高中数学 空间向量 夹角和距离公式

小结：
(1)两个公式：
已知：a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)
cos a,b a1b1 a2b2 a3b3 a12 a22 a32 b12 b22 b32
d A,B x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
(2).向量的坐标及运算为解决线段长 度及两线垂直方面的问题提供了有力 和方便的工具，对于几何体中有关夹 角，距离，垂直，平行的问题，可将 其转化为向量间的夹角，模，垂直， 平行的问题，利用向量的方法解决。
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中， E,F分别是CC1,A1D1的中点,求异面直线 AB与EF所成的角.
F D1 A1
D
A
M C1
∠MFE即异面直线
B1 E AB与EF所成的角
C B
例2.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中， E,F分别是CC1,A1D1的中点,求异面直 线AB与EF所成的角.
z D1 F A1
D A x
解：以D为原点，
C1 DA,DC,DD1分别为x
B1
轴，y轴，z轴建立直
E 角坐标系.
Cy
B
例3.求证：如果两条直线垂直于一个 平面，则这两条直线平行。
已知：直线OA⊥平面α，直线 BD⊥平面α，O,B为垂足
求证：OA∥BD
A
D
αo
B
已知：直线OA⊥平面α，直线 BD⊥平面α，O,B为垂足
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3) a + b =(a1+b1,a2+b2,a3+b3) λa=（λa1, λa2, λa3) a·b=a1b1+a2b2+a3b3
设a=(a1,a2,a3), b=(b1,b2,b3)
a//b
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3（λ∈R）
a⊥b
求证：OA∥BD
Az
D
k i oj y B
αx
证明：以点O为原 点，以射线OA为非 负z轴，建立空间直 角坐标系O-xyz， i,j,k为沿x轴，y轴， z轴的坐标向量，且 设BD=(x,y,z).
如果表示向量a的有向线段 所在直线垂直于平面α，则称 这个向量垂直于平面α，记作
a⊥α
如果a⊥α ，那么向量a叫 做平面α的法向量
例1.已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求： (2)到A、B两点距离相等的点P(x,y,z) 的坐标x,y,z满足的条件.
解：设点P到A、B的距离相等，则
(x 3)2 y 32 z 12 x 12 y 02 z 52
化简，得 4x+6y-8z+7=0 即到A,B距离相等的点的坐标（x,y,z) 满足的条件是4x+6y-8z+7=0
夹角和距离公式
空间直角坐标系
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z
若a=a1i+a2j+a3k
A
则a=( a1,a2,a3 )
k io j
x
OA=(x,y,z); y A(x,y,z)
设A(x1,y1,z1), B(x2,y2,z2) AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
z
k io j
x1
x
a y1 y
向量的直角坐标运算
a1b1+a2b2+a3b3=0
例1.已知A(3,3,1)，B(1,0,5)求：
(1)线段 AB的中点坐标和长度；
z 设M(x,y,z)是AB的中点，则
B(1,0,5)
OM=
1 2
(OA+OB)
M
AM=MB
o
y
A(3,3,1)
x dA,B 1 32 0 32 5 12 29