正十二面体从制作到理解

正十二面体：从制作到理解

常文武

正十二面体是一种以正五边形为面的多面体。

这种不寻常的别致多面体数学内涵非常丰富。柏拉

图曾认为我们的宇宙就是正十二面体的。虽然这只

是一个美丽的错误，但是正十二面体对于普通大众

至今仍充满神秘色彩。

制作正十二面体

为了探究正十二面体，有必要亲手制作一个。

显然，纸模型是最方便的实现方式。 制作正十二面体纸模型的方法很多，这里用组合折纸的方式制作。通过组合拼接而成的结构便于在需要的时候重新调整各面相对位置。

材料：宽度4CM -5CM 的平行长纸带100CM

步骤1 制作一个正五边形的纸带结

用长约8倍宽度的纸带打个结，轻拉两端至最紧，压平（图2左）。数学上可以严格证明这个结是正五边形。

图 2 正五边形结及108°折叠

步骤2 制作插合正十二面体所需的零件

用长约3倍宽度的纸带折叠一道折痕，使其形成的内角

正好符合五边形纸带结的顶角（图2右）。

折叠后的纸带重叠区域有一个36°为底角的等腰三角

形。现在请将它的两腰以外的纸带贴着边折到背后，然后再

把底边以外的部分剪去（图3）。 打开重新将两侧翼藏在夹层内，并且让它们在内部彼此勾起来，压平。我们得到了一个有108°顶角的等腰三角形（图4左）。

图 1古罗马正十二面体青铜器

图 3 修剪多余的纸

图4三角形内部构造以及内嵌五边形的折痕

折叠找到每一腰所对角的角分线与该腰的交点，将相应锐角折到这个点。可以证明，这两道折痕与三角形三边围成一个正五边形（图4右）。

至此我们就完成了第一个插接件。

请再做11个这样的零件。

步骤3 插合正十二面体

眼：两锐角前端是榫头，两腰靠近顶点的缝隙

是卯眼。插合时有一定规则，为了保证这个规

则不被破坏，我们给每个插接件上标注一些记

号。

作标记的规律：在每片插接件的里侧左下

角标为红点榫头，左腰缝隙标为红点卯眼；相

应地，右下角为蓝点榫头，右腰缝隙为蓝点卯

眼（图5上左）。

插合时只要保证榫头插入同色的卯眼（图

5上右），就可以顺利完成一个完美的十二面体

（图5下）。

图 5 正十二面体的插合过程

探究十二面体的着色

关于地图的着色有一条著名的定理——四色定理。定理说，任何复杂的地图都可以用不超过四种的颜色给它涂色来区分相邻区域。这条定理至今仍然没有一个简洁的证法，人类对它的认识停留在计算机给出的大规模分类穷举证明。

如果将正十二面体的每个面当成地图上需要区分的一个个区域，则这个特殊的地图确乎需要四种颜色才可以完成以上的着色要求（为什么？）。

那么具体怎么着色呢？

下面给出一种着色方法，请读者举一反三。

步骤一、将制作好的正十二面体放置在桌

上，朝上的一面标记为○1，贴着桌子的一面标

记为○2。这里用不同的数代表不同的颜色。

步骤二、在○1面的周围5个区域中随便选一个标为○3，再在○2号面和○3号面之间选一个面标为○4（即○4与○2、○3都相邻）。 步骤三、至此已有一个面与○1、○3、○4都相邻，必须以2标记。还有一块与○3、○4、○

2都相邻的面只能标记为1。 步骤四、在与顶部的○1号相邻的五个面里已有○3、2两块着好色，还有3个位置空缺。给这三块着色4、2、4，使形成○3-2-4-2-4的闭环。

步骤五、在与底部○2号面相邻的圈子里已有○4、1两块着好色，还有3个位置空缺。给这三块着色3、1、3，使形成○4-1-3-1-3的闭环。

（注：圈起来的数字表示第一批着色产生的4面。）

至此已经完成十二个面的完美着色。但是显然以上着色方法并不是唯一的着色方法。 例如在步骤2中选择与○2、○3都邻接的○4时还有另一个位置可以选。读者可以尝试一下。得到的着色方法是与原方法镜像对称的。

以上得到的两种着色方案中，如果把3擦去写上4，而把原先的4都改为3，对调3与4又能得新的两种方案。

有趣的是，在数学上可以证明全部的着色方案也就只有4种。也就是说我们已经穷尽了全部的着色方法。限于篇幅，在此就不赘述了，留给好奇的读者去探索吧！ 图 6 正十二面体顶视图与底视图