10-零状态-全响应-三要素
零状态响应与全响应
(1)
式中，b为常数；τ 为电路的时间常数，对RC电路，
τ =R0C, 对于 RL 电路有 τ =L/R0 。式 (1) 是一阶非
电 路 分 析
图 1 一阶电路
duC 1 1 uC us dt R0C R0C diL R0 1 iL u s dt L L
dy (t ) 1 y (t ) bf (t ) dt
8.2-14
电 路 分 析
dy (t ) 1 y (t ) bf (t ) dt
电 路 分 析
8.2.1 零状态响应的概念
零状态响应
当电路中储能状态为零时，由外加激励信号产生 的响应（电压或电流）称为零状态响应（或称受 激响应）。
求解公式
一阶电路微分方程的一般形式为 y ( t ) + a y( t ) = f( t )
8.2-1
依此可以导出求零状态响应y( t )的一般方法。将上式两边乘以eat，
：通解（自由分量，暂态分量） uC
duC 齐次方程 RC uC 0 的通解 dt
Ae uC
全解
t RC
变化规律由电路参数和结构决定
t RC
uC U S Ae uC uC
由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A
uC (0+)=A+US= 0
电路在外加激励和动态元件初始储能的共同作用
下产生的响应称为全响应。
由于一阶电路只含有一个动态元件(电容或电感)，
因此可应用戴维宁定理，将原电路简化等效成如图 1
所示的两种形式。根据 KL 及元件 VCR ，分别列出以电
容电压 uC(t) 和电感电流 iL(t) 为响应变量的电路方程， 整理后有
10 零状态 全响应 三要素
− t
零输入+零状态 零输入 零状态
τ
t≥0
uC = U S (1 − e τ ) + U 0 e
−
t
−
t
τ
t≥0
电路响应与其工作状态 之间的关系
激励与响应的因果关系
根据需要任选其中的一种 RC电路 τ=RC 电路 RL电路 电路τ=L/R 电路
− t
一阶电路的零状态响应(zero state response) §3-3 一阶电路的零状态响应
零状态响应： 零状态响应：储能元件初始能量为零的电路在输入激励作用 下产生的响应(excited response) 下产生的响应 一. RC电路的零状态响应 电路的零状态响应 K(t=0) US R
R
i
R
i
C
+u –
uC
–
duC RC + u C = U S 非齐次方程 dt +
uC = U S + Ae)= uC (0+)= U0
由起始值定A 由起始值定 ∴ A=U0 - US
uC = U S + (U 0 − U S )e
强制分量(稳态解 强制分量 稳态解) 稳态解
− t
τ
t≥0
′ u C′ ：通解（自由分量，暂态分量） 通解（自由分量，暂态分量） t
′′ uC = A e
−
RC
变化规律由电路参数和结构决定
− t RC
′ ′′ 全解 u C = uC + uC = U S + A e
− t RC
由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A
电路原理知识点汇总
电路原理第一章 电路模型和电路定理1、电流、电压的参考方向与其真实方向的关系；2、直流功率的计算；3、理想电路元件；无源元件：电阻元件R ： 消耗电能 电感元件 L ： 存储磁场能量 电容元件 C ： 存储电场能量 有源元件：独立电源： 电压源、电流源受控电源： 四种线性受控源（V C V S;V C C S;C C V S;C C C S ）4、基尔霍夫定律。
（1）、支路、回路、结点的概念（2）、基尔霍夫定律的内容：集总电路中基尔霍夫定律包括基尔霍夫电流定律( KCL )和基尔霍夫电压定律( KVL )。
基尔霍夫电流定律(KCL)：任意时刻，流入电路中任一节点的电流代数和恒为零。
约定：流入取负，流出取正；物理实质：电荷的连续性原理；推广：节点→封闭面（广义节点）；基尔霍夫电压定律(KVL)：任意时刻，沿任一闭合回路电压降代数和恒为零。
