扭转应力
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扭转—扭转轴的应力及强度计算(建筑力学)
1.5 10 6
MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa
max
Tmax
Tmax
WP
D23 1 4 16
6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是 弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面） 边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax
[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节 圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁
MPa 51.4MPa
4
WP
2.92 10
扭转
(2) 求空心轴的内径
因为要求实心轴和空心轴的扭转强度相同，故两轴的最
大切应力相等，即
'max max 51.4MPa
max
Tmax
Tmax
WP
D23 1 4 16
6
16Tmax
16
变形的能力。单位GPa，其数值可由试验测得。
切应变的其单位是 弧度（rad）
扭转
二、圆轴扭转时横截面上的应力
从几何关系、物理关系和静力学关系这三个方面来分析圆
轴受扭时横截面上的应力。
1. 几何变形方面
取一圆轴进行扭转试验
试验现象表明，圆轴表面上各点的变形与薄壁圆筒扭转
时的变形一样。
扭转
由观察到的现象，对圆轴内部的变形可做如下假设：扭转
截面（危险截面） 边缘点处。因此，强度条件也可写成 maxFra bibliotekTmax
[ ]
W
圆轴强度条件可以解决圆轴扭转时的三类强度问题，即
进行扭转强度校核、圆轴截面尺寸设计及确定许用荷载。
扭转
例9-6 一实心圆轴，承受的最大扭矩Tmax=1.5kN•m，轴
的直径d1=53mm。求：（1）该轴横截面上的最大切应力。
扭转
第四节 圆轴扭转的强度计算
一、圆轴的扭转破坏试验与极限应力
圆轴的扭转试件可分别用Q35钢、铸铁等材料做成，扭
转破坏试验是在扭转试验机上进行。试件在两端外力偶Me
作用下，发生扭转变形，直至破坏。
Q35钢
铸铁
轴的扭转-应力,强度
T
T Ip
式中 T——所求切应力点的横截面 上的扭矩
B
B' dA
R O
max
——所求切应力点到圆心的距离
Ip=A2dA——横截面对圆心O的极惯性矩
注意：切应力公式的适用范围：max ≤p
3.最大切应力
T
max
即
TR Ip
B
B' dA
R O
T max Wp
´
上述公式可得到如下结论。
0
0
0 0 , 0 max
45 min , 45 0
45 max , 45 0
450
450 0 90
90 0 , 90 max
取 d = 29.7 mm。
可见：此轴的直径是由刚度条件控制的
155 N . m
圆轴扭转斜面上的应力
为什么研究斜截面应力？ ☆ ☆ 逻辑上，正截面——斜截面 实际上，见下面的实验结果，原因？
扭转轴的破坏（想一想：为什么这样？）
途径：1、仿正截面过程；2、用正截面推导斜截面应力
《应力状态理论》对于
2.应力公式推导 (1) 变形几何方面 取微段dx研究
Me
p
q
Me
x A p dx
T p
B q
O
x
d (1) tg dx d ——单位长度扭转角 式中 dx
即：
q R O2 B' d B C' C q dx
T
A
O1 A'
对给定的截面，与成正比
扭转切应力计算
研究内容：包括材 料选择、加工方法、 加工参数等
发展趋势：智能 化、自动化、绿 色化
应用领域：航空 航天、汽车制造、 建筑工程等
复杂环境下的切应 力计算方法
复杂环境下的切应 力分析方法
复杂环境下的切应 力预测方法
复杂环境下的切应 力控制方法
感谢您的观看
汇报人：
材料的性能测试：通过 测试材料的性能验证材 料的选用和加工工艺的 制定是否合理
扭转切应力的实验 测定
添加项标题
扭转切应力实验台：用于施加扭转切应力
添加项标题
应变片：用于测量应变
ห้องสมุดไป่ตู้添加项标题
温度控制系统：用于控制实验温度
添加项标题
数据采集系统：用于采集实验数据
添加项标题
实验步骤：准备试样、安装试样、施加扭转切应力、测量应变、记录数据、分析数据
截面材料对扭转 切应力也有影响 如高强度材料比 低强度材料扭转 切应力小
材料性质：材料的 弹性模量、剪切模 量等
截面形状：圆形、 方形、矩形等不同 截面形状的影响
截面尺寸：直径、 宽度、厚度等尺寸 对扭矩的影响
加载方式：轴向加 载、径向加载、切 向加载等不同加载 方式的影响
温度：温度升高会 导致材料强度降低 从而影响扭转切应 力
研究新型材料的力学性能如强度、刚度、韧性等 研究新型材料的疲劳性能如疲劳寿命、疲劳强度等 研究新型材料的耐腐蚀性能如耐酸、耐碱、耐盐等 研究新型材料的耐磨性能如耐磨性、耐磨寿命等 研究新型材料的热性能如导热系数、热膨胀系数等 研究新型材料的电磁性能如导电性、磁导率等
研究目的：提高 高强度材料的加 工效率和精度
扭转切应力计算
汇报人：
目录
扭转切应力的概念
扭转应力计算
C 轴： T 3 M 3 95 n P 3 3 4 9 95 3 7 4 6 1 9 0 .8 7 (N 5 m )
2、求各轴横截面上的最大切应力：
E 轴：
