中南大学研究生应用统计试卷2011

中南大学考试试卷

2011 -- 2012 学年 1 学期 时间100分钟 2011年11 月9 日

应用统计 课程 32 学时 2 学分 考试形式： 闭 卷

专业年级： 2011级各专业硕士 总分100分，占总评成绩 100 %

注意：此页不作答题纸，请将答案写在答题纸上。全部计算结果保留小数点后两位。临界值查表在试题最后面。

定义：样本均值为X =∑=n i i X n 11,样本方差为2

S =21

11)(∑=--n i i X X n 一．填空:(每小空3分,共计24分)

1. 样本n X X X ,,,21 取自总体X ~N (2,σμ)则

① 2

1n

i i X X σ=⎛⎫

- ⎪

⎝⎭∑～( )

②2

⎛⎫～( ) ③()2

E X

=( ) ④()2

S D =( )

2. 12,,,n X X X 为取自连续总体X 的样本，对连续总体分布的柯尔哥莫洛夫检验

00:()()H F x F x =，其检验统计量为（ ）

3. 对某个参数的1α-的置信区间W ，则置信区间W 有可能包含此参数，也有可能不包含此参数，但不包含此参数的概率为( )

4．设总体X 的分布律为22)1(}3{),1(2}2{,}1{θθθθ-==-====X P X P X P ，其中θ未知，现有一样本值：512

3461,2,3x x x x x x ======。求实际中能观察到该样本

值的概率=)(θL （ ） 5．设1216,,

X X X 为X 的样本，~(,1)X N μ。已知假设0:0H μ=，1:0μ≠H

0H 的检验拒绝域为{0.49}W X =>,则检验犯第一类错误的概率为（ ）

二、(12分)总体X ~N (2

,σμ)，n X X X ,,, 21为取自总体X 的样本，

问1

ˆσμ==-n i X 是否为σ的无偏估计？有效估计？要求写出求解过程。(

提示：E X μ-=

，

2

2D X πμσπ

--=

) 三、(12分) 设n X X X ,,,21 是取自密度函数

()

(,)0

x e x f x x θθθθ

--⎧>=⎨

≤⎩

的样本， 考虑θ的形如(1)

ˆc X c θ=-的估计，其中{}(1)12min ,,,n X X X X =，已知：

()(1)2

1D X n

=

，求使得ˆc θ的均方误差2ˆ[]c E θθ-达到最小的c ，求此时的均方误差值。 四、(12分)有一种新安眠药，据说在一定剂量下，能比某种旧安眠药平均增加睡眠时间3小时，根据资料，用某种旧安眠药时，平均睡眠时间为20.8小时，为了检验这个说法是否正确，收集到一组使用新安眠药的睡眠时间为

26.7 22.0 24.1 21.0 27.2 25.0 23.4

经计算：24.2x =，2

5.27s = .试问新安眠药是否已达到新的疗效？05.0=α（假定睡眠

时间服从正态分布）

五、(12分)设有线性模型为1122

3344

Y a Y b Y a b Y a b εεεε=+⎧⎪=-+⎪⎨=-+⎪⎪=++⎩ ，其中1ε，2ε，3ε，4ε相互独立且都有服

从),0(2σN ，

求b a ,的极大似然估计ˆˆa

b 、，并求ˆˆa b 、的概率分布。 六、（12分）因为动物的重量相对而言容易测量，而测量体积比较困难，因此，人们希望用

动物的重量预测其体积。已建立回归直线方程ˆ0.10480.9881y

x =-+，并通过了回归方程的显著性检验，在这里，x 表示动物重量被看作自变量，单位为kg ，y 表示动物体积作为因变量，用，单位为3

dm ，18组数据已处理好如下：

18

1

270.1i

i x

==∑，18

1

265i i y ==∑，

18

2

1

4149.39i

i x

==∑，18

2

1

3996.14i i y ==∑，18

1

4071.71i i i x y ==∑，96.3894xx l =，95.2378xy l =，

94.7511yy l =,如果测得某动物的重量为17.6kg ，求该动物体积的估计值和该动物体积的概

率为0.95的预测区间。

七、(16分) 苯酚合成工艺条件试验。某化工厂为提高苯酚的产率选了工艺条件中的3个因素各两个水平，希望通过正交试验来确定生产过程中合适的反应条件以提高它的收率，拟定因素、水平见下表一。

安排在下列正交表上做试验，结果见表二。只需考察因素A 、B 、C 及交互作用A ×C ，试用直观分析和方差分析来确定各因素的最好位级。

表三 L 8（27

）两列间交互作用表

附：

（1）{}~(0,1),()X N x P X x Φ=≤，(1.96)0.975Φ=，(1.645)0.95Φ=

（2）{}~(,),(,)X F m n P X F m n αα>=，0.05(1,3)10.13F =，0.01(1,3)34.12F = （3）t 分布表 t ~ t ( n ) P{ t >t α ( n ) }=α