状是可以改变的。
2. 自由度
指完全确定体系位置所需的独立坐标的数目。
例如，平面上一个点有2个自由度
,y,x( 。
)y,x(，平面上一个刚片有三个自由度)
3. 约束
凡是减少体系自由度的装置称为约束。
一根链杆或链杆支座相当于1个约束。
一个单铰或固定铰支座相当于2个约束。
一个刚结点或固定端相当于3个约束。
4. 多余约束
如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不因而减少，则此约束称为多余约束。
5. 瞬变体系
本来是几何可变体系，经过微小的位移后又成为几何不变的体系，称为瞬变体系。
如果一个几何可变体系可以发生大位移，则称为常变体系。
6. 瞬铰（虚铰）
从瞬时微小运动来看，两根链杆所起的约束作用相当于在链杆交点处的一个铰所起的约束作用，这个铰可称为瞬铰，有的教材也叫虚铰。
要注意的是，瞬铰的位置随着链杆的转动而改变。
7. 无穷远处的瞬铰
如果用两根平行的链杆把刚片与基础相连接，则两根链杆的交点在无穷远处。
因此，两根链杆所起的约束作用相当于无穷远处的瞬铰所起的约束作用。
在几何构造分析中应用无穷远处的瞬铰的概念时，可以采用以下4点结论：
（1）每个方向都有一个无穷远点。
（2）不同方向有不同的无穷远点。
（3）各无穷远点都在同一直线上，此直线称为无穷远线。
（4）各有限点都不在无穷远线上。
8. 计算自由度
体系各组成部分总的自由度数减去体系中总的约束数，可记为W。
9. 二元体
两个刚片与一个体系间只用三个不在一直线上的铰两两相联，则两个刚片称为二元体。
【练习题】
1、仅用静力平衡方程即可确定全部反力和内力的体系是几何不变体系，且没有多余约束。
（）（福州大学2010）
2、几何瞬变体系产生的运动非常微小并很快就转变成几何不变体系，因而可以用作工程结构。
（）
3、以下关于瞬变体系的论述，正确的是（）。
（浙江大学2012）
A．瞬变体系的总体约束数目不足，从而导致体系瞬时可变。
B．瞬变体系经微小位移后即称为几何不变，因此可以作为结构使用。
C．瞬变体系中必然存在多余约束。
D．瞬变体系必定存在瞬铰。
4、在工程中，瞬变体系不能作为结构的原因是（）。
（福州大学2012）
A．会发生微小位移
B．约束的数量不足
C．正常荷载作用下，可能产生很大的内力
D．会产生较大的位移
5、下图中链杆1和链杆2的交点可视为虚铰。
（）（河北工业大学2012）
6、下图所示体系虽有3个多余约束，但未保证其几何不变，哪两根链杆是不能同时去掉的。
（）（中国矿业大学2012）
A．a和e B. a和b C. a和c D. c和e
7、三个刚片用三个铰两两相连，其中一个铰为无穷远虚铰，当________时构成几何不变体系。
（哈尔滨工业大学2011）
8、虚铰是指连接______刚片的______，其作用相当于______。
（哈尔滨工业大学2013）
参考答案
§1-1
练习题
1.×。
提示:如下体系仅用静力平衡方程即可确定全部反力和内力，但此体系为几何
可变体系。
2.×。
3.Ｃ。
4.Ｃ。
5.×。
提示：1、2杆两端连接的不是两个相同的刚片。
6.Ｂ。
提示：去掉a、b杆后，c、d杆组成几何瞬变部分。
7.另两铰的连线不与构成虚铰的两链杆平行。
8.两个相同；两根链杆；一个单铰。