Ema xW TP 1110.2 1 1 7 14 3 0 3 01.6 2(4 MP ) a
H 轴：
Hma xW TP 225 0.25 5 1 73 3 0 02.2 2(8 MP ) a
解： Mx=T=9549
P n
= 9549 7.5 100
=716.2 N.m
max=
Mx Wp1
=
16 Mx d13
=40 MPa
3
d1=
16 716. 2 =0.045 m=45 mm 40 106
26
圆轴扭转时横截面上的切应力例题
Mx
16 Mx
max=
Wp2
=
=40 MPa
D23(1- 4)
扭转切应力计算
刘舟
1
主要内容
工程中承受切应力的构件 扭转内力——扭矩 扭转切应力分析与计算
2
工程中承受切应力的构件
传动轴
3
工程中承受切应力的构件
4
工程中承受切应力的构件
破坏形式演示 A
B
5
➢扭转时的内力称为扭矩，截面上的扭矩 与作用在轴上的外力偶矩组成平衡力系。 ➢扭矩求解仍然使用截面法
扭转切应力由扭矩产生
解：
扭矩图如左：
TAB=-5kN.m; TBC=-1.8kN.m 根据切应力计算 公式
Am B axW TA AB B0.2 5 1863004.88M 3 Pa BC maxW TB BC C01.2.85130607M 2 Pa
《扭转应力分析》PPT课件
W = N×1000×60 (1)
外力偶矩m所作的功：
W = m2 n
(2)
(1) = (2) 得
N×1000×60 = m 2 n
m 9549 N n
m 7024 N n
N ─ kW
n
─
rpm
m ─ N m
N ─ PS
n
─
rpm
m ─ N m
G称为材料的剪切弹性模量。上式关系称为剪切 胡克定律
剪切弹性模量G 材料常数：拉压弹性模量E
泊松比μ
对于各向同性材料,可以证明:E、G、μ 三个弹 性常数之间存在着如下关系
G E
2(1 )
§5-4 圆轴扭转时的应力和变形
一、圆轴扭转时横截面上的应力
变形几何关系 从三方面考虑：物理关系
静力学关系
(D4
d4)
A
d /2
32
D4 (1 4 )
32
Wt
Ip
max
Ip D
2
D3 (1 4 )
16
极惯性矩：
d4
实心圆： I p 32
空心圆：I p
(D4 d 4) 32
D4
32
(1 4 )
抗扭截面模量：
实心圆：
Wt
d3
剪应力互等定理 : 在相互垂直的两个平面上, 剪应力一定成对出现，其数值相等，方向同 时指向或背离两平面的交线。
三、剪切胡克定律
CL5TU8
薄壁圆筒的实验, 证实了剪应力与剪应变之间 存在着象拉压胡克定律类似的关系, 即当剪应力 不超过材料的剪切比例极限τp时,剪应力与剪应 变成正比
材料力学扭转应力
材料力学扭转应力材料力学中的扭转应力，指的是在材料中由于扭转作用而产生的应力。
扭转应力是材料力学中的基本概念之一，广泛应用于各种工程和结构设计中。
在材料力学中，扭转应力可由以下公式表示：τ=T*r/J其中，τ表示扭转应力，T表示应用在材料上的扭矩大小，r表示材料中的极径，J表示截面转动惯量。
从上述公式中可以看出，扭转应力与扭矩、极径以及截面转动惯量有关。
扭转作用会使材料发生变形，而扭转应力则是描述这种变形现象的力学量。
在实际工程中，我们常常需要计算材料在扭转作用下的变形和应力值，以保证结构的安全和可靠性。
扭转应力的计算和分析在工程设计过程中非常重要。
在旋转机械、传动轴、扭转梁、桥梁、挠性杆件等结构中，承受扭转作用的构件都需要进行扭转应力的计算。
只有通过准确地计算和分析扭转应力，才能保证这些结构的正常运行和使用。
在实际工程中，我们常常使用各种方法和理论来计算和分析扭转应力。
最常用的一种方法是应用弹性力学理论，即将材料视为弹性体，在假设材料的应变具有线性关系的基础上，引入材料的弹性模量和剪切模量等材料参数，进行扭转应力的计算。
另外，材料的形状和几何特征也对扭转应力产生影响。
对于圆形截面的材料，扭转应力分布为圆对称分布，与极径成反比。
而对于其他形状的截面，扭转应力的分布则会有所差异。
因此，在具体的工程设计中，需要分析材料的截面形状以及其他几何特征，以计算准确的扭转应力。
此外，材料的性质也会影响扭转应力的大小和分布。
不同材料的弹性模量和剪切模量不同，因此在应用扭转应力公式时，需要考虑到材料的特性。
总之，扭转应力是材料力学中的重要概念，对于工程设计和结构分析具有重要意义。
能够准确计算和分析扭转应力，可以保证工程结构的安全和可靠性。
因此，在实际工程中，我们需要充分理解材料的扭转应力，并结合具体的情况进行准确的计算和分析。
扭转应力与强度条件
T1 M A 180 N m T2 MC 140 N m
T1l 1.50 10-2 rad GI p T2 l 1.17 10-2 rad GI p
37
AB
BC
AC AB BC 1.50 10-2 1.17 10-2 0.33 10-2 rad
7
扭矩与扭矩图
扭矩定义－矢量方向垂直于横截面的内力偶矩， 并用 T 表示 符号规定－矢量方向与横截面外法线方向一致 的扭矩为正，反之为负
8
扭矩图 试分析轴的扭矩（m－轴单位长度内的扭力偶矩）
M A ml
T M A mx
T m( l x )
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
A
Ip Wp －抗扭截面系数 R
15
小结
研究方法：从实验、假设入手，综合考虑几何、
物理与静力学三方面
dj T 扭转变形基本公式： dx GI p
扭转切应力公式： 最大扭转切应力：
T Ip T max Wp