约定：与回路绕行方向一致取正，与回路绕行方向不一致取负；物理实质：电位单值性原理；推广：闭合路径→假想回路；（3）、基尔霍夫定律表示形式：基尔霍夫电流定律(KCL)基尔霍夫电压定律(KVL)熟练掌握：基尔霍夫电流定律( KCL )：在集总参数电路中，任意时刻，对任意结点，流出或流入该结点电流的代数和等于零。
KCL 是电荷守恒和电流连续性原理在电路中任意结点处的反映；KCL 是对结点电流的约束，与支路上接的是什么元件无关，与电路是线性还是非线性无关；KCL 方程是按电流参考方向列写，流出结点的电流取“+”，流入结点的电流取“—”，与电流实际方向无关。
基尔霍夫电压定律 (KVL)：在集总参数电路中，任意时刻，沿任一闭合路径（回路）绕行，各支路电压的代数和等于零。
0 i or i i =∑∑入出＝0 u or u u =∑∑降升＝1()0m k i t ==∑1()0m k u t ==∑KVL 是能量守恒的具体体现(电压与路径无关)；KVL 是对回路电压加的约束，与回路各支路上接的是什么元件无关，与电路是线性还是非线性无关；KVL 方程是按电压参考方向列写，任意选定回路绕行方向（顺时针或逆时针），支路电压的参考方向与回路绕行方向一致，该电压取“+”，反之“—”，与电压实际方向无关。
初始值的计算,零输入响应,零状态响应,全响应及三要素公式的推导(1)
i R 0 u L 0
, u 0 uS(0+)
R
NR
, i 0 iS(0+) c
uC(0+) iL(0+)
（b）t=0+时等效电路
电路分析基础
3.8 电路初始值的计算
9
计算非独立初始值的具体方法： A、画出t =0+电路，
a、若 若
uc (0 ) uc (0 ) U cs ，
6
以电容上电压为未知变量列写电路的方程。
换路后由图（b）可知，其KVL方程为：
uczi (t ) uRzi (t ) 0
而uRzi(t)=izi(t) R,
izi ( t )
C
d u C zi ( t dt
)
，代入上式可得：
RC
duCzii (0+ )= RI S
则电容用一个电压源UCS代替；
uc (0 ) 0 ， 则电容用短路线代替。
b、若 iL (0 ) iL (0 ) ILs ，
则电感用一个电流源ILS 代替； 若 iL (0 ) 0 ， 则电感作开路处理。
B、现在可用求解电阻电路的各种方法来求解指定的非独立初始值。
电路分析基础
3.8 电路初始值的计算
（或称内部激励）共同作用引起的响应。
f t 0
N
y t
xk 0 0 k1,2,,n
实际上，由线性电路的性质知：
全响应 零输入响应 零状态响应
即：
y t yzi t yzs t
电路分析基础
xk 0 0 k 1,2,,n
3.4 电感的串联和并联
6
思考题
1. 解释电路零输入响应的定义； 2. 解释电路零状态响应的定义； 3. 解释电路全响应的定义；
一阶动态电路的全响应及三要素法
iL（∞）= 0
（3）求时间常数τ
R 20 (10 10) 10 k 20 10 10
L 10 3 10 7 s
R 10 103
根据三要素法，可写出电感电流的解析式为
iL（t）= 0 +（10×10-3–0）e107=t 10 e mA 107t
i
L
()
US R2
10 20
05A
1
L R2
2 20
0 1s
根据三要素公式得到
iL（t）= 0.5（1 - ）e1A0t （0.1s≥t要素法，先求t = 0.1 s时刻的初始值。根 据前一段时间范围内电感电流的表达式可以求出在t = 0.1 s时刻前一瞬间的电感电流
2 10 20
0 0667 s
根据三要素公式得到：
t 01
iL (t) iL (0 1 ) e 2 0 316 e15(t01) A （t≥0.1 s）
电感电流iL（t）的波形曲 线如右图所示。在t=0时， 它从零开始，以时间常数 τ1=0.1 s确定的指数规律增 加到最大值0.316A后，就 以时间常数τ2=0.0667s确 定的指数规律衰减到零。
【例14-3】
下图（a）所示电路原处于稳定状态。t = 0时开关 闭合，求t ≥0的电容电压uC（t）和电流i（t）。
解：（1）计算初始值uC（0+）
开关闭合前，图（a）电路已经稳定，电容相当于 开路，电流源电流全部流入4Ω电阻中，此时电容电 压与电阻电压相同，可求得
