第2讲 向量的数量积、向量积、混合积

ay,
az
)。
a
i
ax, ay , az 不同时为零
在 x 轴上：a ( ax , 0, 0 ) ；a yz 平面
a//
i
在 y 轴上：a ( 0, ay , 0 ) ；a xz 平面 在 z 轴上：a ( 0, 0, az )。a xy 平面
a//
j
a//
k
ax, ay , az 不为零
1. 向量的向量积的概念 向量积的物理模型
力矩的大小＝力的大小 力臂的长度 方向: 由力臂到力符合右手法则
设力
F
作用于杠杆上点
P 处,
F 与OP间的夹角为。
F
O P
Q
则力 F对点 O 产生的力矩为一个向量
M,
且
||
M
||
||
F ||
||
OQ
||
||
F ||
||
OP
||
sin
,
M
的方向是从OP
到
F 以不超过
|
a
b|
|
||
a||
||
b ||
cos
a,
b
|
||
a||
||
b ||
,
得
| axbx ayby azbz | ax2 ay2 az2 bx2 by2 bz2 。
(当
cos
a,
b
1
时等号成立,
此时
a// b。)
例 (a12 a22 an2 ) (b12 b22 bn2 ) (a1b1 a2b2 anbn )2
1 1 。
02 32 12
10
1
1 。
42 (1)2 22
21
位于坐标面上的非零向 量的特征是什么？ 位于坐标轴上的非零向 量的特征是什么？
在
xy
坐标面上： a ( ax , ay ,0 ) ；
a
k
在
xz
坐标面上：a ( ax , 0, az
) ； a
j
在
yz
坐标面上：
a
(
0,
则
a0 (cosa , cos a , cos a ) ,
b 0 (cosb , cos b , cos b ) ,
cos
a,
b
||
aa|||b|b||
a0
b0
cosa cosb cos a cos b cos a cos b 。
例
设力
F 2i 4j 6k
作用于质点P 上,
prja
b
prja
c)
||
a||
prja
b
||
a||
prja
c
a
b
a
c。
例
规定：a a a2, 则有 a2 || a||2 。
求
(a
b)
(c
d)
和
(a
b)
(a－b)
的表达式。
解 由数量积的分配律,
(a
b)
(c
d)
a
(c
d)
b
(c
d)
a
c
a
d
b
c
b
d
(a
b)
(a
的角度旋转时,
按右手法则确定 ,
且
M
垂直于
OP
和
F 。
向量的向量积
设
c
是由a和
b 按下列方式确定的向量:
(1)
||
c||
||
a|| ||
b ||
sin ,
0
(
a,
b
);
(2) c a,
c
b
( c垂直于a与b所确定的平面) ;
(3) c的方向, 按右手法则从a转到b确定,
则称c为a与b的向量积, 记为 c ab。
与相应的初等代数公式进行比较
性质 3
( a
b)
(
a)
b
a
(
b)
(a
b)
其中 为实数。 ( 与数乘的结合律)
证 0 时, 等式显然成立。
0
时,
因为 a,
b
a,
b ,
所以,
其它情形
(
a)
b
||
a||
||
b ||
cos
a,
b
类似可证
|
| ||
a||
||
b ||
cos
a,
b
( a
b)
(a
b)
(a
(b ))
a
(b )
||
a||
prja(b )
|| a||
a
b
prja
b
a
a
a
(b )
b
a
b
(b )
a2
a
b
b
a
b2
a2
b 2。
常用的公式
(a
b)
(c
d)
a
c
a
d
b
c
b
d
(a
b)
(a
b)
a2
b2
(a
b)2
a2
2
a
b
b2
a a a2 || a||2
右手法则: 伸开右手, 四个手指以不超过 的角度
从 a的正向转向b的正向握拢时, 拇指
所指的方向为 c的正向。
c
a
b
b
a
1. ab是一个向量, 即两个向量的向量积是一个向量。
2.