公式的适用范围： 圆截面轴；max≤ p
16
讨论
在线弹性情况下，精确解：
max
16T D 3 (1 4 )
当 ≤RO /10 时，误差≤4.53
19
极惯性矩与抗扭截面系数
空心圆截面
dA 2π d
Ip
D/ 2 d/2
2 2π d
π D4 Ip 14 32
d D
π D3 Wp 14 16
CB
T2b M B b GI p GI p
(b)
T1l 1.50 10-2 rad GI p T2 l 1.17 10-2 rad GI p
37
AB
BC
AC AB BC 1.50 10-2 1.17 10-2 0.33 10-2 rad
7
扭矩与扭矩图
扭矩定义－矢量方向垂直于横截面的内力偶矩， 并用 T 表示 符号规定－矢量方向与横截面外法线方向一致 的扭矩为正，反之为负
8
扭矩图 试分析轴的扭矩（m－轴单位长度内的扭力偶矩）
M A ml
T M A mx
T m( l x )
表示扭矩沿杆件轴线变化的图线（T-x曲线）－扭矩图
A
Ip Wp －抗扭截面系数 R
15
小结
研究方法：从实验、假设入手，综合考虑几何、
物理与静力学三方面
dj T 扭转变形基本公式： dx GI p
扭转切应力公式： 最大扭转切应力：
T Ip T max Wp
公式的适用范围： 圆截面轴；max≤ p
16
讨论
在线弹性情况下，精确解：
max
16T D 3 (1 4 )
当 ≤RO /10 时，误差≤4.53
19
极惯性矩与抗扭截面系数
空心圆截面
dA 2π d
Ip
D/ 2 d/2
2 2π d
π D4 Ip 14 32
d D
π D3 Wp 14 16
CB
T2b M B b GI p GI p
(b)
材料力学(第五版)扭转切应力
(
)
d 2 = 0.8D2=43 mm π 2 d1 A1 452 4 = = =1.95 2 2 A2 π D2 1 α2 53.7 1 0.8 2 4
(
)
(
)
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料。
理由？ 理由？
空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因： 空心圆轴能比实心圆轴更充分的使用材料的原因：
(
)
五、圆轴扭转时的强度条件 圆轴扭转时的最大切应力不能超过 材料的许用切应力
τmax
T ax m = ≤ [τ] W p
例题 d2
A
B
C
d1 mA mB mC
已知： 已知：阶梯轴尺寸如图 mA = 22 kN m, mB = 36 kN m, mC =14 kN m
[τ]= 80 MPa
d1 =120 m , d2 =100m m m
对于钢材: 对于钢材:
200 G= = 80GPa 2(1+ 0.25)
§3-4 圆轴扭转时的应力
一、变形几何条件 1、变形观察： 变形观察：
圆周线不变（大小、 圆周线不变（大小、 间距都不变） 间距都不变） 纵向线倾斜， 纵向线倾斜， 倾斜角相同 表面矩形变成 平行四边形
薄壁圆筒由于壁很薄， 薄壁圆筒由于壁很薄，表 面变形即为内部变形。 面变形即为内部变形。
圆轴内部任意一点的切应力 圆轴内部任意一点的切应力 τ ρ 与该点到圆心的距离ρ 与该点到圆心的距离ρ成正比
d τ ρ = Gρ dx
(c)
ρ =0
τρ = 0
ρ=R
τ ρ =τ max
d = GR dx
三、静力关系
材料力学课件：扭转应力
上堂课主要内容回顾
轴向拉压杆横截面、斜截面上的应力
分布规律——内力沿横截面、斜截面均匀分布
1.横截面应力的计算公式： F
FN
FN
A
2.斜截面应力的计算公式：
F
p FN
p
FN A
F A
cos
F cos cos
A
上堂课主要内容回顾 1.横截面应力的计算公式： F
FN
FN
A 2.斜截面应力的计算公式：
结论： 横截面上 e= 0
s =0
g¹
t ¹0
t
根据对称性切应力沿0 圆周均匀分布
r0
t r0, 可认为切应力沿壁厚均匀分布
方向垂直于其半径方向 ???
§ 4 . 3 扭转
3. 横截面上切应力的计算公式
dA
r0
d
r0 dA T
A
2
dA t r0d
r0 t r0d T
0
r0 2 r0t T
试校核支架强度.
解: 1.内力分析
FN
F
sin
32 22 2
50 90.1kN（压）
BC
FN AB FNBC cos
3
90.1 75kN
32 22
（拉）
2.强度条件
木
FN BC a2
90.1103
0.12
9.01MPa [ ]木
钢
FN AB
d2 /4
75103 4
0.0252
dx dx
tg dd d
dx dx
§ 4 . 3 扭转
d
dx
d dx－扭转角变化率
2）物理条件：由应变的变化规律→应力的分布规律
轴向拉压杆横截面、斜截面上的应力
分布规律——内力沿横截面、斜截面均匀分布
1.横截面应力的计算公式： F
FN
FN
A
2.斜截面应力的计算公式：
F
p FN
p
FN A
F A
cos
F cos cos
A
上堂课主要内容回顾 1.横截面应力的计算公式： F
FN
FN
A 2.斜截面应力的计算公式：
结论： 横截面上 e= 0
s =0
g¹
t ¹0
t
根据对称性切应力沿0 圆周均匀分布
r0
t r0, 可认为切应力沿壁厚均匀分布
方向垂直于其半径方向 ???
§ 4 . 3 扭转
3. 横截面上切应力的计算公式
dA
r0
d
r0 dA T
A
2
dA t r0d
r0 t r0d T
0
r0 2 r0t T
试校核支架强度.
