2-6电四极矩

∫ ∫
∫
1 1 1 2 [ (3x′x′ − R′ l )ρ(x′)dV ′] : ∇∇ = 4πε0 6 R
机动
1 = ∇ = 0 (R ≠ 0) R
2
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电四极矩最简单体系举例： 电四极矩最简单体系举例：
四个点电荷在一直线上按 排列， （+，-，-，+）排列，可看作 一对正负电偶极子。 一对正负电偶极子。
ρ(x′)dV′ 3. 小区域电荷分布产生的电势 ϕ(x) = ∫∞ 4πε0r
1
1 1 1 1 ϕ(x) = ∫V ρ(x′)[ R − x′ ⋅ ∇ R + 2 x′x′ : ∇∇ R +⋯]dV ′ 4πε0
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1 1 1 1 ϕ(x) = ∫V ρ(x′)[ R − x′ ⋅ ∇ R + 2 x′x′ : ∇∇ R +⋯]dV ′ 4πε0
1 1 R p⋅ R ϕ =− p⋅∇ = − p ⋅ (− 3 ) = 4πε0 R 4πε0 R 4πε0 R3
(1)
1
产生的电势。 等效电偶极矩 p 产生的电势。最简单的体系为 两个点电荷产生的电势。 两个点电荷产生的电势。
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ϕ (2)
1 1 1 1 ∂2 1 = D : ∇∇ = ∑Dij ∂x ∂x R 4πε0 6 R 4πε0 6 ij i j 1
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3．相互作用能的意义： ．相互作用能的意义： 意义
W
W
(0)
= Qϕe (0)
体系电荷集中在原点时，在外场 体系电荷集中在原点时， 中的能量； 中的能量； 体系等效电偶极子在 外场中的能量； 外场中的能量； 体系等效电四极子在 外场中的能量。 外场中的能量。若外 场为均匀场 ∇Ee ≡ 0
1 1 1 1 = = f (x − x′), x′ = 0, = r x − x′ r R 1 f (x − x′) = f (x) + (x′ ⋅ ∇′) f (x) + (x′ ⋅ ∇′)2 f (x) +⋯ 2
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1 1 1 1 2 1 = + (x′ ⋅∇′) + (x′ ⋅∇′) +⋯ r R r x′=0 2 r x′=0 1 1 1 2 1 = − (x′ ⋅∇) + (x′ ⋅∇) +⋯ R R 2 R 1 1 1 1 = − (x′ ⋅∇) + (x′x′ : ∇∇) +⋯ R R 2 R 1 1 1 ′ 其中 (∇ = −∇ = −∇ , aa : bb = (a ⋅ b)2 ) r x′=0 r x′=0 R
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(1) 一元函数的麦克劳林展开式（在坐标原点展开） 一元函数的麦克劳林展开式（在坐标原点展开）
1 2. 的麦克劳林展开 r
1 df (0) 1 df 2 (0) 2 f (x) = f (0) + x+ x +⋯ 2 1 dx ! 2 dx ! (2) 三元函数的麦克劳林展开
p ⋅ r+
p ⋅ r−
4πε0
∂z
R
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电四极矩其它例子
D ≠ 0 四个点电荷在 x 轴 四个点电荷在 11
D22 ≠ 0 四个点电荷在 y 轴 四个点电荷在
D ≠0 12
+ -
z
+
D = D21 ≠ 0 x-y 平面 12
D = D31 ≠ 0 x-z 平面 13
D23 = D32 ≠ 0 y-z 平面
z
b +
r+ r-
P
l = a +b P = Q(b − a)ez = p 上
- R a θ
l
O
体系总电荷、 体系总电荷、总电偶极矩为零 电荷 依定义 D33 ≠ 0 其它分量均为零
P = −Q(b − a)ez = − p 下
-a -b +
x
D = ∫ 3zzρ(x)dV =∫ 33
V
z=∞
z=−∞
y
x
作业： 作业：计算图示情况下的电四极矩Biblioteka Baidu量 自学：教材９０ ９０页例题 自学：教材９０页例题
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三、电荷体系在外电场中的能量（相互作用能）
