偏导数与高阶偏导数详细解法

第二节 偏导数

教学目的：使学生了解偏导数的概念；熟练掌握一阶及二阶偏导数

的计算方法；了解偏导数存在与函数连续的关系。

教学重点：一阶及二阶偏导数的计算 教学过程：

一、偏导数的定义及其计算法

对于二元函数z =f (x , y ), 如果只有自变量x 变化, 而自变量y 固定, 这时它就是x 的一元函数, 这函数对x 的导数, 就称为二元函数z =f (x , y )对于x 的偏导数. 定义 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量∆x 时, 相应地函数有增量

f (x 0+∆x , y 0)-f (x 0, y 0).

如果极限

x

y x f y x x f x ∆-∆+→∆)

,(),(lim

00000

存在, 则称此极限为函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作

00y y x x x z

==∂∂, 0

0y y x x x f ==∂∂, 0

0y y x x x z ==, 或),(00y x f x .

例如

x

y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆)

,(),(lim

),(00000

00.

类似地, 函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数定义为

y y x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim 00000,

记作

00y y x x y z

==∂∂, 0

0y y x x y f ==∂∂, 0

0y y x x y

z ==,

或f y (x 0, y 0).

偏导函数: 如果函数z =f (x , y )在区域D 内每一点(x , y )处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数, 记作

x z ∂∂, x

f ∂∂, x z , 或),(y x f x

.

偏导函数的定义式: x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆)

,(),(lim ),(0

.

类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为

y z ∂∂, y

f

∂∂, z y , 或),(y x f y .

偏导函数的定义式: y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆)

,(),(lim ),(0.

求

x

f

∂∂时, 只要把y 暂时看作常量而对x 求导数; 求y f ∂∂时, 只要把x 暂时看作常

量而对y 求导数.

讨论: 下列求偏导数的方法是否正确？

0),(),(00y y x x x x y x f y x f ===, 0

0),(),(00y y x x y y y x f y x f ===.

0]),([),(000x x x y x f dx

d y x f ==, 0]),([),(000y y y y x f dy d y x f ==.

偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如三元函数u =f (x , y , z )在点(x , y , z )处对x 的偏导数定义为 x

z y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆)

,,(),,(lim

),,(0

,

其中(x , y , z )是函数u =f (x , y , z )的定义域的内点. 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题.

例1 求z =x 2+3xy +y 2在点(1, 2)处的偏导数. 解 y x x

z 32+=∂∂, y x y z 23+=∂∂. 823122

1=⋅+⋅=∂∂==y x x z

, 722132

1=⋅+⋅=∂∂==y x y

z .

例2 求z =x 2sin 2y 的偏导数. 解 y x x

z 2sin 2=∂∂, y x y z 2cos 22=∂∂.

例3 设)1,0(≠>=x x x z y , 求证: z y z x x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂.

证 1-=∂∂y yx x

z , x x y z y ln =∂∂.

z x x x x x yx y x y z x x z y x y y y y 2ln ln 1ln 11=+=+=∂∂+∂∂-.

例4 求222z y x r ++=的偏导数.

解 r x z y x x x r =++=∂∂222; r y z y x y y r =++=∂∂222. 例5 已知理想气体的状态方程为pV =RT (R 为常数),

求证:

1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂p

T

T V V p . 证 因为V RT p =, 2V RT V p

-=∂∂; p RT V =, p R T V =∂∂;

R

pV T =, R V p T =∂∂; 所以

12-=-=⋅⋅

-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pV RT R

V p R V RT p T T V V p . 例5 说明的问题: 偏导数的记号是一个整体记号, 不能看作分子分母之商. 二元函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的偏导数的几何意义:

f x (x 0, y 0)=[f (x , y 0)]x '是截线z =f (x , y 0)在点M 0处切线T x 对x 轴的斜率. f y (x 0, y 0) =[f (x 0, y )]y '是截线z =f (x 0, y )在点M 0处切线T y 对y 轴的斜率.

偏导数与连续性: 对于多元函数来说, 即使各偏导数在某点都存在, 也不能保证函数在该点连续. 例如

⎪⎩⎪

⎨⎧=+≠++=0

00

),(222222y x y x y x xy y x f

在点(0, 0)有, f x (0, 0)=0, f y (0, 0)=0, 但函数在点(0, 0)并不连续. 提示:

0)0 ,(=x f , 0) ,0(=y f ;

0)]0 ,([)0 ,0(==x f dx d f x , 0)] ,0([)0 ,0(==y f dy d f y . 当点P (x , y )沿x 轴趋于点(0, 0)时, 有

00lim )0 ,(lim ),(lim 0

)

0,0(),(===→→→x x y x x f y x f ;

当点P (x , y )沿直线y =kx 趋于点(0, 0)时, 有

22222022 )0,0(),(1lim lim k

k x k x kx y x xy x kx

y y x +=+=+→=→. 因此, ),(lim )

0,0(),(y x f y x →不存在, 故函数f (x , y )在(0, 0)处不连续.

类似地, 可定义函数z =f (x , y )对y 的偏导函数, 记为

y z ∂∂, y

f

∂∂, z y , 或),(y x f y .