解: 1.内力分析
FN
F
sin
32 22 2
50 90.1kN（压）
BC
FN AB FNBC cos
3
90.1 75kN
32 22
（拉）
2.强度条件
木
FN BC a2
90.1103
0.12
9.01MPa [ ]木
钢
FN AB
d2 /4
75103 4
0.0252
dx dx
tg dd d
dx dx
§ 4 . 3 扭转
d
dx
d dx－扭转角变化率
2）物理条件：由应变的变化规律→应力的分布规律
扭转切应力计算
CHAPTER
新材料与新工艺的应用
高强度材料
随着新材料技术的不断发展，高强度材 料在扭转切应力计算中的应用越来越广 泛。这些材料具有更高的强度和刚度， 能够承受更大的扭矩，从而提高结构的 安全性和稳定性。
VS
复合材料
复合材料由多种材料组成，具有优异的力 学性能和化学稳定性。在扭转切应力计算 中，复合材料的应用有助于提高结构的抗 疲劳性能和耐久性，降低维护成本。
扭矩过大导致的结构破坏。
02
建筑结构分析
在建筑设计阶段，扭转切应力计算对于评估高层建筑、大跨度结构等复
杂建筑的稳定性至关重要。通过精确计算，可以优化结构设计，提高建
筑的抗风、抗震能力。
03
施工设备设计
在土木工程施工中，如打桩机、吊车等重型设备的转轴和传动系统需要
进行扭转切应力分析。这有助于确保设备在承受高扭矩时仍能保持稳定
连接件设计
在机械结构中，螺栓、键等连接件在传递扭矩时也会受到扭转切应力的作用。通过计算该 应力，可以确保连接件的强度和稳定性，防止因扭矩过大而导致的连接失效。
土木工程
01
桥梁设计
在土木工程中，桥梁的斜拉索和吊索等关键构件在承受外部扭矩时，需
要进行扭转切应力计算。这有助于确保桥梁的安全性和稳定性，防止因
有限元分析法
总结词
通过建立有限元模型，模拟物体的扭转行为并计算出切应力分布。
详细描述
有限元分析法是一种数值模拟方法，通过将物体离散化为有限个小的单元（即有限元），然后对每个单元进行受 力分析和平衡方程求解，最终得到整个物体的应力分布。这种方法可以处理复杂的结构和非线性材料，但需要建 立准确的有限元模型和进行大量的计算。
实验测量法
总结词
新材料与新工艺的应用
高强度材料
随着新材料技术的不断发展，高强度材 料在扭转切应力计算中的应用越来越广 泛。这些材料具有更高的强度和刚度， 能够承受更大的扭矩，从而提高结构的 安全性和稳定性。
VS
复合材料
复合材料由多种材料组成，具有优异的力 学性能和化学稳定性。在扭转切应力计算 中，复合材料的应用有助于提高结构的抗 疲劳性能和耐久性，降低维护成本。
扭矩过大导致的结构破坏。
02
建筑结构分析
在建筑设计阶段，扭转切应力计算对于评估高层建筑、大跨度结构等复
杂建筑的稳定性至关重要。通过精确计算，可以优化结构设计，提高建
筑的抗风、抗震能力。
03
施工设备设计
在土木工程施工中，如打桩机、吊车等重型设备的转轴和传动系统需要
进行扭转切应力分析。这有助于确保设备在承受高扭矩时仍能保持稳定
连接件设计
在机械结构中，螺栓、键等连接件在传递扭矩时也会受到扭转切应力的作用。通过计算该 应力，可以确保连接件的强度和稳定性，防止因扭矩过大而导致的连接失效。
土木工程
01
桥梁设计
在土木工程中，桥梁的斜拉索和吊索等关键构件在承受外部扭矩时，需
要进行扭转切应力计算。这有助于确保桥梁的安全性和稳定性，防止因
有限元分析法
总结词
通过建立有限元模型，模拟物体的扭转行为并计算出切应力分布。
详细描述
有限元分析法是一种数值模拟方法，通过将物体离散化为有限个小的单元（即有限元），然后对每个单元进行受 力分析和平衡方程求解，最终得到整个物体的应力分布。这种方法可以处理复杂的结构和非线性材料，但需要建 立准确的有限元模型和进行大量的计算。
实验测量法
总结词
《扭转切应力计算》课件
实验目的与意义
01
探究扭转切应力在材料力学行为中的重要性
02
验证理论模型与实际实验结果的符合程度
为工程应用提供实验依据，提高结构安全性与可靠性
03
实验设备与方法
实验设备
扭转试验机、应变测量仪、数据采集系统
实验材料
不同种类和规格的金属材料
实验方法
在扭转试验机上对材料进行扭转，同时测量应变，采集数据并进 行分析。
汽车工程中的应用
发动机输出轴
汽车发动机输出轴在传递扭矩时，会受到扭转切应力的作用。通过对扭转切应 力的精确计算，可以优化发动机输出轴的设计，提高其强度和耐久性。
悬挂系统
汽车悬挂系统中的转向节、悬挂臂等部件在承受扭转载荷时，需要考虑扭转切 应力的影响。合理计算扭转切应力可以确保悬挂系统的可靠性和安全性。
04
扭转切应力的影响因素
材料的影响
材料种类
01
不同材料的机械性质（如弹性模量、泊松比和抗拉强度）会影
响切应力的大小。
材料纯度
02
材料中的杂质和缺陷可能会影响其力学性能，从而影响切应力
。
热处理
03
材料的热处理历史会影响其微观结构和机械性能，进一步影响
切应力。
转速的影响
转速的变化
随着转速的增加，切应力通常会发生 变化。这种变化可能是由于应变速率 和旋转速度引起的动态效应。
机械传动系统
在机械传动系统中，扭转切应力是关键因素之一，它影响着 传动轴、齿轮等部件的强度和稳定性。通过计算扭转切应力 ，可以优化传动系统设计，提高的设计也需要考虑扭转切 应力。通过合理计算和设计，可以确保连接件的强度和稳定 性，防止因扭转切应力过大而导致的断裂或松动。
《扭转应力计算》课件
扭转应力的分类
按作用方式
可分为静态扭转应力和动态扭转应力。静态扭转应力是恒定 的扭力作用下的应力，而动态扭转应力则是随时间变化的扭 力作用下的应力。
按作用位置
可分为表面扭转应力和内部扭转应力。表面扭转应力主要集 中在物体的外表面，而内部扭转应力则分布在物体的内部。
扭转应力的应用场景
01
机械工程
在机械设计中，扭转应力是重要的考虑因素之一。例如，在轴、齿轮、
材料的弹性模量是描述材料在受到外力作用时抵 抗变形能力的物理量。
应力的定义与性质
应力的定义
应力是指物体内部单位面积上的作用力，用于描述物体在受力作 用下的内部应力状态。
应力的性质
应力具有矢量性、可传递性、可叠加性和局部性等性质。
应力张量
描述物体内部应力状态的数学工具是应力张量，它是一个二阶对 称张量。
