版高考数学一轮总复习第二章函数、导数及其应用第四节二次函数与幂函数练习文【含答案】

第四节 二次函数与幂函数

【最新考纲】 1.(1)了解幂函数的概念；(2)结合函数y ＝x ，y ＝x 2

，y ＝x 3

，y ＝x 1

2，y

＝x －1

的图象，了解它们的变化情况.2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．

1．二次函数

(1)二次函数的三种形式

一般式：f(x)＝ax 2

＋bx ＋c(a≠0)；

顶点式：f(x)＝a(x －h)2

＋k(a≠0)，顶点坐标为(h ，k)； 零点式：f(x)＝a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)，x 1，x 2为f(x)的零点． (2)二次函数的图象与性质

(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数叫幂函数，其中x是自变量，α是常数．

(2)幂函数的图象

(3)幂函数的性质

1．(质疑夯基)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c ，x ∈R ，不可能是偶函数．( ) (2)二次函数y ＝ax 2

＋bx ＋c ，x ∈[a ，b ]的最值一定是4ac －b

2

4a

.( )

(3)函数y ＝2x 1

3是幂函数．( )

(4)当n ＞0时，幂函数y ＝x n

在(0，＋∞)上是增函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)× (4)√ 2．已知点M ⎝

⎛⎭

⎪⎫

33，3在幂函数f(x)的图象上，则f(x)的表达式为( ) A ．f(x)＝x 2

B ．f(x)＝x －2

C ．f(x)＝x 1

2 D ．f(x)＝x －1

2

解析：设f(x)＝x α

，则有3＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫33α

，即3＝3－α2，

∴－α

2＝1，

∴α＝－2， ∴f(x)＝x －2

. 答案：B

3．(2016·佛山模拟)若f(x)＝(x ＋a)(x －4)为偶函数，则实数a ＝________． 解析：f(x)＝x 2

＋(a －4)x －4a ，由f(x)是偶函数知a －4＝0，所以a ＝4. 答案：4

4．函数f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a 的取值范围是________．

解析：二次函数f(x)的对称轴是x ＝1－a ，由题意知1－a≥3，∴a ≤－2. 答案：(－∞，－2]

5．若幂函数y ＝(m 2

－3m ＋3)xm 2

－m －2的图象不经过原点，则实数m 的值为________．

解析：由⎩

⎪⎨⎪⎧m 2

－3m ＋3＝1m 2－m －2≤0，解得m ＝1或2.

经检验m ＝1或2都适合． 答案：1或2

一个核心

二次函数、二次方程与二次不等式统称为“三个二次 ”，它们常有机结合在一起，而二次函数又是“三个二次”的核心，通过二次函数的图象贯穿为一体．因此，有关二次函数的问题，充分利用二次函数的图象是探求解题思路的有效方法．

一个结论

ax

2

＋bx ＋c ＞0，a ≠0恒成立的充要条件是⎩

⎪⎨⎪⎧a ＞0，

b 2－4a

c ＜0.ax 2＋bx ＋c ＜0(a ≠0)恒成立的

充要条件是⎩⎪⎨

⎪

⎧a ＜0b 2

－4ac ＜0

一个特征

幂函数y ＝x α

(α∈R)图象的特征

α＞0时，图象过原点和(1，1)，第一象限的图象上升；

α＜0时，图象不过原点，过(1，1)，第一象限的图象下降，反之也成立． 两种方法

函数y ＝f (x )对称轴的判断方法

1．对于二次函数y ＝f (x )，如果对定义域内所有x 都有f (x 1)＝f (x 2)，那么函数y ＝f (x )的图象关于x ＝

x 1＋x 2

2

对称．

2．对于二次函数y ＝f (x )，如果对定义域内所有x ，都有f (a ＋x )＝f (a －x )成立的充要条件是函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称(a 为常数)．

一、选择题

1．(2016·孝感调研)函数f(x)＝(m 2

－m －1)x m

是幂函数，且在(0，＋∞)上为增函数，则实数m 的值是( )

A ．－1

B ．2

C ．3

D ．－1或2

解析：f(x)＝(m 2

－m －1)x m

是幂函数⇒m 2－m －1＝1⇒m ＝－1或m ＝2. 又f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以m ＝2. 答案：B

2．(2016·济南外国语学校期中)已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y ＝x α

的值域为R ，且为奇函数的所有α的值为( )

A ．1，3

B ．－1，1

C ．－1，3

D ．－1，1，3

解析：因为函数为奇函数，故α的可能值为－1，1，3.又y ＝x －1

的值域为{y |y ≠0}，y ＝x ，y ＝x 3

函数的值域都为R.所以符合要求的α的值为1，3.

答案：A

3．已知函数y ＝ax 2

＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c 且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象可能是( )