12个球称3次找坏球的数学解答(原作者-方)

序篇（4-4-4分组整体称法）

古老的智力题详述:

有12个球特征相同,其中只有一个重量异常,要求用一部没有砝码的天平称三次,将那个重量异常的球找出来。

以下会给4个解答，一个比一个牛，一个比一个震撼！

第一篇先给个被号称网上最牛的解答，一种新的完全的数学解法（线代+信息论），该文解法创于2005年，一次与友人聊天建议发表到QQ346546618的个人空间（2006年7月），后被网友转载到各大网站并被收入到百度文库。

第二篇会给个EXCEL进阶解法，网友们可以用此法加上分块矩阵的方法继续找出9球称4次找2异常球的具体解法或更复杂的称球问题。

第三篇会给出2个很漂亮完美的非常特别的解，其称量结果的三进制和异常球序号及和轻重状态具有简洁的一一对应关系。

先给个444分组的具体称量方案：

把12个球编成1，2......12号，则可设计下面的称法：

左盘*** 右盘

第一次1，5，6，12 *** 2，3，7，11

第二次2，4，6，10 *** 1，3，8，12

第三次3，4，5，11 *** 1，2，9，10

每次都可能有平、左重、右重三种结果，搭配起来共有27种结果，但平、平、平的结果不会出现，因为总有一个球是不相等的。同样左、左、左，右、右、右的结果也不回出现，因为根据设计的称法，没有一个球是三次都在左边或右边的。剩下的24种结果就可以判断出哪种情况是哪一个球了。例如：如果结果是平、平、左或是平、平、右，就可判断出是9号球，因为第一次与第二次都没有9号球，唯独第三次有9号球，而第一次与第二次都是平的，只有第三次是失衡的，说明9号球的重量与其它的球不同。可依据此原理判断出其它的各种情况分别是哪个球。

有12个球，而坏球又可能比好球轻也可能比好球重，所以总共有12x2=24种可能，24

可能结果如下表：

************ ********** ************ **********

* 可能* －* 结果* * 可能*－* 结果*

************ ********** ************ **********

1号球，且重－左、右、右1号球，且轻－右、左、左

2号球，且重－右、左、右2号球，且轻－左、右、左

3号球，且重－右、右、左3号球，且轻－左、左、右

4号球，且重－平、左、左4号球，且轻－平、右、右

5号球，且重－左、平、左5号球，且轻－右、平、右

6号球，且重－左、左、平6号球，且轻－右、右、平

7号球，且重－右、平、平7号球，且轻－左、平、平

8号球，且重－平、右、平8号球，且轻－平、左、平

9号球，且重－平、平、右9号球，且轻－平、平、左

10号球，且重－平、左、右10号球，且轻－平、右、左

11号球，且重－右、平、左11号球，且轻－左、平、右

12号球，且重－左、右、平12号球，且轻－右、左、平

上面的24种结果里面没有一个重复的，也可以把上面的结果反过来当成可能，也可唯一的推出那个球为坏球，证明此方法可行。

第一篇（完美的数学建模）

原文：

网上的最多的方法是逻辑法,还有少数画成图的所谓策略树和基于此的程序算法.这里我提出一种新的完全的数学解法:

一·首先提出称量的数学模型:

把一次称量看成一个一次代数式,同样问题就可以描述成简单的矩阵方程求解问题.怎么把一次称量表示成一个代数式呢?

1),简化描述小球的重量(状态)----正常球重量设为0,设异常球比正常球重为1或轻为-1,异常球未知轻重时用x代表(只取1或-1).用列向量j表示所有球的重量状态.

2),简化描述称量的左右(放法)-----把某号球放左边设为1,右边设为-1,不放上去设为0.用行向量i表示某次称量所有球的左右状态.

3),描述称量结果:

由1),2)已经可以确定一个称量式

∑各球的重量*放法=天平称量结果.--------(1)式

如果我们用向量j,i分别表示球的重量状态和球的左右放法情况(j为行向量,i为列向量),对于(1)式,可以改写为

j*i=a(常数a为单次称量结果) -------------(2)式

例如有1-6号共6个小球,其中4号为较重球,拿3号5号放左边,1号4号放右边进行称量,

式子为:

(-1)*0+0*0+1*0+(-1)*1+1*0+0*0=-1,

从-1的意义可以知道它表示结果的左边较轻;

同样可以得到0表示平衡,1表示左边较重.

4),方程用来描述称量过程,还需附加一个重要的条件:代表放左边的1和右边的-1个数相等,也就是

∑各球的放法=0-------------------------(3)式

这样就解决了称量的数学表达问题.

对于12个小球的3次称量,分别用12维行向量j1,j2,j3表示,由j1j2j3便构成了3×12的称量矩阵J；对于某一可能情况i,对应的3次称量结果组成的3维列向量b,得

J*i=b

二·称球问题的数学建模

问题的等价：

设J为3×12的矩阵，满足每行各项之和为0。i为12维列向量,i的某一项为1或－1，其他项都是0，即i是12×24的分块矩阵M=(E,-E)的任一列。而3×27的矩阵C为由27个互不相同的3维列向量构成，它的元素只能是1,0,-1.

由问题的意义可知b=J*i必定是C的某一列向量。而对于任意的i,有由J*i=b确定的b互不相同.

即

J*M=J*(E,-E)=(B,-B)=X -----（设X为3×24的矩阵）

因为X为24列共12对互偶的列向量，而C为27列，可知从C除去的3列为(0,0,0)和1对任意的互偶的列向量，这里取除(1,1,1)和(-1,-1,-1).

由上式得J*E=B推出J=B,X=(J,-J)。因此把从27个3维列向量中去除(0,0,0),(1,1,1),(-1,-1,-1)然后分为互偶的两组(对应取反)

[ 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1];

[ 0, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 1, 1,-1,-1,-1];

[ 1, 0, 1,-1, 0, 1,-1, 0,-1, 0, 1,-1].

[ 0, 0, 0, 0,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1];

[ 0,-1,-1,-1, 0, 0, 0,-1,-1, 1, 1, 1];

[-1, 0,-1, 1, 0,-1, 1, 0, 1, 0,-1, 1].

现在通过上下对调2列令各行的各项和为0！！即可得到J.我的方法是从右到左间隔着进行上下对调，然后再把2排和3排进行上下对调，刚好所有行的和为0。得

称量矩阵J=

[0, 0, 0, 0, 1,-1, 1,-1, 1,-1, 1,-1];

[0, 1,-1,-1, 0, 0, 0,-1, 1, 1,-1, 1];

[1, 0,-1, 1, 0,-1,-1, 0,-1, 0, 1, 1].

相应三次称量两边的放法：

左边5，7，9，11 ：右边6，8，10，12；