剪切应力的计算
剪切应力的定义
剪切应力是指物体在剪切力作用下，相邻部分之间产生的相对位移趋势而产生 的应力。
剪切应力的分布
剪切应力的大小和方向在不同的位置会有所不同，其分布情况与物体的形状、 受力情况和材料属性等因素有关。
主应力和剪切应力的关系
主应力与剪切应力的关系
主应力和剪切应力的应用
主应力是指在某一方向上最大的应力 ，而剪切应力则是在垂直于某一平面 的方向上产生的应力。
02
解释：该公式表明剪切应力和弹性模量成正比，弹 性模量越大，剪切应力越大。
03
应用场景：用于分析材料的弹性模量对剪切应力的 影响。
04
CHAPTER
扭转应力计算实例
实例一：简单圆杆的扭转应力计算
总结词
基础模型，理论推导
详细描述
介绍简单圆杆的扭转应力计算方法，通过理论推导和公式解析，阐述扭转应力的 基本概念和计算过程。
材料扭转应力
材料扭转应力材料的力学性能是指材料在外力作用下所表现出的力学特性，其中扭转应力是材料力学性能中的重要指标之一。
材料在受到扭转作用时会产生应力，而扭转应力则体现了材料在这种情况下的应力状态和变形特性。
本文将对材料扭转应力进行深入探讨，包括扭转应力的定义、计算公式、影响因素以及应对方法等内容。
首先，我们来了解一下扭转应力的定义。
扭转应力是指材料在受到扭转作用时所产生的应力，它是由外部扭转力和材料的几何形状共同作用所产生的。
扭转应力的大小与材料的性质、几何形状以及扭转力的大小有关。
接下来，我们将介绍扭转应力的计算公式。
在材料力学中，扭转应力可以通过以下公式进行计算：τ = Tc / J。
其中，τ代表扭转应力，T代表扭转力，c代表材料的极径，J代表极惯性矩。
这个公式可以帮助我们准确地计算出材料在扭转作用下所受到的应力大小。
除了计算公式外，影响扭转应力的因素也是非常重要的。
材料的性质、几何形状以及外部扭转力的大小都会对扭转应力产生影响。
材料的硬度、强度、韧性等性质会直接影响扭转应力的大小，而材料的截面形状和尺寸也会对扭转应力产生影响。
此外，外部扭转力的大小也是影响扭转应力的重要因素之一。
针对扭转应力的影响因素，我们可以采取一些应对方法来加以控制。
首先，我们可以通过选择合适的材料来控制扭转应力，例如选择具有较高强度和韧性的材料。
其次，我们可以通过优化材料的几何形状来减小扭转应力的大小，比如增加材料的截面尺寸。
此外，合理控制外部扭转力的大小也是降低扭转应力的有效途径之一。
总的来说，扭转应力是材料力学性能中的重要指标，了解扭转应力的定义、计算公式、影响因素以及应对方法对于材料的设计和应用具有重要意义。
通过深入研究和有效控制扭转应力，我们可以更好地发挥材料的性能，确保材料在扭转作用下的安全可靠性，促进材料的应用和发展。
希望本文能够对读者有所帮助，谢谢阅读！。
材料力学第五章扭转应力
航空航天工业对材料的要求极高，需要具备轻质、高强度和良好的抗扭性能。工 程师需要根据材料的力学性能进行优化设计，确保航空航天器的安全性和稳定性 。
建筑工业中的应用
建筑结构中的梁、柱等构件在承受扭矩时会产生扭转应力。
在建筑设计过程中，工程师需要考虑材料的抗扭性能，合理 设计梁、柱等构件的截面尺寸和连接方式，以确保建筑结构 的稳定性和安全性。
学习有限元分析方法，掌 握如何利用计算机软件进 行结构分析，提高解决实 际问题的能力。
ABCD
结合实际工程问题，分析 不同材料的抗扭性能，以 及如何优化设计以提高结 构的稳定性。
关注相关领域的最新研究 进展，了解材料力学在工 程实践和科学研究中的应 用。
THANKS
感谢观看
扭转应力的计算公式
计算公式
扭转应力的大小可以通过以下公式计算：$tau = frac{T}{A}$，其中$tau$是扭转应 力，$T$是扭矩，$A$是物体的截面面积。
截面面积
截面面积是指物体横截面的面积，通常用于计算物体在扭矩作用下的扭转应力。
扭转应力的单位和符号
单位
扭转应力的单位是帕斯卡（Pa），在国际单位制中，1Pa=1N/m²。
弹性模量
弹性模量是材料在弹性变形范围内，抵抗外力作用的能力， 它反映了材料的刚度。对于同一材料，弹性模量越大，抵抗 扭转变形的能力越强，因此，弹性模量越大，扭转应力也越 大。
总结
在材料力学中，弹性模量是影响材料扭转应力的关键因素之 一。高弹性模量的材料具有较高的抵抗扭转变形的能力，因 此会产生较大的扭转应力。
剪切模量对扭转应力的影响
剪切模量
剪切模量是指在剪切应力作用下，材料抵抗剪切变形的刚度。剪切模量的大小与材料的剪切应力成正比，即剪切 模量越大，材料抵抗剪切变形的能力越强，因此，扭转应力也越大。
建筑工业中的应用
建筑结构中的梁、柱等构件在承受扭矩时会产生扭转应力。
在建筑设计过程中，工程师需要考虑材料的抗扭性能，合理 设计梁、柱等构件的截面尺寸和连接方式，以确保建筑结构 的稳定性和安全性。
学习有限元分析方法，掌 握如何利用计算机软件进 行结构分析，提高解决实 际问题的能力。
ABCD
结合实际工程问题，分析 不同材料的抗扭性能，以 及如何优化设计以提高结 构的稳定性。
关注相关领域的最新研究 进展，了解材料力学在工 程实践和科学研究中的应 用。
THANKS
感谢观看
扭转应力的计算公式
计算公式
扭转应力的大小可以通过以下公式计算：$tau = frac{T}{A}$，其中$tau$是扭转应 力，$T$是扭矩，$A$是物体的截面面积。
截面面积
截面面积是指物体横截面的面积，通常用于计算物体在扭矩作用下的扭转应力。
扭转应力的单位和符号
单位
扭转应力的单位是帕斯卡（Pa），在国际单位制中，1Pa=1N/m²。
弹性模量
弹性模量是材料在弹性变形范围内，抵抗外力作用的能力， 它反映了材料的刚度。对于同一材料，弹性模量越大，抵抗 扭转变形的能力越强，因此，弹性模量越大，扭转应力也越 大。
总结
在材料力学中，弹性模量是影响材料扭转应力的关键因素之 一。高弹性模量的材料具有较高的抵抗扭转变形的能力，因 此会产生较大的扭转应力。
剪切模量对扭转应力的影响
剪切模量
剪切模量是指在剪切应力作用下，材料抵抗剪切变形的刚度。剪切模量的大小与材料的剪切应力成正比，即剪切 模量越大，材料抵抗剪切变形的能力越强，因此，扭转应力也越大。
7.扭转应力
r t r d T
0 0 0
r0 2 r0 t T