1．设外场电势为 ϕe，场中 ． 电荷分布为 ρ(x) ，体系 具有的总能量为： 具有的总能量为
z
ρe 1 W = ∫ (ρ + ρe )(ϕ +ϕe )dV 0 2 ∞ y 1 1 x = ∫ ρϕdV + ∫ ρeϕedV 2 2 1 + ∫ (ρϕe + ρeϕ)dV 可证明： 可证明： ρϕedV = ρeϕdV 2 ∞ ∞ 1 1 因此： 0 因此 W = ∫ ρϕdV + ∫ ρeϕedV + W 2 2 称为体系的相互作用能，或带电 W = ρϕedV 称为体系的相互作用能 或带电 体系在外场中的能量。 体系在外场中的能量。 ∞
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1 ∂ ∂ ∂ = f (0) + (x + x2 + x3 ) f (0) 1 1! ∂x ∂x2 ∂x3 1 ∂ ∂ ∂ 2 1 ) f (0) +⋯ + (x + x2 + x3 1 2! ∂x ∂x2 ∂x3 1 3 ∂ 1 ∂2 = f (0) + ∑ x i f (0) + ∑ x i x j f (0) + ⋯ ∂ xi 2 ij ∂ xi ∂ x j i =1 1 = f (0) + (x ⋅ ∇) f (0) + (x ⋅ ∇)2 f (0) +⋯ 2 1 (3) 将 在 x′ = 0 点展开 r
∂2 D : ∇∇ = ∑Dij ei e j : ∑ ek el x x ij kl ∂ k ∂ l ∂ ∂ =∑Dij ∑ δ jkδil = ∑Dij x x ∂xi ∂x j ij kl ∂ k ∂ l ij
2 2
等效为体系电四极矩张量产生的电势。 等效为体系电四极矩张量产生的电势 。 最简 单的体系为坐标原点附近（ 单的体系为坐标原点附近 （ + ， - ， + ， - ） 四个点 电荷产生的电势
f (x) = f (x1, x2 , x3 ) 1 ∂f (0,0,0) ∂f (0,0,0) ∂f (0,0,0) = f (0,0,0) + (x1 + x2 + x3 ) ∂x1 ∂x2 ∂x3 1!
1 2 ∂2 f (0,0,0) ∂2 f (0,0,0) ∂2 f (0,0,0) 2 2 + [x1 + x2 + x3 2! ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂2 f ∂2 f ∂2 f + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2 x3 ] +⋯ ∂x1∂x2 ∂x1∂x3 ∂x2∂x3
(1)
= p ⋅ ∇ϕe (0) = − p ⋅ Ee (0)
1 1 = D : ∇∇ϕe (0) = − D : ∇Ee (0) 6 6
W (2)
4. 带电体系在外场 Ee中受到的力和力矩 中受到的力和力矩 到的
为带电体系在外场中的静电势能， 设 W为带电体系在外场中的静电势能 ， 则带电体系在外场 为带电体系在外场中的静电势能 不变） 中受到的力 F = −∇W 假定 不变）以下仅讨论W (0) W (1) （假定Q不变 和
若已知 一般若体电荷分布不均匀或 区域不规则，积分十分困难 （用计算机可数值求解）。 用计算机可数值求解）
r
l
x′
O
ρ ( x′)
x
但是在许多实际情况中， 但是在许多实际情况中，电 荷分布区域的线度远小于该区 Q 域到场点的距离， 域到场点的距离，可以近似处 r ≈ R ⇒ ϕ(x) ≈ 4πε0 R 解析求解。 理，解析求解。条件 l << r 。
第二章第六节
电多极矩
§2.6
电多极矩
主要内容 一、电势的多极展开 二、电多极矩 三、电荷体系在外电场中 的能量(相互作用能)
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一、电势的多极展开
1. 小区域电荷分布 P
ρ(x′) ，原则上可通过 原 ρ(x′)dV′ ϕ(x) = ∫ 求电势。 求电势。 ∞ 4πε r 0
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ϕ
(2)
2. 电四极矩张量 有9个分量 个分量
D = ∫ 3x′x′ρ(x′)dV ′
V
Dij = ∫ 3xi′x′ ρ(x′)dV ′ j
Dij = Dji
(i ≠ j ) 电四极矩有 个不同分量 电四极矩有6个不同分量
重新定义： 重新定义： D = ∫ (3x′x′ − R′2l )ρ(x′)dV ′