uC（0+）= uC（0 -）= 4Ω×2 A = 8V
t ln iL (0 ) iL () 0 005 ln 0 75 1 5 0 002 s
三要素法求电路全响应
三要素法求电路全响应电路的全响应是指电路在初始状态和外部激励作用下的完整动态响应。
为了得到电路的全响应，我们可以使用三要素法进行分析和计算。
三要素法是一种基于电路元件特性和初始条件的计算方法，通过分析电路的零输入响应、零状态响应和强迫响应来求得电路的全响应。
我们来了解一下三要素法的基本概念。
三要素法将电路的全响应分为三个部分：零输入响应、零状态响应和强迫响应。
零输入响应是指在没有外部激励的情况下，电路元件本身的特性所引起的响应。
在零输入响应中，电路元件的初始状态起到了关键作用。
例如，一个电容器在初始时刻具有一定的电荷量，当没有外部激励时，电容器会通过内部电路元件自行放电或充电，产生一种独特的响应。
零状态响应是指在没有初始电荷或初始电流的情况下，电路在外部激励作用下产生的响应。
在零状态响应中，电路的初始状态不起作用，电路的响应完全由外部激励决定。
例如，一个电容器在初始时刻没有电荷，当外部电压施加在电容器上时，电容器会根据电压变化情况产生相应的电流响应。
强迫响应是指在有外部激励作用下，电路元件和初始条件共同引起的响应。
在强迫响应中，电路的初始状态和外部激励都对电路的响应产生影响。
例如，一个电路中同时存在电容器的初始电荷和外部电压，当外部电压变化时，电容器的初始电荷和电容器本身的特性都会对电路的响应产生影响。
根据三要素法，电路的全响应可以表示为零输入响应、零状态响应和强迫响应的叠加。
通过分别计算这三个部分的响应，然后将它们相加，我们可以得到电路的全响应。
在实际计算中，我们可以利用电路的传递函数来求得不同部分的响应。
传递函数是电路输入和输出之间的转移函数，它描述了电路对输入信号的响应特性。
通过对传递函数进行拉普拉斯变换，我们可以得到电路的传递函数表达式。
利用传递函数，我们可以将输入信号的拉普拉斯变换和输出信号的拉普拉斯变换相乘，然后进行反变换，得到相应的时间域响应。
在计算电路的全响应时，我们需要注意一些细节。
初始值的计算,零输入响应,零状态响应,全响应及三要素公式的推导(2)
法：先用三要素求出iL(t)的全响应，iL(t) = iL(0+)e-t/τ+ iL(∞)（1- e-t/τ）， 其中iLzi(t) = iL(0+)e-t/τ，iLzs(t) = iL(∞)（1- e-t/τ），
即若所求响应为iL(t)或uC(t)时，可直接从全响应的三要
素公式中把其零输入响应和零状态响应分离出。 利用
应用阶跃函数表示其他信号
电路分析基础
3.15 阶跃函数
2
1. 单位阶跃函数定义
单位阶跃函数用ε(t)表示，其定义为：
(t
def
)
1
0
,t 0 ,t 0
该函数在t = 0处发生单位跃变，波形如图(a)。
f
(t )
def
K (t)
K
0
,t 0 ,t 0
电路分析基础
3.15 阶跃函数
τC=RCC=2×1=2s，τL=L/RL =2/(2//2+1) =1s
电路分析基础
3.14 一阶电路三要素计算
7
iL(0+) =iL(0-)=4(A) uC (0+)= uC(0-)=4(V) τC==2s， τL=1s 画出换路后的0+等效电路如图 (d)所示。 i1(0+) =2A，i2(0+) =1A。
τ2= (R2//R3)C =1s
uC(t) = 4 - 2.53e-(t-2) (V) ，t ≥2s
电路分析基础
3.13 一阶电路三要素计算
7
例3 如图 (a)所示电路，在t < 0时开关S位于b点，
电路已处于稳态。t = 0时开关S由b点切换至a点。
求t≥0时的电压uC(t)和电流i(t)。
2023年国家电网招聘之电工类精选试题及答案二
2023年国家电网招聘之电工类精选试题及答案二单选题（共30题）1、线圈几何尺寸确定后，其互感电压的大小正比于相邻线圈中电流的（）A.大小B.变化量C.变化率【答案】 C2、在低于击穿电压的作用下，尖极发生的局部放电现象称为( )。