T T （其中r0为平均半径） 2 2 r0 t 2 A0 t
根据精确的理论分析, 当t≤r0/10时,上式的误差不超过4.52%,是足够精确的。
§3.3 扭转
二、关于切应力的若干重要性质 1、剪切虎克定律
4 4 m , mm Ip—截面的极惯性矩，单位：
dA
T
T GI p
d dx
d T dx GI p
d G 代入物理关系式 dx 得：
T扭转
二、圆轴中τmax的确定 横截面上 — max
2.斜截面应力的计算公式：
F
p
FN
FN F F p cos cos A A A cos
p cos cos
2
F
p sin
2
p
sin 2
剪切
F F
F F
剪切面上的内力——剪力 用截面法—— Fs
m FS
结论：
横截面上
e 0, 0 0 0
r0
t
根据对称性可知切应力沿圆周均匀分布；
t D, 可认为切应力沿壁厚均匀分布,
且方向垂直于其半径方向。
§3.3 扭转
3. 横截面上切应力的计算公式
dA
r0
r dA T
0 A
2
d
dA t r0 d
MA A
Ⅰ
MB
Ⅱ
MC
B
22
C
解： 1、求内力，作出轴的扭矩图
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PA M A 9.55 n
MB
B
MC
C
MA
MD
D
A
400 9.55 5.46 kN m 700 PB 120 M B MC 9.55 9 . 55 1 . 64 kN m n 700 PD 160 M D 9.55 9.55 2.18kN m n 700
dx
变形的关系
一节课
26
切应变和扭转变形的关系
a
b
T
d
G G’ dx
T
在小变形的条件下
O2
d
G1G d dx
a
dx
b
d dx
27
dx :扭转角沿长度方向变化率，称为单位长度扭转角 结论：横截面上距圆心为 任一点处的切应变 与到圆心的距离 成正比。 分析：切应力＝？ 切应力和切应变是什么关系？
x
0 , T3 M D 0
扭矩按正扭 矩方向假设
T3 M D 2.18kN m
正号表示扭矩和假设方向相同，并且为正扭矩。 讨论：平衡方程中T3 负号的含义？ 1.结论中的正负号表示： （1）扭矩和假设方向是否相同？ 正号表示相同，负号表示相反 （2）若扭矩和假设方向相同，正号表示是正扭矩。 2.在平衡方程中，内力T3的正负号有相关的规定； 此处负号表示：列力矩平衡方程时， T3的矢量方向和x轴正向相反。
3、挤压实用计算：假设挤压应力在有效挤压面上均匀分布 Fbs P 挤压应力、 bs bs P 强度条件： Abs 有效挤压面积Abs：接触面在垂直Fbs方向上的投影面的面积
分析次序：外力=》横截面内力=》横截面上的应力
1
第 6 章 圆轴扭转时的强度和刚度计算 一、 扭转的概念和实例 x 1. 什么是扭转变形？
x
Me
T ' T ' ' T ' ' ' Me
外力偶矩有几个？ 内力偶矩=>扭矩有几个？
12
例. 某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮A的输入 功率为PA=400kW，从动轮B、C和D的输出功率分别为 PB=PC=120kW，PD=160kW。试作轴的扭矩图。
解： 1. 由功率－转速 关系计算外力偶矩
（τ ≤τp) ，切应力和切应变存在下列线性关系：
G
(τ ≤ τ p )
( σ ≤ σp )
称为剪切胡克定律
正应力：σ=Eε
称为胡克定律 统称为物理关系
29
G
剪切胡克定律
式中：G是材料的弹性常数，称为切变模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通 过实验确定，钢材的G值约为80GPa。 切变模量、弹性模量和泊松比是表明材料 弹性性质的三个常数。对各向同性材料， 这三个弹性常数之间存在下列关系: 在三个弹性常数中，只要 E 知道任意两个，第三个量就可 G 2(1 ) 以推算出来。
19
分析应力的步骤： 做扭转实验 →找出变形规律 →分析应力分布规律 注意 →推导应力计算公式。 我们不求一点处的内力， 求内力，求的是截面内力， 即截面上分布力系的合力或合力偶矩。 求应力，求的是 一点 处的应力， 即单位面积上的内力。 用什么方法 求应力？
20
6.2 横截面上的切应力分析与强度计算 一、等直圆杆扭转实验观察： 1.实验前 ①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m 2.实验后 得到哪些结论？ ①各纵向线均倾斜了同 一微小角度 ②圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变， 只是绕轴线作了相对转动。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形
17
MB
B
MC
C
MA
A
MD
D
各截面内力： BC段
MB
B
T1 1.64kN m
T1
MC
C
T3
MD
D
CA段
AD段
T2 3.28kN m
T3 2.18kN m
MB
B
T2
作扭矩图 最大扭矩在CA段
2.18
T /kN.m C B 1.64 3.28
Tmax 3280N m
3
5. 扭转构件实例
有扭转变形的杆件 ，横截面多数是圆 形，所以本章主要 介绍 圆轴扭转。
4
二、本章研究什么内容？ •扭转强度问题 分析步骤： 计算外力 求截面内力 推导截面上某点的应力计算公式 求最大应力，建立强度条件 •扭转刚度问题 分析步骤 计算外力 求截面内力推导变形计算公式 求最大变形，建立刚度条件
Me
n
Me
Me
n • x
Me
T
•
T´
x
m
扭矩
m
结论：T 和T´都代表 nn截面的扭矩，其 大小相同，符号相 同，且都用T表示。
11
3. 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上 扭矩变化规律的图线。 画扭矩图的目的：直观地给出扭矩变化规律 Me Me
Me
T T' • x
T''
T''' Me
T
Me
扭矩： T
d ——是单位长度扭转角 ， dx 对同一截面各点而言是常量。
