第六节-定积分的应用PPT课件

的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 .
解:
2
Ad 0Aa(1co t)sa(1co t)dts
a2 2(1cot)s2dt 0
y
4a2 2si4ntdt
0
2
8a2 sin4udu 0
16a2 2sin4udu 0
o
(令u t ) 2
16a2 3 1 3 a2
42 2
2a x
2. 极坐标情形
r2()r2()d
因此所求弧长
s
r2()r2()d
例9. 两根电线杆之间的电线, 由于其本身的重量,下垂
成悬链线 . 悬链线方程为
ycch x (bxb) c
求这一段弧长 .
y c
b o b x
解: ds 1y2dx
1sh2 xdx ch x dx
c
c
s20bchcxdx
2csh
x c
b 0
答案:
A2
6
0
a2
sin2
d
6412a2co2sd
二、平面曲线的弧长
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 , 当折线段的最大
边长 →0 时, 折线的长度趋向于一个确定的极限 , 则称
此极限为曲线弧 AB 的弧长 , 即
n
s lim 0
Mi1Mi
i1
并称此曲线弧为可求长的.
y M i1
A M0 o
8a23 1 3 a 2
422 2
(利用对称性)
d
o
2a x
例7. 计算心形线 r a ( 1 c) o ( a s 0 )与圆 ra
所围图形的面积 .
12co s co 2s
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解: 利用对称性 , 所求面积
A
1
2
a2
2
2 1 2a2(1cos)2d
1 2(1co2s)
12a2a22 (2 32co s1 2co2ys)d
(c c2hc sxh)b c1sh x cc c c
chxex ex 2
shxex ex 2
(chx)shx
(shx)chx
例10. 求连续曲线段
x
y 2
costdt的弧长.
解: co x s0,2x2
s
2
2
1y2dx
2 2 0
1( cox)s2dx
2 2
2coxsdx
0
2
2
2
2sin2x
设 () C [,] ,() 0 ,求由曲线 r() 及
射线 ,围成的曲边扇形的面积 .
在区间[,]上任取小区间 [,d]
则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为
dA1()2d
2
所求曲边扇形的面积为
r()
d
A122()d
x
例5. 计算阿基米德螺线 ra (a0 )对应 从 0 变
到 2 所围图形面积 .
解: A 2 1(a )2 d 02
a2 2
1 3
3
2 0
2a
o
x
d
4 3 a2
3
例6. 计算心形线 r a ( 1 c) o ( a s 0 )所围图形的
面积 .
解: A 2 1a2(1cos)2d 02
a2 4cos4 d
0
2
令t 2
8a2 2cos4tdt 0
2
0
4
例11. 计算摆线 yxaa((1tcsiontst)) (a0)一拱 (0t2)
的弧长 .
y
解: ds (d dxt)2(d dyt)2dt
o
2a x
a2(1cot)2 sa2si2nt d t
a2(1co t)d st
o yx4 x
(2,2)
1 2
y2
4y
16
y3
4218
例3.
求椭圆
x2 a2
y2 b2
1
所围图形的面积
.
解: 利用对称性 , 有 dAydx
y b
a
A 40 ydx
利用椭圆的参数方程
oxxdxa x
xy a bc siottns(0t2)
应用定积分换元法得
A 4
0
bsint (asit)ndt4ab
dAf(x)dx
b
Aa f (x)dx
y yf1(x) yf2(x)
右下图所示图形面积为
b
Aaf1(x)f2(x)dx
o axxdx b x
例1. 计算两条抛物线 y2x,yx2在第一象限所围
所围图形的面积 .
解: 由
y2 x y x2
y
得交点 (0,0),(1,1)
y2 x (1,1)
Ad A 01x x 2d x
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
Mi
B Mn x
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
y f(x )( a x b )
弧长元素(弧微分) :
ds(d x)2(d y)2
1y2dx
因此所求弧长
s b 1y2 dx a
b
a
1f2(x)dx
y
yf(x)
ds
o a xxdxb x
(2) 曲线弧由参数方程给出:
2
3
x2
1 x3
1
3 30
1
3
y x2 ox 1 x
xdx
例2. 计算抛物线 y2 2x 与直线 yx4所围图形
的面积 .
解: 由 y2 2x 得交点 yx4
(2,2 ),(8,4 )
y ydy
y
y2 2x
(8, 4)
为简便计算, 选取 y 作积分变量, 则有
Ad A 4 2 (y41 2y2)dy
第二节
第六章
定积分在几何学上的应用
一、 平面图形的面积
二、 平面曲线的弧长 三、已知平行截面面积函数的
立体体积
四、 旋转体的侧面积 (补充)
一、平面图形的面积
1. 直角坐标情形
设曲线 yf(x)(0)与直线
y yf(x)
xa,xb(ab)及 x 轴所围曲
边梯形面积为 A , 则
oa x b x
xdx
2sin2tdt
0
2
4ab
1 2
2
ab
当 a = b 时得圆面积公式
一般地 , 当曲边梯形的曲边由参数方程
x y
(t) (t)
给出时, 按顺时针方向规定起点和终点的参数值 t1 , t2 y
oa
bx
(t1对x应 a)
则曲边梯形面积 A t2(t)(t)dt t1
例4. 求由摆线 x a ( t st) i,y n a ( 1 ct) o (as 0)
1a2a2(32)
2
4
5a2 2a2
4
o a 2a x
例8. 求双纽线 r2a2co2s所围图形面积 .
解: 利用对称性 , 则所求面积为
A 4
4
1a2
co2s
d
02
y
4
a2
4
co 2sd(2)
0
a2si2 n4 a2
0
o
ax
4
思考: 用定积分表示该双纽线与圆 ra2sin
所围公共部分的面积 .
yx ((tt)) (t)
弧长元素(弧微分) :
ds(d x)2(d y)2
2(t)2(t)dt
因此所求弧长
s
2(t)2(t)dt
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
r r ( )( )
令 x r () co ,y r s () si,则n 得
弧长元素(弧微分) :
ds [x()2 ][y()2 ]d