A.辉光放电B.余光放电C.非自持放电D.电晕放电【答案】 D3、瞬时电流速断保护在〈）保护范围最小A.最小运行方式B.最大运行方式C.正常运行方式D.与运行方式无关【答案】 A4、高频保护采用相一地制通道是因为( ）A.所需加工设备少，比较经济B.相一地制通道衰耗小C.减少对通信的干扰D.相一地制通道衰耗大【答案】 A5、谐波制动的变压器纵差保护中设置差动速断元件的主要原因是（）A.为了提高差动保护的动作速度B.为了防止在区内故障较高短路电流水平时，由于 TA 的饱和产生高次谐波量增加而导致差动元件据动C.保护装置的双重化，互为备用D.以上都不对【答案】 B6、波阻抗为Z的线路末端短路，入射电压U0到达末端时，将发生波的折射与反射，则（）。
A.折射系数α=1，反射系数β=0B.折射系数α=1，反射系数β=-1C.折射系数α=0，反射系数β=0D.折射系数α=0，反射系数β=-1【答案】 D7、纵差动保护使用于（）短线路。
A.短B.长C.所有D.中等长度线路【答案】 A8、当屋外油浸式变压器之间需要设置防火墙时，防火墙高度不直低于变压器油枕的顶端高程，其长度应大于变压器储油油两侧各（）A.0.5mB.1mC.1.5mD.3m【答案】 B9、中间继电器的固有动作时间，一般不应（）。
A.大于 20msB.大于 10msC.大于 0. 2sD.大于0.1s【答案】 B10、要保证良好的频率质量，（）必须保持平衡。
A.有功功率B.无功功率C.视在功率D.波形质量【答案】 A11、35kV及以上系统允许的电压偏移为（）。
A.一5%～+5%B.一7%～+7%C.-10%～+5%D.一10%～+7.5%【答案】 A12、220kV线路在空载时，线路各点电压（）。
第8.2节零状态响应与全响应
y(t ) C [ y(0 ) C ]e
(4)
8.2-18
电 路 分 析
通常情况下，电路时间常数τ ＞0，称这种电路为正τ 电 路。对于正τ 电路，当t→∞时，由上式可解得
C Iim y (t ) y ()
t
将C代入式（3)求得激励为直流时一阶电路的响应为
y (t ) y () [ y (0 ) y ()]e
t 0时电路方程：
(t ) 3uC (t ) 3(1 e 2t ), uC
零输入响应：
3
(t 0)
uCx (t ) uC (0 )e 3t 6e 3t
零状态响应：
uCf (t ) e
3t
t
0
3(1 e 2 )e3 d
(t 0)
电 路 分 析
式(1)的解由齐次解yh(t)和特解yp(t)组成。考虑到微分
t 1 方程的特征根 p ，齐次解 y (t ) Ae h
(A为积分常数)，
因此， 全响应y(t)可表示为
y(t ) yh (t ) y p (t ) Ae
t
y p (t )
(2)
t RC
(t 0)
8.2-5
电 路 分 析
RC电路的零状态响应的经典解法
K(t=0)
US
R
R
i
C
列方程：
+u –
uC
–
+
duC RC uC U S dt
非齐次线性常微分方程
uC (0-)=0
解答形式为：
uc u u
电路与电子技术基础总复习题及解 (1)
总复习题及解总复习题及解一、问 答第一章答题1. 电流与电压为关联参考方向是指什么？答：电流参考方向（箭头方向）与电压降参考方向（“+”到“-”的方向）一致的方向。
第二章答题1. 应用叠加定理时，理想电压源不作用时视为短路，理想电流源不作用时视为 开路。
2、求含有受控源单口网络的戴维南（诺顿）等效电路的内阻时，屏蔽掉电源后须用 外施电压、电流 法求得。
第三章答题1、对于电容C 和电感L ，电压和电流间的关系为：，2、换路定律是指： 3、全响应解的两种表达式：（1）全响应=（零输入响应）+（零状态响应） （2）三要素法： 第四章答题1、直流电路中，感抗为0，容抗为无穷大。
2、正弦电压u(t) =2U cos (?t + ?u )对应的相量表示为uUUθ∠=•。
3、任意一个相量乘以j相当于该相量逆时针旋转90o 。
4、三相对称电源星型联结，相、线电压的关系为相电压是线电压的31倍，且相电压滞后对应线电压30°。
对称电源△接线时，线电流、相电流之间关系为线电流等于3倍相电流，相位滞后对应相电流30°。
5、电阻元件的电压电流的有效值满足：U=IR，关联参考方向下电压和电流同相位，即第五章答题无第六章答题1、本征半导体电子浓度等于空穴浓度；N型半导体的电子浓度大于空穴浓度；P型半导体的电子浓度小于空穴浓度。
