Leslie种群年龄结构的差分方程模型

Leslie种群年龄结构的差分方程模型

已知一种昆虫每两周产卵一次，六周以后死亡（给出了变化过程的基本规律）。孵化后

的幼虫2周后成熟，平均产卵100个，四周龄的成虫平均产卵150个。假设每个卵发育成2周龄成虫的概率为0.09，（称为成活率），2周龄成虫发育成4周龄成虫的概率为0.2。假设

开始时，0~2，2~4，4~6周龄的昆虫数目相同，计算2周、4周、6周后各种周龄的昆虫数目；讨论这种昆虫各种周龄的昆虫数目的演变趋势：各周龄的昆虫比例是否有一个稳定值？昆虫是无限地增长还是趋于灭亡？假设使用了除虫剂，已知使用了除虫剂后各周龄的成活率减半，问这种除虫剂是否有效？

解：将两周分成一个时段，设k时段2周后幼虫数量为：x1(k), 2到4周虫的数量为：x2(K), 4到6周虫数量为：x3(K)。

据题意可列出下列差分方程：

x1(k+1)=x2(k)*100+x3(k)*150

x2(k+1)=x1(k)*0.09

x3(k+1)=x2(k)*0.2

运用matlab编写的程序如下：

function z=diliuti(a,r1,r2,n)

x(1) =a;y(1)=a;w(1)=a;

for k=1:n

x(k+1)=y(k)*100+w(k)*150;

y(k+1)=x(k)*r1;

w(k+1)=y(k)*r2;

end

z=[x',y',w'];

for k=1:n+1

m=x(k)+y(k)+w(k)

end

plot(1:n+1,x);hold on

plot(1:n+1,y,'r');hold on

plot(1:n+1,w,'k'),grid

计算前三年的结果为：

z=diliuti(100,0.009,0.2,2)

m =

300

m =

2.5021e+004

m =

3.3152e+003

z =

1.0e+004 *

0.0100 0.0100 0.0100

2.5000 0.0001 0.0020

0.3090 0.0225 0.0000

（蓝线为0~2周的虫，红线为2~4周的虫，黑线为4~6周的虫）

其中，m 表示三个不同生长周期的虫的总数，可见虫并未灭绝。当年份足够长时，可观察到各年龄段虫的数量变化：

>> z=diliuti(100,0.009,0.2,20)

m =

1 1.

2 1.4 1.6 1.82 2.2 2.4 2.6 2.83

00.5

1

1.5

2

2.5

4

300

m =

2.5021e+004 m =

3.3152e+003 m =

2.2600e+004 m =

9.7393e+003 m =

2.1235e+004 m =

1.4867e+004 m =

2.1741e+004 m =

1.9114e+004

m =

2.3581e+004 m =

2.3073e+004 m =

2.6384e+004 m =

2.7132e+004 m =

2.9975e+004 m =

3.1543e+004 m =

3.4303e+004 m =

3.6482e+004 m =

3.9389e+004

m =

4.2095e+004

m =

4.5301e+004

m =

4.8521e+004

z =

1.0e+004 *

0.0100 0.0100 0.0100 2.5000 0.0001 0.0020 0.3090 0.0225 0.0000 2.2527 0.0028 0.0045 0.9531 0.0203 0.0006 2.1109 0.0086 0.0041

1.4660 0.0190 0.0017

2.1571 0.0132 0.0038

1.8893 0.0194 0.0026

2.3372 0.0170 0.0039 2.2828 0.0210 0.0034 2.6136 0.0205 0.0042 2.6856 0.0235 0.0041

2.9686 0.0242 0.0047

3.1227 0.0267 0.0048 3.3969 0.0281 0.0053 3.6120 0.0306 0.0056

3.9003 0.0325 0.0061

4.1679 0.0351 0.0065 4.4855 0.0375 0.0070 4.8042 0.0404 0.0075

由此可见，0~2周的虫的数量急剧增多，2~4周的虫的数量也增多，而4~6周 的虫的数量相对很少。三者并无太多比例关系。最终整个种群数量增多。

当使用杀虫剂时：

z=diliuti(100,0.0045,0.1,20)

m =

300

m =

2.5010e+004

m =

1.6575e+003

m =

0510152025

00.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

4