二项式定理与多项式定理

《高中数学研究性学习案例》分组问题二项式定理多项式定理

1.固定分组问题

例1 将12本不同得书分给甲、乙、丙、丁4位学生,求分别满足下列条件得分配方法各有多少种:

(1)4位学生每人3本;

(2)甲、乙各得4本,丙、丁各得2本;

(3)甲得5本,乙得4本,丙得2本,丁得1本.

解 (1)先从12本书中选取3本分给甲,有种方法;当甲分得3本书后,从剩下得9本书中选取3本分给乙,有种方法;类似可得,丙、丁得分法分别有、种,由乘法原理得所求分法共有==369600种;

(2)与(1)得解法类似可得所求分配方法种数为==207900;

(3)与(1)得解法类似可得所求分配方法种数为==83160.

在例1中就是将不同得书分给不同得学生,并且指定了每人分得得本数,我们称之为固定分组问题.我们将这个问题总结成如下一般定理:

定理1将n个不同得元素分成带有编号从1,2,…,r得r 个组:,,使得有n1个元素,有个元素,…,有个元素,,则不同得分组方法共有种.

证明先从n个不同得元素中选取n1个分给,这一步有种方法;再从剩下得个元素中选取个分给,这一步有种方法;如此继续下去,最后剩下得个元素分给,有种方法,由乘法原理得这样得固定分组方法共有…=种.证毕.

我们将定理1得分配问题简称为()固定分组问题.

2.不尽相异元素得全排列多项式定理

固定分组数有多种组合学意义,除了表示固定分组得方法数外,它还有以下两种表示意义:

(1)不尽相异元素得全排列种数

有r类元素,其中第k类元素有个(k=1,2,…,r),同类元素不加区分,不同类元素互不相同,。则这r类n个不尽相异元素得全排列种数等于固定分组数。.

例2 (06年高考江苏卷(理))今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加区分,将这9个球排成一列有种不同得方法(用数字作答).

解 9个球排成一列要占9个位置,从9个位置中选取2个放红球,有种方法;再从其余7个位置中选取3个放黄球,有种方法;最后在剩下得4个位置上全放白球,有种方法,由乘法原理得所求得排列方法共有==1260种.

评注:对于固定分组数,除了表示固定分组得方法数外,它还表示r类共n个(不尽相异)元素得全排列数,其中第k类元素有个(k=1,2,…,r),同类元素不加区分,.

(2)多项式定理得系数

在得展开式中,项得系数等于固定分组数。例如在得展开式中,项得系数为=,这正就是我们所熟悉得二项式系数。有如下得多项式定理:

多项式定理设n就是正整数,则对一切实数x1 ,x2,……,x r有

(*)其中求与就是对满足方程n1+n2+……n r= n得一切非负整数n1,n2,……,n t来求。因为r元方程n1+n2+……n r = n得非负整数共有组,所以在得展开式中共有个不同得项。

多项式定理就是对二项式定理得推广,在多项式定理中令r = 2 就得到了二项式定理。

例3写出得展开式中项与项得系数.

解先求项得系数.就是10个括号得连乘积,将这10个括号瞧成10个元素,从中先取出4个括号作为第一组,在每个括号中都取x;再从剩下得6个括号中取出3个作为第二组,在每个括号中都取y;再从剩下得3个括号中取出2个作为第三组,在每个括号中都取z;最后得剩下得1个括号作为第四组,从中取w.这样取出得4个x,3个y,2个z,1个w得连乘积就就是项,由定理1知,上述取法就就是(10;4,3,2,1)固定分组问题,于就是在展开10个括号得连乘积时,项有=12600个同类项,所以此项得系数就是12600.同理可得项得系数就

是=25200.

例4(94年全国高考题)有甲、乙、丙三项不同得任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担,现从10人中选取4人担任这三项工作,有多少种不同得分配方法？

解:从10人中选取4人,有对于取定得4人,让她们担任这三项工作,为(4;2,1,1)固定分组问题,故所求分配方法共有种.

注:一般地,设有、、…,共r项不同得工作,工作需个人承担(,,现从个人中选取n个人做这r项工作(),则不同得分配工作方法共有种.

例5 (07年全国高考理2(必修+选修Ⅱ))从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有2人参加,星期六、星期日各有1人参加,则不同得选派方法共有

(A)40种 (B)60种 (C)100种

(D)120种

解从5人中选取4人,有对于选定得4人,让她们参加这3天得公益活动,为(4;2,1,1)固定分组问题,由定理1及乘法原理得所求选派方法共有种.故选B.

例6 (06年高考天津卷(理))将4个颜色互不相同得球全部放入编号为1与2得两个盒子里,使得放入每个盒子里得球得个数不小于该盒子得编号,则不同得放球方法有

A.10种

B.20种

C.36种

D.52种

解放球方法即分组方法.满足条件得放球方法可分成两类:①(4;1,3)固定分组问题;②(4;2,2)固定分组问题,它们分别有,种放球方法,故所求放球方法共有+=4+6=10种.故选A.

评注:对于类似例3这样得不能直接按固定分组解决得问题,如果能够按各个组(盒子)允许放得元素(球数)将问题分成互不相交得若干类,使得每一类都就是固定分组问题,则可按固定分组分别计算这些类再相加即可.

例7 (07年全国高考1(文))甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同得选修方案共有

(A)36 种 (B)48 种 (C)96 种(D)192种

解因每人都就是从4门课程中选课,故甲、乙、丙3人得选课方法分别有种,由乘法原理得所求选修方案共有=96种.故选C、

例8(08年湖北理6题)将5名志愿者分配到3个不同得奥运场馆参加接待工作,每个场馆至少分配一名志愿者得方案种数为

A、540

B、300

C、180

D、150

解:用“捆绑法”可得所求结果为