a
b
a,
a
b
b。
a
(a
b)
(a
b)
a
0
;
b
(a
b)
(a
b)
b
0。
3. a a 0。 ( || a a|| || a|| || a|| sin a, a 0 )
引入向量
a
AB,
b BC,
则
A
B
F
AC
AB
BC
a
b,
CF
DB
AB
BC
a
b,
E
故
S
AEFC
||
AC CF
|| ||
(a
b)
(a
高等院校非数学类本科数学课程
大 学 数 学（二）
—— 多元微积分学 第一章 向量代数与空间解析几何
第二节 向量的数量积、向量积、混合积
本节教学要求： ▲ 正确理解向量的数量积、向量积、混合积的概念。 ▲ 熟悉数量积、向量积、混合积的运算性质。 ▲ 熟悉数量积、向量积、混合积的坐标形式。 ▲ 理解向量在轴上的投影，向量间的夹角与数量积的关系。 ▲ 会计算三阶行列式。 ▲ 掌握向量间垂直、平行、共面与数量积、向量积、混合积
例
设 a (4, 1, 2),
b (0,
3,
1),
c (5,
1, 3),
求 ab,
b
c
以及
prj a,
b
prja b。
b 位于 yz
坐标面上
解 ab 4 0 (1)3 21 1。
b
c
0
(5)
31
1
(3)
0
。
(
b
c
)
prjb
a
a b || b ||
prja
b
a
b
|| a||
b )。
0
时,
因为 a,
b
a,
b ,
所以,
(
a)
b
||
a||
||
b ||
cos(
a,
b )
||
a||
||
b ||
(
cos
a,
b
)
( a
b )。
3. 向量的数量积的坐标表示 向量相互垂直的充要条件
定理 1
设 a,
b 为非零向量,
则
a
b
a
b
0
证
由
a
b
||
a||
||
b ||
F, S arccos
2
且
0
F, S
。
7
例
设
a
b
c
0,
且
||
a||
||
b ||
||
c||
1,
求
a
b
b
c
c
a。
解
因为
(a
b
c)2
||
a
b
c||2 ||
0 ||2
0
,
(a b＋c)2 (a b＋c) (a b＋c)
a2
b2
c2
2
a
b
2
b
c
2
c
a
||
a||2
||
aybz
j
k
azbx
k
i
azby
k
j
azbz
k2
axbx ayby azbz。
向量的数量积的坐标形 式
设 a (ax , ay , az ),
b (bx ,by ,bz ), 则
a
b
axbx
ayby
azbz。
由此推出：
a
b
a
b
0
axbx ayby azbz 0。
a
b
||
a||
||
b ||
cos
a, b
,
b
a
||
b ||
||
a||
cos
b,
a
,
因为
cos
a ,
b
cos
b,
a
,
所以
a
b
b
a。
性质 2
a
(b
c)
a
b
a
c
( 分配律)
(b
c)
a
b
a
c
a
证
a
(b
c)
||
a||
prja(b
c)
“和的投影等于投影的和”
||
a||
(
平行于坐标面的非零向 量的特征是什么？ 平行于坐标轴的非零向 量的特征是什么？ 垂直于坐标面的非零向 量的特征是什么？ 垂直于坐标轴的非零向 量的特征是什么？
请课后思考、讨论。
4. 两个向量间的夹角
设 a (ax , ay , az ),
b (bx ,by ,bz ) 为非零向量,
则
a
b
b ||
cos
为向量
a
与
b
的数量积,
记为
a
b
||
a||||
b ||
cos
,
其中,
a ,
b ,
且
0
。
a
b
||
a||
prja
b
a
b
||
b ||
prjb
a
prja
b
a
b
|| a||
prjb
a
a b || b ||
2. 向量的数量积的性质
性质 1
a
b
b
a
( 交换律 )
证 由数量积的定义, 得
使质点产生位移
S
3i 2j k,
求力F 所作的功,
并求力F 与位移S间的夹角。
解
W FS
(2 i 4 j 6 k ) (3 i 2 j k )
2 3 4 2 6 (1) 8。 物理单位
cos F, S
FS
8
2,
|| F || || S ||
56 14 7
故
外力
F
作用于质量为
m
的物体上
,
使物体沿直线移动了距离 S, 该力所作
的功为
F
W
||
F
||
cos ||
S
||
。
m
S
W || F || || S || cos
力和位移是向量： F,
S;
W || S || prjSF
功是标量(数量) ：W。
向量的数量积
设
a
和
b 为任意两个向量,
则称数值
||
a||||
||
a||
||
b ||
cos
a,
b
,
故
cos a,
b
||
aa|||b|b||
看出点什么没有？
axbx ayby azbz
,
ax2
a
2 y
az2
bx2 by2 bz2
由此可求出 a,
b 。
注意：0
a,
b
设 a (ax , ay , az ),
b (bx ,by ,bz ) 为非零向量,
证
0 (a1 tb1 )2 (a2 tb2 )2 (an tbn )2
令 a12 a22 an2 A b12 b22 bn2 B a1b1 a2b2 anbn C
A Bt2 2tC 0
(2C)2 4AB 0
AB C
二. 向量的向量积 1. 向量的向量积的概念. 2. 向量的向量积的性质. 3. 向量的向量积的坐标形式.
a
b
(b
a)
。
a
b
b
a
(a
b)
性质 2
(a
b)
(
a)
b
a
(
b)
( a
b )
R
( 与数乘的结合律)
性质 3
(a
b)
c
a
c
b
c
c
(a
b)
c
a
c
b
( 分配律)
一般形式:
(a
b)
(c
d)
a
c
a
d
b
c
b
d
向量相互平行的充要条件
推论 :
a
a
0
定理 2
设 a,
b 为非零向量,
cos
a,
b 立即可得
a
b
0
a,
b
a
b。
2
规定：0 与任何向量垂直。
基本单位向量的数量积
基本单位向量
i,
j,
k 间的数量积如下：
i i
i2
||
i
||2
1
;
j
j
j 2
||
j ||2 1;
k k k 2 || k ||2 1;
i
j
j i
jk
k
j
b ||2
||
c||2
2
a b
2
b
c
2
c a
3
2
( a
b
b
c
c
a)
故
a
b
b
c
c
a
3
。
2
例 证明：在圆内，直径所对的圆周角为直角。