结论：横截面上距圆心为 的点，其切应力 与 到圆心的距离 成正比。
31
d G dx
结论：横截面上距圆心为 任一点处的切应力 与 到圆心的距离 成正比。
判断：切应力是什么方向？
25
问题：横截面上任意一点转过的圆弧长度＝？ •变形几何关系
m m
dx
在圆轴上用两相邻横截 面截取相距为dx的微段 在小变形的条件下 设dx微段两截面相对 扭转角为d ，半径 G1G' d dx 为 （任意同轴圆柱 d 切应变和扭转 面）处的切应变为
D
A
扭矩图
危险截面为： CA 段各截面
18
扭矩T是nn截面上的内力，T是集中力偶矩。 Me
n
Me
讨论： nn截面上是否 作用着由等值反向的 两个力构成的力偶？
nn截面上有无数个质点， 每一点都受力，构成的是 连续分布的力系 这些分布力系的合成结果＝？ 合力偶矩——扭矩！
n
Me
T
问题：这些分布力系是怎样分布的？ 即内力的集度——应力＝？
0 0
结论：横截面上只有切应力，没有正应力。 轴向拉压时: 横截面上只有正应力， 没有切应力
23
（2）以平面假设为基础，推导变形规律 即建立变形几何关系——扭转变形和应变关系 什么是扭转变形？ m 两截面的相对扭转角（）： A m B l 任意两截面绕轴线转动而产生的角位移 什么是应变？ 有正应力，相应有正应变（线应变） ——即单位长度的伸长量； 有切应力，相应有 切应变（）： 切应变；切应变怎 直角的改变量称 样定义？ 为切应变
T2 M B MC 3.28kN m
负号表示扭矩和假设方向相反，并且为负扭矩 扭矩的符号（±）与坐标轴是否有关？
15
MB
B
1 1
MC
C
MA 2
A
3
MD x
D
M A 5.46 kN m M B M C 1.64 kN m M D 2.18 kN m
2 T3
先回顾：正应力和正应变是什么关系？ 胡克定律：应力小于比例极限时成立 正应力：σ=Eε 正应力和正应变的关系是怎样得到的？
d d 切应变 R时 R dx d dx
由拉压试验得到。
28
分析：切应力和切应变的关系？
实验结果表明，对于大多数工程材料，当处于弹性范围 内，即切应力不超过材料的剪切比例极限时
30
d 结论：横截面上距圆心为 任一点处的 dx 切应变 与到圆心的距离 成正比。
分析：横截面上距圆心为 任一点处的切应力＝？
利用剪切胡克定律： 将上式代入得 任一点处的切应力：
G是切变模量, 是材料常数；
G
d d G G G dx dx
21
根据圆轴表层的变形特 征，对其内部变形规律 做如下平面假设： 横截面变形前为平面，变形后仍保持 为平面，形状和大小不变;截面上半径保持 为直线;相邻横截面间的距离不变。 ——圆轴扭转时的平面假设
即圆轴的横截面就像 刚性平面一样， 绕轴线旋转了一个角度 平面假设 有什么作用？
22
平面假设：
横截面变形前为平面，变形后仍保持 为平面，形状和大小不变;截面上半径保持 为直线;相邻横截面间的距离不变。 （1）平面假设可以用于推测 横截面上有哪些应力 （正应力？切应力？）
13
MB
B
1
MC
C
MA 2
A
3 3
MD
x
D
M A 5.46 kN m M B M C 1.64 kN m M D 2.18 kN m
MB
B
1 T1
2
x
2.求BC段各截面内力 扭矩按正扭矩方向假设T1 负号的含义？
m
x
0 , T1 M B 0
M B 1.64kN m
扭矩和假设方向相反， 并且为负扭矩。
14
MB
B
1
MC
C
MA 2
A
3 3
MD
x
D
M A 5.46 kN m M B M C 1.64 kN m M D 2.18 kN m
MB
B
1 MC
C
2 T2 x
3.求CA段各截面内力
MB
B
MC
C
MA
MD
D
A
400 9.55 5.46 kN m 700 PB 120 M B MC 9.55 9 . 55 1 . 64 kN m n 700 PD 160 M D 9.55 9.55 2.18kN m n 700
dx
变形的关系
一节课
26
切应变和扭转变形的关系
a
b
T
d
G G’ dx
T
在小变形的条件下
O2
d
G1G d dx
a
dx
b
d dx
27
dx :扭转角沿长度方向变化率，称为单位长度扭转角 结论：横截面上距圆心为 任一点处的切应变 与到圆心的距离 成正比。 分析：切应力＝？ 切应力和切应变是什么关系？
x
0 , T3 M D 0
扭矩按正扭 矩方向假设
T3 M D 2.18kN m
正号表示扭矩和假设方向相同，并且为正扭矩。 讨论：平衡方程中T3 负号的含义？ 1.结论中的正负号表示： （1）扭矩和假设方向是否相同？ 正号表示相同，负号表示相反 （2）若扭矩和假设方向相同，正号表示是正扭矩。 2.在平衡方程中，内力T3的正负号有相关的规定； 此处负号表示：列力矩平衡方程时， T3的矢量方向和x轴正向相反。
3、挤压实用计算：假设挤压应力在有效挤压面上均匀分布 Fbs P 挤压应力、 bs bs P 强度条件： Abs 有效挤压面积Abs：接触面在垂直Fbs方向上的投影面的面积
分析次序：外力=》横截面内力=》横截面上的应力
1
第 6 章 圆轴扭转时的强度和刚度计算 一、 扭转的概念和实例 x 1. 什么是扭转变形？
x
Me
T ' T ' ' T ' ' ' Me
外力偶矩有几个？ 内力偶矩=>扭矩有几个？
12
例. 某传动轴如图，转速n=700r/min，主动轮A的输入 功率为PA=400kW，从动轮B、C和D的输出功率分别为 PB=PC=120kW，PD=160kW。试作轴的扭矩图。
解： 1. 由功率－转速 关系计算外力偶矩
（τ ≤τp) ，切应力和切应变存在下列线性关系：
G
(τ ≤ τ p )
( σ ≤ σp )
称为剪切胡克定律
正应力：σ=Eε
称为胡克定律 统称为物理关系
29
G
剪切胡克定律
式中：G是材料的弹性常数，称为切变模量，因 无量纲，故G的量纲与 相同，不同材料的G值可通 过实验确定，钢材的G值约为80GPa。 切变模量、弹性模量和泊松比是表明材料 弹性性质的三个常数。对各向同性材料， 这三个弹性常数之间存在下列关系: 在三个弹性常数中，只要 E 知道任意两个，第三个量就可 G 2(1 ) 以推算出来。