2、场效应管属于电压控制型器件，晶体三极管则属于电流控制器件。
3、晶体三极管工作在放大状态时，应使发射结正向偏置；集电结反向偏置。
4、稳定二极管稳压时是处于反向偏置状态，而二极管导通时是处于正向偏置状态。
5、 PN结的单向导电性，就是PN结正偏时导通，反偏时截止。
6、当温度升高时，三极管的集电极电流Ic 增加，发射结压降U BE减小。
第七章答题1、共模抑制比K CMR是差模放大倍数与共模放大倍数（绝对值）之比。
2、抑制温漂（零漂）最常用的方法是采用差放电路。
3、差分放大电路能够抑制共模信号，放大差模信号。
5.5 一阶电路的全响应和三要素法
+
24V –
S(t=0)
4 iL 0.6H
解 （1）第一种方法 iL (0 ) iL (0- ) 24 / 4 6A L R 0.6 12 1 20s
零输入响应： iL (t) 6e-20tA
第8 页
8
+
24V –
S(t=0)
4 iL 0.6H
iL() 24 / 4+8 2A
全解为： uC(t) = uC' + uC"
特解 uC' = US t -
通解 uC Ae
由初始值定A uC (0-)=U0
uC (0+)=A+US=U0 A=U0 - US
-t
t
-
uC US Ae US (U0 - US)e t 0
= RC
第2 页
（3）全响应的两种分解方式
uC 2
0.667 0
t
第 16 页
例题 t=0时 ,开关闭合，求t >0后的iL 、 i1 、 i2
i1 +
10V –
5
5
iL
0.5H
i2 +
20V
–
解 iL 0 iL 0- 10 / 5 2A
iL 10 / 5 20 / 5 6A
L R 0.5 5 / /5 0.2s
i() 10 / 2 5A
u =0
i t 5 - 3.74e-2t-0.2 A
S1(t=0) 2 i u
+ 10V
-
3
S2(t=0.2s)
1
u
t
0
7.48
-
0
-
e
三要素法
R1 R2
+ u2 C2
– 图7-43 例7-13
u1(0+) + u2(0+) = Us
根据电荷守恒准则：此刻两电容由相同的无穷大电流所产生的 增量电荷量相等。由此可得
电路分析基础——第二部分：7- 6
14/16
C1[u1(0+) – u1(0–)] = C2[u2(0+) – u2(0–)]
即
3V
2
1
6 5
A
i(0+) = 1 – 2iL(0+)/3 = 0.2A
(2) 求iL() 和 i()
图7-40 t = 0+时的等效电路
t= 的等效电路如图7-41所示，此时电感相当于短路。由此可得
i() =
9 5
A
，iL() =
6 5
A
(3) 求 。开关转向 b以后，戴维南 等效电阻为 R0 = 1+ 2/3 = 5/3
动态电路的叠加定理：动态电路由初始状态和输入共同 作用产生完全响应，完全响应=零输入响应+零状态响应。
电路分析基础——第二部分：7-6
1/16
本节将在7-1节提出的通用分解方法的基础上，推出适用于 直流输入情况的三要素法。
以电容为例：图7-1（b）及（c）中的uoc(t)和isc(t)都是常数。图
问题是：直流一阶电路中任一支路电流、支路电压是否都能表 示成(7-50)和(7-51)的形式？时间常数是否一致？能否直接求解？
电路分析基础——第二部分：7-6
3/16
为便于分析，仍然以电容电路为例，我们将原电路分成两
个单口网络，其中一个只包含电容，另一个包含电阻和电源。
11零状态全响应三要素法2
= U s (1 − e
−
t RC
) (t ≥ 0+ )
t uR U s − RC iC (t ) = = e (t ≥ 0+ ) R R t
uR (t ) = U s − uC (t ) = U s e
−
RC
(t ≥ 0+ )
6.6 一阶电路的零状态响应
3.时间常数 3.时间常数
τ
RC
τ的物理意义：由uC(t0)上升了uC(∞)与uC(t0)差值的 的物理意义： 上升了u
−
令t = 0+: uC (0 + ) = U s + K = U 0⇒ K = U 0 − U s
