江苏省2020届高三数学小题强化训练

小题强化训练

一、填空题：本大题共8小题，每题5分，共40分．

1.复数z ＝a ＋i (a ∈R ，i 是虚数单位)，若z 2是实数，则实数a 的值为________．

2.袋中共有大小相同的4只小球，编号分别为1，2，3，4.现从中任取2只小球，则取出的2只小球的编号之和是奇数的概率为________.

3.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2

b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，且它的一个焦点在直线l 上，则双曲线C 的方程为____________．

4.已知正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是3，则该正四棱锥的体积为________．

5.已知cos(α－π6)＋sin α＝435，则sin(α＋7π6

)＝________． 6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋sin （x ＋π3），x ＞0，－x 2＋cos （x ＋α），x ＜0，

α∈[0，2π)是奇函数，则α＝________． 7.已知△ABC 是边长为23的正三角形，PQ 为△ABC 外接圆O 的一条直径，M 为△ABC 边

上的动点，则PM →·MQ →的最大值是________．

8.已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)．若对任意n ∈N *，都有a 2n ＋a 2n ＋1≥20n －15成立，

则a 1的取值范围是______________．

二、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

9.(本小题满分14分)

在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且(a －c )(sin A ＋sin C )＝(b －3c )sin B .

(1)求角A ；

(2)若f (x )＝cos 2(x ＋A )－sin 2(x －A )，求f (x )的单调递增区间．

已知圆O：x2＋y2＝4与x轴负半轴的交点为A，点P在直线l：3x＋y－a＝0上，过点P 作圆O的切线，切点为T.

(1)若a＝8，切点T(3，－1)，求直线AP的方程；

(2)若P A＝2PT，求实数a的取值范围．

11.(本小题满分16分)

如图，某工厂两幢平行厂房间距为50m，沿前后墙边均有5m的绿化带，现在绿化带之间空地上建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4800m3，深度为3m，水池一组池壁与厂房平行．如果池底总造价为c元，垂直于厂房的池壁每1m2的造价为a元，平行于厂房的池壁每1m2的造价为b元，设该贮水池的底面垂直于厂房的一边的长为x(m)．

(1)求建造该长方体贮水池总造价y的函数关系，并写出函数的定义域；

(2)试问：怎样设计该贮水池能使总造价最低？并求出最低总造价．

已知函数f (x )＝e x ，g (x )＝ax ＋b ，a ，b ∈R .

(1)若g (－1)＝0，且函数g (x )的图象是函数f (x )图象的一条切线，求实数a 的值；

(2)若不等式f (x )＞x 2＋m 对任意x ∈(0，＋∞)恒成立，求实数m 的取值范围；

(3)若对任意实数a ，函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)上总有零点，求实数b 的取值范围．

小题强化训练

1.0 解析：z 2＝(a ＋i )2＝a 2－1＋2ai 是实数，则a ＝0.

2.23 解析：从4只小球中任取2只小球共有6种取法，其中2只小球的编号之和是奇数的有4种，则所求概率为46＝2

3. 3.x 25－y 220＝1 解析：由双曲线的渐近线方程y ＝±b a x 可知b ＝2a .又由题意c ＝5，所以a ＝5，b ＝25，所以双曲线C 的方程为x 25－y 2

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＝1. 4.43

解析：因为正四棱锥的底面边长是2，侧棱长是3，所以由正四棱锥的性质可得高h ＝（3）2－（2）2＝1，所以该正四棱锥的体积V ＝13×22×1＝43

. 5.－45 解析：由cos ⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin α＝435可得32cos α＋12sin α＋sin α＝435，即32sin α＋32

cos α＝435，所以3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝435，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋7π6＝－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－45

. 6.7π6

解析：因为函数f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．当x ＞0时，－x ＜0，所以－x 2＋cos(－x ＋α)＝－⎣⎡⎦⎤x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，即cos(－x ＋α)＝－sin(x ＋π3

)，即cos(x －α)＝－cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，所以cos(x －α)＝cos ⎝⎛⎭⎫x －7π6.因为α∈[0，2π)，所以α＝7π6

. 7.3 解析：如图，以边AB 所在的直线为x 轴，以AB 的中点O 为坐标原点建立平面直角坐标系．因为正三角形ABC 的边长为23，所以A (－3，0)，B (3，0)，C (0，3)，P (0，－

1)，Q (0，3)．当点M 在边AB 上时，设点M (x 0，0)，则－3≤x 0≤3，PM →·MQ →＝－x 20＋3≤3，

此时PM →·MQ →的最大值是3；当点M 在边BC 上时，直线BC 的方程为3x ＋y －3＝0.设点M (x 0，

3－3x 0)，0≤x 0≤3，PM →·MQ →＝－4x 20＋43x 0，此时，当x 0＝32

时，PM →·MQ →取得最大值是3；当点M 在边AC 上时，直线AC 的方程为3x －y ＋3＝0.设点M (x 0，3＋3x 0)，－3≤x 0≤0，

PM →·MQ →＝－4x 20－43x 0，此时，当x 0＝－32

时，PM →·MQ →取得最大值3.综上可得PM →·MQ →的最大值是3.

8.(－∞，－4]∪[2，＋∞) 解析：∵a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)，∴a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋1.