平摆线和渐开线

x OD OA DA OA MC r r sin ,
y DM AC AB CB r r cos .
3、摆线的参数方程
M O y

B
A
M O D

B C A E x
x r ( sin ), 摆线的参数方程为： (为参数) y r (1 cos ).

B
A
同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。
的长，即OA r。 线段OA的长等于MA
我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。
2、摆线的参数方程
M O

B
A
根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定 直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。 设圆的半径为r。
设开始时绳子外端（笔尖）位于点A，
当外端展开到点M时，因为绳子对圆心角的一段弧AB， 展开后成为切线，所以切线BM的长就是AB的长， 这是动点（笔尖）满足的几何条件。
B
பைடு நூலகம்
M
我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线， 相应的定圆叫做渐开线的基圆。

O
A
5 渐开线的参数方程:
设圆的半径为r，则动点M的初始位置的坐标为（r,0), 则动点M的坐标为（x,y), 是以OA为始边、OB为终 边的正角令 为参数，此时AB的弧长为r .
§4 平摆线和渐开线
汉滨高级中学
1、摆线的定义
思考：
如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？ 摆线在它与定直线
的两个相邻交点之间 上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周 的部分叫做一个拱。
上一个定点的轨迹是什么？ M O
y
M O D

B C A
所以，摆线的参数方程为：
E
x x r ( sin ), 设开始时定点M 在原点，圆滚动了角后与x轴相切于点为参数) B。 ( A，圆心在点 从点M 分别做AB，x轴的垂线，垂足分别是C，D。 ). y r (1 cos
设点M的坐标为( x, y), 取为参数，根据点M 满足的几何条件，有
这就是圆的渐开线的参数方程
6、渐开线的参数方程
x r (cos sin ) (是参数)。 y r (sin cos )
y
M B

O A
x
渐开线的应用：
在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。 由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便， 因此大多数齿轮采用这种齿形。 设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。
小结： 1、圆的渐开线，渐开线的参数方程 2、平摆线、摆线的参数方程
作MD⊥BC，垂足为D，则∠MBD=∠AOB= 由此可得： 做ME⊥Ox,BC⊥Ox，垂足分别为E,C;

D E
，
O C
x=OE=OC+CE=OC+DM=OB cos AOB+BM sin MBD =OB cos +BM sin =rcos +rsin , y=EM=CD=CB-DB=OB sinAOB-BM cosMBD OB sin BM cos rsin r cos . x r (cos sin ) 所以，M点的参数方程为 (是参数)。 y r (sin cos )
思考：
在摆线的参数方程中，参数 的取值范围是什么？ 一个拱的宽度与高度各是什么？
4、渐开线的定义
探究：
把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。 这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？
动点（笔尖）满足什么几何条件？