∴ uC (t ) = U s + (U 0 − U s )e
− t RC
(t ≥ 0+ )
6.7 一阶电路的全响应
uC (t ) = U s + (U 0 − U s )e
−
t RC −
(t ≥ 0+ )
6.8 一阶电路的三要素法
− t RC − t RC
) (t ≥ 0+ )
uR (t ) = U s − uC (t ) = U s e
(t ≥ 0+ )
t uR U s − RC iC (t ) = = e (t ≥ 0+ ) R R t t − − uC (t ) = uCp (t ) + uCh (t ) = U s + Ke RC = uC (∞)(1 − e τ ) (t ≥ 0+ )
已知 uC(0) = 0，求： ≥ 0+ 时的uC(t), uR(t), iC(t) 时的u t
电工技术第三章 电路的暂态分析习题解答
第三章 电路的暂态分析含有电感或电容储能元件的电路，在换路时会出现暂态过程。
本章研究了暂态过程中电压与电流的变化规律。
主要内容：1．暂态过程的基本概念。
2．换路定则：在换路瞬间，电容电流和电感电压为有限值的情况下，电容电压 和电感电流在换路前后的瞬间保持不变。
3．RC 电路的零输入响应、零状态响应和全响应。
4．RL 电路的零输入响应、零状态响应和全响应。
5．一阶线性电路暂态分析的三要素法：一阶线性电路在直流激励下的全响应零、 输入响应和零状态响应都可以用三要素法τte f f f t f -+∞-+∞=)]()0([)()(来求出。
6．暂态过程的应用：对于RC 串联电路，当输入矩形脉冲，若适当的选择参数 和输出，可构成微分电路或积分电路。
[练习与思考]解答3-1-1什么是稳态？什么是暂态？解：当电路的结构、元件参数及激励一定时，电路的工作状态也就一定，且电流和电压为某一稳定的值，此时电路所处的工作状态就称为稳定状态，简称为稳态。
在含有储能元件的电路中，当电路的发生换路时，由于储能元件储的能量的变化，电路将从原来的稳定状态经历一定时间变换到新的稳定状态，这一变换过程称为过渡过程，电路的过渡过程通常是很短的，所以又称暂态过程。
3-1-2什么是暂态过程？产生暂态过程的原因是什么？解：含有储能元件的电路从一个稳态转变到另一个稳态的所需的中间过程称为电路的暂态过程（过渡过程）。
暂态过程产生的内因是电路中含有储能元件，外因是电路发生换路。
3-2-1 初始值和稳态值分别是暂态过程的什么时刻的值？解：初始值是暂态过程的+=0t 时刻的值，稳态值是暂态过程的∞=t 时刻的值。
3-2-2 如何求暂态过程的初始值？解：求暂态过程初始值的步骤为:⑴首先画出换路前-=0t 的等效电路，求出-=0t 时刻电容电压)0(-C u 和电感电流)0(-L i 的值。
对直流电路，如果换路前电路处于稳态，则电容相当于开路，电感相当于短路。
10 一阶电路的全响应和三要素法
6.6 一阶电路的零状态响应
零状态响应：初始状态为零，输入不为零所引起的
电路响应.
电路
南京理工大学
6.6 一阶电路的零状态响应
RC 充 电 过 程
已知 uC(0) = 0，求： 0 时的uC(t), iC(t) t
. .
S (t=0)
_ + uR
R
C iC
_ + uR
R
Us C
i L (0 ) i L (0 )
电路 南京理工大学
6.4 电路的初始条件
初始值的计算
1. 求uC(0－) ,iL(0－)
情况1：给定uC(0－) ,iL(0－) 情况2：t = 0-时: 原电路为直流稳态： C — 断路， L — 短路
情况3：t = 0－时: 原电路未进入稳态：
uC (0 ) uC (t ) |t 0 , iL (0 ) iL (t ) |t 0
t
(t 0 )
直流激励下的一阶电路中的响应均满足三要素公式.
电路 南京理工大学
5.8 一阶电路的三要素法
f(0+): 初始值 uC(0+), iL(0+)：由t = 0－的等效电路中求. 其他初始值 ：必须由t = 0+的等效电路中求: t=0+时： C — 电压源， L — 电流源 零状态下： C — 短路， L — 断路
.
i0(t)
6Ω
4Ω
1.2Ω S (t=0) 18V
iL(t)
10H
. . .
