相似三角形---射影定理的运用

相似三角形----射影定理的推广及应用

射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中

应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。一般地，若将定理中的直角三

角形条件非直角化，亦可得到类似的结论（这里暂且称之为射影定理的推广），而此结论又可作为证明其

它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。下面结合例子从它的变式推广上谈谈其应用。

一、射影定理

射影定理直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边

上的射影和斜边的比例中项。

如图（1） : R t^ABC中，若CD为高，

贝U有C D 2=BD? AD、

BC 2=BD ?AB或

AC 2 =AD ?AB。（证明略）

二、变式推广

1 •逆用如图（1）:若AABC中，CD为高，且有DC

2 =BD?

AD或AC 2 =AD ?AB或BC 2 = BD ?AB，则有ZDCB = ZA或/ACD = /B，均可等到AABC为

直角三角形。

（证明略）

2 •—般化，若AABC不为直角三角形，当点D满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。（后文简称：射影定理变式（2））

如图（2） : △ABC中，D 为AB上一点，若ZCDB = ZACB，或/DC

B = ZA，则有△CDBs^ACB，可得B

C 2 =BD?AB ;反之，若AABC 中，

D为AB上一点，且有BC 2 =BD ?AB，则有△CDBs^ACB，可得到/CD

EC 2 )

B=/ACB，或/DCB=/Ao

（证明略）

三、应用

例1 如图（3）,已知：等腰三角形ABC中，AB = AC,高AD、BE交于点H, 求证：4DH ?DA=BC 2

分析：易证/BAD = /CAD =90°-/C = /HBD，联想到射影定理变式（2）,可得BD 2 =DH ?DA，又BC=2BD，故有结论成立。

（证明略）

例2 如图（4）:已知OO中，D为弧AC中点，过点D的弦ED被弦AC分为4和12两部分, 求DC。

分析：易得到ZDBC = ZABD = ZDCE，满足射影定理变式（ 2 ）的条件,

A

故有CD 2=DE ?DB，易求得DC=8

（解略）

例3 已知：如图（5）, △ABC中，AD平分ZBAC,AD的垂直平分线交A

B于点E,交AD于点H,交AC于点G,交BC的延长线于点F,

求证：DF 2 = CF ?BF。

证明：连AF, TFH垂直平分AD,

•••FA=FD, ZFAD = ZFDA,

VAD 平分/BAC,「./CAD = /BAD,

.•ZFAD-ZCAD = ZFDA-ZBAD,

•/ZB = ZFDA-ZBAD,

•••/FAC = /B，又/AF C 公共，

AF C F

•••△AFCs^BFA,.—= -,

BF AF

• ••AF2=CF ?BF,「.DF 2 =CF ?BF。

射影定理练习

【选择题】

1、已知直角三角形L ABC 中，斜边AB=5cm,BC=2cm ,D为AC上的一点, DE _ AB交AB于E，且

AD=3.2cm，贝U DE=(

A、1.24cm

B、1.26cm

C、1.28cm

D、1.3cm

2、如图1-1，在RtL ABC中，CD是斜别AB上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（）线

段的长，就可以求其他线段的长

C、3

【填空题】

2 2

___ , AB 2

: AC 2 = __________ 。

6、如图 2-1，在 RtL ABC 中，.ACB =90； , CD _ AB , AC=6 , AD=3.6，则 BC= ____________

A

2-1

【解答题】

7、已知 CD 是L ABC 的高，DE _ C 代 DF _ CB , 3-1，求证： L CEF s L CBA

3-1

1-2

3、在 RtL ABC 中, ZBAC -90, AD _ BC 于点

D ，若 AC 3

C 、

16

AB 「，则

-9

BD CD

如图1-2，在矩形 ABCD 中,

DE _ AC, ADE

16

CDE ，则 EDB -(

3

22.5”

B 、30v

C 、 45

D 、60”

5、LABC 中，.A =90l AD

-BC 于点D , AD=6 , BD=12，贝U CD=

AC=

&已知.CAB =90： , AD _CB , L ACE , L ABF 是正三角形，求证： DE _ DF

3-2

10、如图，在Rt △ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，点M 在CD 上，DH JBM 且与AC 的延长线交于点 E .求

9、如图3-2 ,矩形ABCD 中，AB=a , BC=b , M 是BC 的中点,

DE

E 是垂足，求证: DE _2ab_ 、4a 2 b 2