指数函数及其运算

… 0.06 0.1 0.3
y 1 x 3
…
15.6
9
3
-160.5 0 0.6 1
14
1.7 1
12
0.5 1 2 1.7 3 9
2.5 … 15.6 …
0.6 0.3 0.1 0.06 …
10
1x
( ) gx = 3 8 6
fx = 3x
4
2
-10
-5
5
10
观察右边图象，回答下列问题：y
指 数 函 . 数
引例1：某种细胞分裂时，由1 个细胞分裂成2 个，2个分裂成4个，......,一个这样的细胞分裂 x 次后，得到的细胞个数y与分裂次数x有怎样 的函数关系？
引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15% 设原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的 函数关系式？
引例1
细胞分裂过程
思考3: 下列哪些是指数函数？
(1) y=x2
F
(2) y=2x
T
(3) y=2-x
T
(4) y=2 ·3x F
(5) y=23x
T
(6) y=3x+1
F
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指数函数的解析式 y a x ，
a x 的系数是1 ;
指数必须是单个x ; 底数a0，且a1.
得到函数的图象一般用什么方法？
列表、描点、连线作图
由上面的对应关系可知，函数关系是：
y 0.85x
引入概念
我们从两列指数式和三个实例抽象得到两个函数:
y

2x
与y


1 2
x

1.指数函数的定义：
这两个函数有 何特点?
形如y = ax(a0，且a 1)的函数叫做指数函数，
其中x是自变量 .函数的定义域是R .
思考:为何规定a0，且a1?
答：四个图象都经过点＿( 0＿,＿1)＿．
问观题察四右：边图象，回答下列问题：y (12)x
指数函数
y (1)x 2
图像是否具有
y (1)x 3
Y
y=3X
y = 2x
对称性？
答： 不关于Y轴对称不关于
原点中心对称
问题五：
O
Y=1
X
函数 y 3x 与 y (1)x 图象有
什么关系 ？ 3
所以，f
(0)
0
1，f
(1)
1
3

3
，f
(3)
1

1
.

例3. 比较下列各题中两个值的大小：
（1）1.72.5 ，< 1.73 ； （2）0.8－0.1 ，< 0.8 －0.2
（3）1.70.3 ，> 0.93.1.
小结 比较指数幂大小的方法： ①、单调性法：利用函数的单调性，数的特征 是底同指不同（包括可以化为同底的）。 ②、中间值法：找一个 “中间值”如“1”来过渡, 数的特征是底不同指不同。
注意：底数为a，指 数为x，系数为1


0
1
a
思考1:为何规定a0，且a1 ?


0
1
a
1
当a<0时，a x有些会没有意义，如 (3)2 3
当a=0时，a 当a=1时，a
x有些会没有意义，如 02
x 恒等于1，没有研究的必要.
1 02
思考2:指数式a x中X∈R都有意义吗 ?
回顾上一节的内容，我们发现指数式 ab 中b可以是 有理数也可以是无理数,所以指数函数的定义域是R.
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像:
y 2x
列表如下：
y 1 x 2
x
… -3 -2 -1
y 2x … 0.13 0.25 0.5
y


1
x

…
8
4
2
2
-0.5 0 0.71 1
1.4 1
0.5 1 2 3 … 1.4 2 4 8 …
0.71 0.5 0.25 0.13 …
经过点（3，π），求 f(0)、f(1)、f(-3)的值.
分析：要求f (0), f (1), f (3)的值，需要我们先求
出指数函数的解析式。根据函数图像经过（3，）
这一条件，可以求得底数a的值。
解：因为指数函数y=ax的图像经过点（3，），所以 f (3) .
1
x
即a3 , 解得a 3 , 于是f (x) 3 .
(
1
)
x
y

(1 3
)
x
2
问题一：
图象分别在哪几个象限？
y=3X
Y y=2x
答四个图象都在第＿Ⅰ＿、＿Ⅱ＿象限。
问题二：
O
Y=1
X
图象的上升、下降与底数a有联系吗？
答：当底数＿a >＿1 时图象上升；当底数＿0 ＿< a＿< ＿1 时图象下降．
问题三： 图象中有哪些特殊的点？
y轴右侧逆时针旋转底 数由小到大
细胞个数
第一次 第二次 第三次
第x次
表达式
…y …=…2…x
……
2=21 4=22 8=23
2x
细胞个数y关于分裂次数x的表达式为
引例2：某种商品的价格从今年起每年降低15%，设 原来的价格为1，x年后的价格为y，则y与x的函数 关系式？
列表： x 1 234 5 6 y 0.85 0.852 0.853 0.854 0.855 0.856
质 x>0,y>1; x<0, 0<y<1 x<0,y>1; x>0,0<y<1
在 R 上是 增函数 在 R 上是 减函数
例1、求下列函数的定义域：
① y 2x2 1
② 解：
y


1 3

3 x
① xR
② 由 3 x 0，得 x 3
例2 已知指数函数 f(x) ax (a>0,且a≠1）的图象
x
… -3 -2 -1
y 2x … 0.13 0.25 0.5
y 1 x … 8
4
2
2
-0.5 0 0.71 1
8
1.4 1
7
6
5
4
gx = 0.5x 3
2
1
0.5 1 2
3
…
1.4 2 4
8
…
0.71 0.5 0.25 0.13 …
fx = 2x
-6
-4
-2
2
4
6
y x 3x … -2.5 -2 -1
答： 关于Y轴对称。
当底数a (a 0且a 1)
取任意值时，指数 函数图象是什么样？
观察图像, 得出性质
a>1
0<a<1
图
y
y=ax
(a>1)
y=1
(0,1)
y=ax
y
(0<a<1)
(0,1)
y=1
象
0
x
0
x
定义域: R
性
值 域: (0,+ ∞ )
必过 点：( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 .