第11讲 极端原理

第十一讲 极端原理

考虑极端情况，是解决数学问题的非常重要的思考方式。在具体解题过程中，常用到的极端元素有：数集中的最大数与最小数；两点间或点到直线距离的最大值与最小值；图形的最大面积或最小面积；数列的最大项或最小项；含元素最多或最少的集合，等等。 运用极端原理解决问题的基本思路，就是通过考虑问题的极端情形下的结果及解决极端情形的方法，寻找出解决问题的一般思路与方法，使问题得以顺利解决。

A 类例题

例1在正n 棱锥中,相邻两侧面所成的二面角的取值范围是( )

(A) 2

,n n

ππ-⎛⎫

⎪⎝⎭

(B) 1,n n

ππ-⎛⎫

⎪⎝

⎭

(C) 0,

2π⎛⎫

⎪⎝⎭

(D) 2

1,

n n n

n

ππ--⎛⎫

⎪⎝

⎭

(1994 年全国高中联赛题)

分析 利用图形的极端位置解题。

解 当正n 棱锥的顶点S 向下无限趋近底面正n 边形中心时, 所求值趋于π；当S 向上运动, 趋向无穷远时, 正n 棱锥趋于正n 棱柱,所求值趋于正n 边形的一个内角(即

2n n

π-),故选A.

例2有201人参加一次考试，规定用百分制记分，得分为整数，证明：（1）总分为9999

分时，至少有3人得分相同；（2）总分为10101分时，则至少有3个人得分相同。

分析 考虑无三人得分相同时的得分取值情况。

解 无三人得分相同的最低分值为：2³(0+1+…99)+100=10000。 无三人得分相同的最高分值为：2³(1+2+…100)+ 0=10100。

即无三人得分相同时的得分取值情况为10000，10001，…，10100。所以（1）总分为9999分时，至少有3人得分相同；（2）总分为10101分时，则至少有3个人得分相同。

说明 从极端情形考虑无三人得分相同的最低分值是得0，1，…，99分各2人，得100分1人；无三人得分相同的最高分值是得1，2，…，100分各2人，得0分1人。

情景再现

1．已知长方形的4 个顶点A(0 ,0) ,B(2 ,0) ,C(2 ,1) 和D(0 , 1),一质点从AB 的中点P 0 沿

与AB 夹角为θ的方向入射到BC 上的点P 1后依次反射到CD 、DA 和AB 上的点是P 2 、P 3和P 4 (入射角等于反射角). 设P 4的坐标为(x 4 ,0),若1

(A) 1

,13⎛⎫

⎪⎝⎭ (B) 12,

33⎛⎫

⎪⎝⎭ (C) 21

,52⎛⎫

⎪⎝⎭ (D) 22

,53

⎛⎫ ⎪⎝⎭

(2003年全国高考题)

2．已知A(2 , 3) ,B ( -3 , -2), 若直线l 过点P(1 , 1), 且与线段AB 相交, 则直线l 的斜率k 的取值范围为( )

(A) k ≥

34

. (B)

34

≤k ≤2.

(C) k ≥2 或k ≤34

(D) k ≤2.

B 类例题

例3已知对任意正自然数n,不等式nlga< (n +1) lg a a ( a >0)恒成立, 求实数a 的取值范

围.

分析 用分离变量的方法处理恒成立的问题，即a>f(x)对任意x 恒成立等价于a>max ｛f(x)｝.

解 当lg a >0 ,即a >1 时, 则不等式1

n a n >

+对任意正自然数n 恒成立, 因为当n

无限增大时,n 无限接近于1 ,且

1

n n +<1 , 所以a >1 ;

当lg a <0 ,即0< a <1 时,要使1

n a n <

+对任意正自然数n 恒成立,因为

1

n n +的最小值为

12

，所以a <

12

,即0< a <

12

.

故所求实数a 的取值范围是0< a <12

或a >1.

说明 本题考虑了

1

n n +取值中的极端情形，而极值的取得充分利用了函数f(n)=

1

n n +单调递增的性质。

例4 已知二次函数y = ax 2+ bx + c( a >0) 的图象经过M( 1-, 0),N

( 1+

, 0) , P (0 , k) 三点, 若∠MPN 是钝角, 求a 的取值范围. 分析 若利用余弦定理, 并由-1

解 当∠M PN 为直角时, 则点P 在以MN 为直径的圆周⊙O 1 上, 于是P 是该圆与y 轴的交点, 如图, 由勾股定理不难得k =±1 , ∴当∠M PN 为钝角时, 点P 在⊙O 1内, 由a >0 知: 点P 应在y 轴的负半轴上. 把P (0 , k) 的坐标代入

y = a( x -1+ )( x -1 -) 得a =-k, 因

此,0< a <1.

说明 根据平面几何的知识∠MPN 是钝角意味着P 点在以MN 为直径的圆内。

例5黑板上写着从1开始的n 个连续正整数,擦去其中一个数后,其余各数的平均值是

735

17

,求擦去的数.

分析 此题的常规方法是转变为列出并处理一个不定方程的问题, 但运算复杂,而从其极端情形考虑, 很快获解, 运算简洁、解法扼要.

解 考虑擦去数的极端情形, 显然擦去1 与n 是其极端情形,若擦去的数是1 , 则得

平均值为(1)1

221

2

n n n n +-+=

-；若擦去的数是n, 则平均值为

(1)

21

2

n n n

n n +-=

-,根据极端状

态下的平均值与已知平均值的联系,显然有2

n ≤735

17

≤

22

n +, 从而69≤n ≤70 ,即68≤n

-1 ≤69.

而n -1 个整数的平均数是73517

, 所以n -1 是17 的倍数,故n -1=68 ,即n = 69. 最

后,设擦去的数为x, 则

1269735

68

17

x

+++-= .

∴x =7 ,即擦去的数是7.

说明 本题用到等差数列前n 项的和 1+2+3+…+n=

(1)

2

n n +。

例6若干只箱子的总重量为10吨，每一只箱子重量不超过1吨，问为了把这些箱子用

载重3吨的卡车运走。

（1）证明：有一个办法至多分5次就可以把这此批货物全部运完； （2）至少需要多少次一定可以把货物全部运完。

分析 把这此批货物全部运完需构造装货最多的极端情形，4次不一定能运完需构造

“最