逆命题与逆定理

逆命题与逆定理

知识点：

一、命题

1．概念：对事情进行判断的句子叫做命题．

2．组成部分：命题由题设和结论两部分组成．每个命题都可以写成“如果……，那么……”的形式，“如果”的内容部分是题设，“那么”的内容部分是结论．

3．分类：命题分为真命题和假命题两种．判断正确的命题称为真命题，反之称为假命题．验证一个命题是真命题，要经过证明；验证一个命题是假命题，可以举出一个反例．

例：“两直线平行，内错角相等”的题设是______，结论是_____它是命题。

练习

1．命题“平行四边形的对角线互相平分”的条件是_____，结论是

______．

二、互逆命题

1．概念：在两个命题中，如果第一个命的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做原命题，则另一个就叫做它的逆命题．

2．说明：

（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；

（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立，反之亦然．

例1． 指出下列命题的题设和结论，并写出它们的逆命题．

（1）两直线平行，同旁内角互补；

（2）直角三角形的两个锐角互余；

（3）对顶角相等．

（1）题设是“两条平行线被第三条直线所截”，结论是“同旁内角互补”；逆命题是“如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行”．

（2）题设是“如果一个三角形是直角三角形”，结论是“那么这个三角形的两个锐角互余”；逆命题是“如果一个三角形中两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形”．

（3）题设是“如果两个角是对顶角”，结论是“那么这两个角相等”；逆命题是“如果有两个角相等，那么它们是对顶角”． 名师点金：当一个命题的逆命题不容易写时，可以先把这个命题写成“如果……，那么……”的形式，然后再把题设和结论倒过来即可．

练习

1．命题“矩形的对角线相等”的逆命题是__________________．

2．命题“如果∠A=65°，∠B=25°，那么∠A 与∠B 互余”的逆命题是________，它的逆命题是_______(填“真”或“假”)命题．

3．命题“全等三角形的面积相等”的逆命题的条件是___________，结论是_____________．

写出下列命题的逆命题，并判断原命题、逆命题的真假。

1、全等三角形的对应角相等；

2、自然数必为有理数；

3、若|a|＝|b|，则a ＝b ；

4、若a ＝b ，则33a b =；

5、若x ＝a ，则2()0x a b x ab -++=；

解：1、逆命题为：对应角相等的三角形是全等三角形。原命题为真命题，逆命题为假命题；

2、逆命题为：有理数必为自然数。原命题为真命题，逆命题为假命题；

3、逆命题为：若a ＝b ，则|a|＝|b|。原命题为假命题，逆命题为真命题；

4、逆命题为：若33a b =，则a ＝b 。原命题为为真命题，逆命题为真命题；

5、逆命题为：若2()0x a b x ab -++=，则x ＝a 。原命题为真命题，逆命题为假命题。

练习．写出下列命题的逆命题．

(1)如果a+b ＞0，那么a ＞0，b ＞0．

(2)如果a ＞0，那么a 2＞0．

(3)等角的补角相等．

(4)对顶角相等．

三、互逆定理

1．概念：如果一个定理的逆命题也是定理（即真命题），那么这两个定理叫做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定理．

2．说明：

（1）不是所有的定理都有逆定理，如“对顶角相等”的逆命题是“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”，这是一个假命题，所以“对顶角相等”没有逆定理．

（2）互逆定理和互逆命题的关系：互逆定理首先是互逆命题，是互逆命题中要求更为严谨的一类，即互逆命题包含互逆定理．四、互逆定理举例

1．等腰三角形的性质定理与判定定理

性质定理：等腰三角形底角相等．

判定定理：如果一个三角形有两个角相等，则这个三角形是等腰三角形．

1．角平分线的性质定理与判定定理

性质定理：角平分线上的点到这个角的两边距离相等．

判定定理：到一个角两边距离相等的点在这个角的角平分线上．3．线段垂直平分线的性质定理与判定定理

性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点距离相等．

判定定理：到一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．

4．勾股定理及其逆定理

勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方．即若用a，b表示直角三角形的两条直角边，c表示斜边，则a2+b2=c2．勾股定理的逆定理：如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形．即若用a，b，c表示一个三角形的三边长，其中c为最长边，且满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形，边c所对的角是直角．

基础巩固题

1．下列语言是命题的是( )

A．画两条相等的线段

B．等于同一个角的两个角相等吗

C．延长线段AD到C，使OC=OA

D．两直线平行，内错角相等

2．下列命题中真命题的个数是( )

①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则其斜边为10；、

②直角三角形的最大边长为3，最小边长为1，则另一边长为2；

③在直角三角形中，若两直角边边长为9和40，则斜边长为41；

④等腰三角形的面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．A．1个B．2个c．3个D．4个

3．下列命题的逆命题是真命题的是( )

A．直角都相等

B．钝角都小于180。

C．如果x2+y2=0，那么x=y=0

D．对顶角相等

4．下列说法中，正确的是( )