电路
南京理工大学
6.6 一阶电路的零状态响应
iL (t ) 3(1 e )A io (t ) 2 0.5e A
一阶电路的零输入响应零状态响应全响应
e
5
e
6
0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U
当 t =5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
第四章 动态电路的时域分析
二、一阶RL电路的零输入响应
电感电流根据三要素公式：
iL (0 ) I 0
iL (0 ) iL (0 ) I 0
s
i R C + _ uC
+
t 0
s
i R C + _ uc
U _
uC (0 -) = U0
零输入响应
uC (0 -) = 0
uC U 0
零状态响应
t e RC
U
t ( 1 e RC
) (t 0
uC
U
Ue
t RC
第四章 动态电路的时域分析
3.3.3 一阶电路的全响应:
回顾
若零输入响应用yx(t)表示之，其初始值为yx(0+)，那么
y x (t ) y x (0 )e
t
t 0
t
若零状态响应用yf(t)表示之，其初始值为yf(0+)=0，那么
y f (t ) y f ()(1 e ) t 0
第四章 动态电路的时域分析
+ U _
t 0
U (1 e
1 t RC
)V
t 0
第四章 动态电路的时域分析
uC的变化规律
稳态分量
+U
uC
U
Ue
t RC
uC
uC
t 暂态分量
电路达到 稳定状态 时的电压
一阶电路的零输入响应零状态响应全响应
uc(t)R0ISeRC ,(t0)
uC (t)从初始值按指数规律衰减 i(t)从初始值按指数规律衰减
22、021/电6/7 流的变i化c(规t律)RR 0Is
t
e RC(t
0)
6
第四章 动态电路的时域分析
3、 时间常数
令: RC 单位: S
时间常数 决定电路暂态过程变化的快慢。
物理意义：
10
第四章 动态电路的时域分析
电感电压：
uL(t)Ldd Li(tt)R0eILt/R (t 0)
电阻电压：
t
uR(t)uL(t)R0e I L/R
(t 0)
令τ=L/R，它同样具有时间量纲，是RL电路的时间常数。
2021/6/7
11
第四章 动态电路的时域分析
若零输入响应用yx(t)表示之，其初始值为yx(0+)，那么
当 t =5 时，过渡过程基本结束，uC达到稳态值。
2021/6/7
9
第四章 动态电路的时域分析
二、一阶RL电路的零输入响应 电感电流根据三要素公式：
iL(0)I0
iL(0)iL(0)I0
iL()0
L R
iL(t)iL( )[iL(0)iL( )e]t
Rt
I e A t 0 2021/6/7
L 0
+ _U
+
C _ uc
uC (0 -) = 0
电容的电压根据三要素公式：
RC
y()uc()U
y(0 ) u C (0 ) u C (0 ) 0
u c(t)u c( ) [u c(0)u c( )e ] t
1t
U(1eRC)V t0
2021/6/7
一阶电路分析
电路理论分析
（2）画出t=0+的电路,用结点电压法求结点电压uab (0+) U/R 1+ uC1(0+)/R2 + uC2(0+)/R3 __________________________ uab (0+)= = 13V 1/R1 + 1/R2 + 1/R3
uR1(0+) + –a
中南大学 信息科学与工程学院
电路理论分析
电阻电路
i （t = 0） R1 R2
O
+ US -
i
i U S / R2
i US ( R1 R2 )
t
过渡期为零
中南大学 信息科学与工程学院
电路理论分析
电容电路
+ US -
(t = 0) R i + S uC –
+ C US -
(t →∞) R i + uC –
(t >0) + uS -
R i + uC –
C
Ri uC uS (t ) duC i C dt
若以电流为变量
duC RC uC uS (t ) dt 1 Ri idt uS (t ) C
di i duS (t ) R dt C dt
中南大学 信息科学与工程学院
0
令t 0 0 , t 0
uc (0 ) uc (0 )
1 0 i ( )d 0 C
由于i(t)为有限值, 则
uc ( 0 ) uc ( 0 ) ------电容上的电压不会发生突变
当uc (0 ) uc (0 ) 0时,
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RL零输入响应电路 iL(0+)= iL(0-) ≠0
=RC
t
uC U 0e RC
t
iC I0e RC
t
uR U0e RC
t0
t0
t 0
= L/R
Rt
iL I0e L
Rt
uL RI 0e L
Rt
uR RI 0e L
t0
t 0 t 0
压、电流值； （4）需画电压电流波形时，注意确定初始值和时间常数，以
及时间常数的大小和波形衰减的快慢。
§3-3 一阶电路的零状态响应(zero state response)
零状态响应：储能元件初始能量为零的电路在输入激励作用
下产生的响应(excited response) 一. RC电路的零状态响应
uc
US
U0
uc
0
u" C
U0 -US
u' C t
稳态解 全解 暂态解
稳态解(稳态响应分量):是t=∞时电路进入稳态时的uc值,其 变化规律是由输入激励决定的.
暂态解(暂态响应分量):按指数规律逐渐衰减,最终趋近于 零,其变化规律与输入激励无关,决定于电路结构和参数.
i
C
duc dt
1 R (U S
各个电压、电流。
4.一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。
求解零输入响应问题的步骤： （1）通过换路前的稳态电路求电容电压、电感电流，由换路
定则得到电压、电流的初始值； （2）由换路后的电路求与动态元件相连的总电阻，即总的等
效电阻，从而求出电路的时间常数； （3）由RC零输入响应公式和RL零输入响应公式求出各电
US i
R
-US
u" C
t
0
t
i
C
duC
US
t
e RC
t0
dt R
例 3-3-1 t=0时,开关闭合,求t>0时的电压uc和电流ic.