19
分析应力的步骤： 做扭转实验 →找出变形规律 →分析应力分布规律 注意 →推导应力计算公式。 我们不求一点处的内力， 求内力，求的是截面内力， 即截面上分布力系的合力或合力偶矩。 求应力，求的是 一点 处的应力， 即单位面积上的内力。 用什么方法 求应力？
20
6.2 横截面上的切应力分析与强度计算 一、等直圆杆扭转实验观察： 1.实验前 ①绘纵向线，圆周线； ②施加一对外力偶 m 2.实验后 得到哪些结论？ ①各纵向线均倾斜了同 一微小角度 ②圆筒表面的各圆周线的形状、大小和间距均未改变， 只是绕轴线作了相对转动。 ③所有矩形网格均歪斜成同样大小的平行四边形
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MB
B
MC
C
MA
A
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D
各截面内力： BC段
MB
B
T1 1.64kN m
T1
MC
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MD
D
CA段
AD段
T2 3.28kN m
T3 2.18kN m
MB
B
T2
作扭矩图 最大扭矩在CA段
2.18
T /kN.m C B 1.64 3.28
Tmax 3280N m
3
5. 扭转构件实例
有扭转变形的杆件 ，横截面多数是圆 形，所以本章主要 介绍 圆轴扭转。
4
二、本章研究什么内容？ •扭转强度问题 分析步骤： 计算外力 求截面内力 推导截面上某点的应力计算公式 求最大应力，建立强度条件 •扭转刚度问题 分析步骤 计算外力 求截面内力推导变形计算公式 求最大变形，建立刚度条件
Me
n
Me
Me
n • x
Me
T
•
T´
x
m
扭矩
m
结论：T 和T´都代表 nn截面的扭矩，其 大小相同，符号相 同，且都用T表示。
11
3. 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上 扭矩变化规律的图线。 画扭矩图的目的：直观地给出扭矩变化规律 Me Me
Me
T T' • x
T''
T''' Me
T
Me
扭矩： T
d ——是单位长度扭转角 ， dx 对同一截面各点而言是常量。
结论：横截面上距圆心为 的点，其切应力 与 到圆心的距离 成正比。
31
d G dx
结论：横截面上距圆心为 任一点处的切应力 与 到圆心的距离 成正比。
判断：切应力是什么方向？
25
问题：横截面上任意一点转过的圆弧长度＝？ •变形几何关系
m m
dx
在圆轴上用两相邻横截 面截取相距为dx的微段 在小变形的条件下 设dx微段两截面相对 扭转角为d ，半径 G1G' d dx 为 （任意同轴圆柱 d 切应变和扭转 面）处的切应变为
D
A
扭矩图
危险截面为： CA 段各截面
18
扭矩T是nn截面上的内力，T是集中力偶矩。 Me
n
Me
讨论： nn截面上是否 作用着由等值反向的 两个力构成的力偶？
nn截面上有无数个质点， 每一点都受力，构成的是 连续分布的力系 这些分布力系的合成结果＝？ 合力偶矩——扭矩！
n
Me
T
问题：这些分布力系是怎样分布的？ 即内力的集度——应力＝？
0 0
结论：横截面上只有切应力，没有正应力。 轴向拉压时: 横截面上只有正应力， 没有切应力
23
（2）以平面假设为基础，推导变形规律 即建立变形几何关系——扭转变形和应变关系 什么是扭转变形？ m 两截面的相对扭转角（）： A m B l 任意两截面绕轴线转动而产生的角位移 什么是应变？ 有正应力，相应有正应变（线应变） ——即单位长度的伸长量； 有切应力，相应有 切应变（）： 切应变；切应变怎 直角的改变量称 样定义？ 为切应变
T2 M B MC 3.28kN m
负号表示扭矩和假设方向相反，并且为负扭矩 扭矩的符号（±）与坐标轴是否有关？
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MB
B
1 1
MC
C
MA 2
A
3
MD x
D
M A 5.46 kN m M B M C 1.64 kN m M D 2.18 kN m
2 T3
先回顾：正应力和正应变是什么关系？ 胡克定律：应力小于比例极限时成立 正应力：σ=Eε 正应力和正应变的关系是怎样得到的？
d d 切应变 R时 R dx d dx
由拉压试验得到。
28
分析：切应力和切应变的关系？
实验结果表明，对于大多数工程材料，当处于弹性范围 内，即切应力不超过材料的剪切比例极限时
30
d 结论：横截面上距圆心为 任一点处的 dx 切应变 与到圆心的距离 成正比。
分析：横截面上距圆心为 任一点处的切应力＝？
利用剪切胡克定律： 将上式代入得 任一点处的切应力：
G是切变模量, 是材料常数；
G
d d G G G dx dx
21
根据圆轴表层的变形特 征，对其内部变形规律 做如下平面假设： 横截面变形前为平面，变形后仍保持 为平面，形状和大小不变;截面上半径保持 为直线;相邻横截面间的距离不变。 ——圆轴扭转时的平面假设
即圆轴的横截面就像 刚性平面一样， 绕轴线旋转了一个角度 平面假设 有什么作用？
22
平面假设：
横截面变形前为平面，变形后仍保持 为平面，形状和大小不变;截面上半径保持 为直线;相邻横截面间的距离不变。 （1）平面假设可以用于推测 横截面上有哪些应力 （正应力？切应力？）
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x
D
M A 5.46 kN m M B M C 1.64 kN m M D 2.18 kN m
MB
B
1 T1
2
x
2.求BC段各截面内力 扭矩按正扭矩方向假设T1 负号的含义？
m
x
0 , T1 M B 0
M B 1.64kN m
扭矩和假设方向相反， 并且为负扭矩。
14
MB
B
1
MC
C
MA 2
A
3 3
MD
x
D
M A 5.46 kN m M B M C 1.64 kN m M D 2.18 kN m
MB
B
1 MC
C
2 T2 x
3.求CA段各截面内力