§3.6 信号抽样与抽样定理(信号抽样,时域抽样定理,连续时间信号的重建 )

会相互重叠。这样，抽样信号 fs (t) 保留了原连续信号f (t)的全部信息， 完全可以用 fs (t) 唯一地表示 f (t) ，或者说， f (t)完全可以由恢复出 fs (t) 。 如果 s 2m ，那么原连续信号频谱在周期重复过程中，各频移的频
谱将相互重叠，就不能从抽样信号中恢复原连续信号。频谱重叠的这种 现象称为频率混叠现象。
Pn
E
Ts
Sa( ns
2
)
则抽样信号的频谱为
Fs ()
E
Ts
Sa( ns
n
2
)F (
ns )
在矩形脉冲抽样情况下，抽样信号频谱也是周期重复，但在重复过
程中，幅度不再是等幅的，而是受到周期矩形脉冲信号的傅立叶系
数 的加权。
一、信号抽样
f (t)
o
p(t)
t
E
源自文库 o Ts
t
fs (t)
相
乘
o Ts
连续信号 f (t)
抽样信号
fs (t)
抽样脉冲
p(t) (t nTs ) s ( ns )
n
fs (t) f (t) p(t) f (nTs ) (t nTs ) n
T (t)
冲激序列的傅立叶系数为 Pn
所以冲激抽样信号的频谱为
1 Ts
Ts 2
(t)e-jns tdt
§ 3.6 信号抽样与抽样定理
一、信号抽样
信号抽样也称为取样或采样，是利用抽样脉冲序列 p (t) 从连续信号 f (t) 中抽取一系列的离散样值，通过抽样过程得到的离散样值信号 称为抽样信号，用 fs (t) 表示。
f (t)
o
t
p(t)
o TS
t
fs (t)
o TS
t
一、信号抽样
抽样的原理方框图:
二、时域抽样定理
时域抽样定理：一个频谱受限的信号 f (t) ，如果频谱只占据 m ,m
的范围，则信号 f (t)可以用等间隔的抽样值 f (nTs ) 唯一地表示，只要抽
样间隔
Ts
不大于
1 2 fm
，其中
f
为信号的最高频率，
m
或者说，抽样频率 fs 满足条件 f s 2 f m
通常把满足抽样定理要求的最低抽样频率 fs 2 fm 称为奈奎斯特频率，
t
F ()
1
mom
P() Es
2
幅度不再是等幅，
s o s 受到 周期矩形脉冲
E
Ts
Fs ()
信号卷的傅立叶系数
积
的加权
s om s
二、时域抽样定理
如何从抽样信号中恢复原连续信号，以及在什么条件下才可以无失 真地由抽样信号恢复原连续信号。著名的抽样定理对此作了明确而精 辟的回答。
抽样定理在通信系统、信息传输理论、数字信号处理等方面占有十 分重要的地位，该定理在连续时间信号与系统和离散时间信号与系统、 数字信号与系统之间架起了一座桥梁。该定理从理论上回答了为什么 可以用数字信号处理手段解决连续时间信号与系统问题。
(2) 周期矩形脉冲抽样
若抽样脉冲是周期矩形脉冲，则这种抽样称为周期矩形脉冲抽样。也称
为自然抽样
连续信号 f (t)
抽样信号
fs (t)
p(t)
p(t) G (t nTs ) n
fs (t) f (t) p(t) f (t) G (t nTs ) n
抽样脉冲
周期矩形脉冲的傅立叶系数为
把最大允许的抽样间隔
Ts
1 fs
1 2 fm
称为奈奎斯特间隔 。
二、时域抽样定理
时域抽样定理的图解：假定信号 f (t)的频谱只占据 (m ,m ) 的范围， 若以间隔 Ts 对 f (t)进行抽样，抽样信号 fs (t)的频谱 FS(ω) 是以 ωS 为
周期重复，在此情况下，只有满足条件 s 2m各频移的频谱才不
波器，即可从抽样信号 fs(t) 中无失真恢复原连续信号 f (t) 。
fs t
Fs
0 Ts
t
s m 0 m
s
Ts
C
h(t)
Ts
C
Sa(C t )
H
Ts
0
t
f t
c 0
c
F
0
t
0 m
三、连续时间信号的重建
因为
Fs ()
1 Ts
n
F (
ns )
所以，选理想低通滤波器的频率特性为
Ts 2
抽样信号的频谱
是1以 ωs 为周期等 Ts 幅地重复
Fs
()
1 2π
F () T ()
1 Ts
n
F (
ns )
一、信号抽样
f (t)
频谱图：
o
t
p(t)
(1) E
o TS
t
相
fs (t)
乘
F ()
1
mom
P()
(s )
s
o
s
卷
1/ Ts Fs ()
积
o TS
t
s om s
一、信号抽样
所以抽样信号的频谱为
周期地延拓，频谱幅度
fs (t)
f
(t)
p(t)
Fs ()
1
2
F () P()
受抽样脉冲序列的傅立 叶系数加权。
F () Pn ( ns ) PnF ( ns )
n
n
在时域抽样（离散化）相当于频域周期化
一、信号抽样
(1) 冲激抽样 若抽样脉冲是冲激序列，则这种抽样称为冲激抽样或理想抽样。
二、时域抽样定理
f (t)
F ()
0
t
m 0 m
fs (t)
(a) 连续信号的频谱
Fs ()
0Ts
t
s m 0 m
s
fs (t) (b) 高抽样速率时抽样信号的频谱
Fs ()
0 Ts
t
s
0 m s
(c) 低抽样速率时抽样信号的频谱及频谱混叠
三、连续时间信号的重建
在满足抽样定理的条件下，可用一截止频率为c m的理想低通滤
一、信号抽样
假设原连续信号 f (t)的频谱为 F(ω)，即 f (t) F ()
抽样脉冲 p (t) 是一个周期信号，它的频谱为
p(t) Pne jns t P() 2 Pn ( ns )
n
n
其中，s
2
Ts
为抽样角频率，Ts
为抽样间隔 ，
f频 谱s 谱以T是抽1s 原样为连角抽续频样信率频为号率的间，频隔
H
()
Ts
0
C C
若选定 s m c m ，则有 F () Fs ()H ()
理想低通滤波器的冲激响应为
若选 c
s
2
，则
Ts
2 s
h(t)
Ts
C
c
Sa (C t )
而冲激抽样信号为
fs (t) f (t) p(t) f (t) (t nTs ) f (nTs ) (t nTs )
周期 信号
连续信号经抽样后变成抽样信号，往往还需要再经量 化、编码等步骤变成数字信号。这种数字信号经传输、 处理等步骤后，再经过上述过程的逆过程就可恢复原 连续信号。
需要解决两个问题：
1. 抽样信号 fs (t)的频谱Fs(ω)与原连续信号 f (t)的频谱 F(ω)的关系；
2. 2. 在什么条件下可从抽样信号 fs (t)中无失真地恢复 原连续信号 f (t) 。