S
•
6Ω R1
ic 3Ω R R2
+ 9V U– S
2F C•
+ u–C
3Ω
ic
Req
3Ω R
+ Uoc –
2F C•
+ uC –
解: (1)把RC支路以外的部分等效为戴维宁等效电路（求 Uoc、Req）；
= L/R
iL
US R
Rt
(1 - e L )
t0
Rt
uL USe L t 0
Rt
uR US (1 e L )
t0
t
f (t) f ()(1 e )
零输入响应：
t
f (t ) f (0 )e
只需求解出初始值和时间常数即可。
零状态响应：
t
f (t) f ()(1 e )
只需求解出稳态值和时间常数即可。
全响应： ？ =零输入响应+零状态响应
t
t
f ( t ) f ( 0 )e f ( )(1 e )
f ( ) f ( 0
)
t
f()e
§3-4 一阶电路的全响应(complete response)
全响应：非零初始状态的电路受到激励时电路中产生的响应
一阶电路的全响应及其两种分解方式
(2)求时间常数t；注意：t=R总C （3）按零状态响应公式直接求出uc和ic。
注意：此时 Us=Uoc
二. RL电路的零状态响应
k(t=0)
R iL
US
+ uR –
L
+
uL
–
已知 iL(0-)=0 求: 电感电流iL(t)
解
iL
US R
(1
Rt
eL
)
t0
uL
L di dt
Rt
USe L
t0
U S iL
1. 全解 =暂态响应分量+稳态响应分量
K(t=0) R
US
+ uR –
i
C
+
uC
–
RC duC dt
uC
US
非齐次方程
t
uC U S Ae
uC (0-)= uC (0+)= U0
由起始值定A A=U0 - US t uC U S (U0 U S )e
t0
强制分量(稳态解)
自由分量(暂态解)
K(t=0) R
i
US
+ uR –
C
+
uC
–
uC (0-)=0
列方程：
RC
duC dt
uC
US
非齐次线性常微分方程
解答形式为： uc uc' uc"
齐次方程的通解
非齐次方程的特解
uC ：特解（强制分量） uC = US
与输入激励的变化规律有关，某些激励时强制分量为
电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量
uc
t
t
uC US (1 e ) U0e t 0
零状响应 零状态响应
t 0
零输入响应
暂态+稳态
t
uC U S (U0 U S )e 电路响应与其工作状态
t
f (t ) f (0 )e
小结：
1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的响
应 , 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
t
f (t ) f (0 )e
t>0
2. 衰减快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路 = L/R
3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 因此，只要求出初始值f(0+)和时间常数τ，即可根据公式直接写 出uc、iL的零输入状态，再根据元件的VAR ，便可一求出其他
R
0
uL US
t0
t
小结： 1. 一阶电路的零状态响应是在零初始状态下，由外加激
励引起的响应 。都是由零按指数规律上升到稳态值。
t
f (t) f ()(1 e )
2. 上升的快慢取决于时间常数 RC电路 = RC , RL电路 = L/R
因此，只要求出u(∞)或i(∞)和τ，根据公式直接写出uc、iL的零
状态，再根据元件的VAR ，便可一求出其他各个电压、电流。
3. 一阶电路的零状态响应和激励成正比，称为零状态线性。
RC零状态响应电路
uC (0+)= uC (0-)=0
=RC
t
uC U S (1 - e RC ) t 0
iC
US R
t
e RC
t0
t
uR USe RC
t0
RL零状态响应电路
iL(0+)= iL(0-)=0
u全C解：通uuCC解（uA自C e由 R分utCC量，U暂变S 态化分规A量e律）由RtC电路参数和结构决定
由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A A= - US
t
t
uc US USe RC US (1 e RC ) (t 0)
强制分量(稳态)
US uc
自由分量(暂态)
u' C
t
U0 )e
t
uR Ri (U S U0 )e
t0 稳态分量为零
t0
2. 全响应= 零状态响应 + 零输入响应
K(t=0) R
i
= US
+uR–
C
+
uC
–
uC (0-)=U0
K(t=0) R
i
US
+ +uR– C
+
uC
–
uC (0-)=0
K(t=0) R
i
+uR–
C
+
uC
–
uC (0-)=U0