=ϕ
(0)
+ϕ
(1)
+ϕ
(2)
+⋯
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二、电多极矩
1. 展开式的物理意义
ϕ
(0)
=
Q 4πε0R
等效于坐标原点点电 荷产生的电势。因此小 荷产生的电势。因此小 电荷体系在电荷分布区 电荷体系在电荷分布区 外产生的电势在零级近 似下可视为将电荷集中 于原点处产生的电势。 于原点处产生的电势。
3zzQ′δ (z − z′)dz
= 3z1z1Q − 3z2 z2Q − 3z3z3Q + 3z4 z4Q = 3(b2 − a2 − a2 + b2 )Q = 6Q(b2 − a2 ) = 6Q(b − a)(b + a) = 6 pl
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1 1 1 1 ∂2 1 ϕ= ⋅ 6 plezez : ∇∇ = pl 2 ( ) 4πε0 6 R 4πε0 ∂z R
ρ
∫
∫
∫
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2．带电体系为小区域时相互作用能的展开 ．带电体系为小区域时相互作用能的展开
所在小区域展开为麦克劳林级数 将 ϕe (x)对电荷 ρ 所在小区域展开为麦克劳林级数
∂ϕe (0) 1 3 ∂2ϕe (0) + ∑ xi xj +⋯ ϕe (x) = ϕe (0) + ∑xi ∂xi 2!i, j=1 ∂xi∂xj i=1
1
Q = ∫ ρ(x′)dV′
V
电偶极矩矢量 p = ∫ ρ ( x ′) x ′dV ′
V
D = ∫ 3x′x′ρ(x′)dV ′
V
电四极矩张量
Dij = ∫ 3xi′x′j ρ(x′)dr
Q 1
i = 1− 3, j = 1− 3
1 1 1 1 p ⋅∇ + D: ∇∇ +⋯ ϕ(x) = − 4πε0R 4πε0 R 4πε0 6 R
3
∂ϕe (0) W = ∫ ρ(x)ϕe (0)dV + ∑[∫ ρ(x)xi dV ] V V ∂xi i=1
3
∂2ϕe (0) 1 + ∑[∫ 3xi xj ρ(x)dV ] +⋯ V 6 ij ∂xi∂xj 1 = Q e (0) + ( p ⋅∇)ϕe (0) + (D: ∇∇)ϕe (0) +⋯ ϕ 6 =W(0) +W(1) +W(2) +⋯
它与直接计算结果完全一致（ 它与直接计算结果完全一致（
l << R ）：
1
1 1 ϕ= − =− p ⋅[∇ − ∇ ] 3 3 4πε0 r+ r− 4πε0r+ 4πε0r− 1 ∂ 1 1 =− p ( − ) ( p = pez ) 4πε0 ∂z r+ r− 1 1 r− − r+ l cosθ l l − = ≈ 2 r+ ≈ R − cosθ r− ≈ R + cosθ r+ r− r+ r− R 2 2 ∂ 1 1 ∂R 1 z cosθ =− 2 =− 2 =− 2 (z = Rcosθ ) ∂z R R ∂z R R R ∂R z 2 2 2 1 ∂2 1 = R= x + y +z ϕ= pl 2 ( ) ∂z R
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力： F = −∇W
(0)
−∇W +⋯
(1)
= −Q∇ϕe +∇( p ⋅ Ee ) +⋯ = QEe +∇( p ⋅ Ee ) +⋯
F
F
(0)
= QEe (x)
=∇( p ⋅ Ee )
相当于带电体系集中在一点上 点电荷在外场中受到的作用力 点电荷在外场中受到的作用力 电偶极子只在非均匀场中受力。 电偶极子只在非均匀场中受力。 若为均匀场 F (1) ≡ 0
) ϕ (2， D11 + D22 + D33 = 0 它不改变
*证明 ϕ(2) 证明： 证明
只有5个独立分量 只有 个独立分量 1 1 1 [∫ 3x′x′ρ(x′)dV ′] : ∇∇ = 4πε0 6 R
1 1 1 1 2 [ 3x′x′ρ(x′)dV ′ : ∇∇ − R′ l :∇∇ ρ(x′)dV ′] = 4πε0 6 R R
(1)
F(1) = p×(∇× Ee ) + ( p⋅∇)Ee + Ee ×(∇× p) + (Ee ⋅∇) p
= ( p ⋅∇ )Ee
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力矩： 力矩： 不变， 假定在外场作用下 p 不变，设 θ 为 p与 E 之 间的夹角， 间的夹角，则 (1)