关于角平分线的辅助线做法

角平分线专题

一、有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形，如：

例如：如图3-1：已知AD 为△ABC 的中线，且∠1＝∠2,∠3＝∠4,求证：BE ＋CF ＞EF 。

例题2：已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠CAD ，DA=DB ，求证DC ⊥AC

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1、已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD

2、已知在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B=2∠C ，求证：AB+BD=AC

3、已知：在△ABC 中，∠CAB=2∠B ，AE 平分∠CAB 交BC 于E ，AB=2AC ，求证：A

E=2CE

4、已知：在△ABC 中，AB>AC,AD 为∠BAC 的平分线，M 为AD 上任一点。求证：B

M-CM>AB-AC

A B

C

D E

F N

1

3 图1234

图1-3

A

B

C

D

E

5、已知：D 是△ABC 的∠BAC 的外角的平分线AD 上的任一点，连接DB 、DC 。求证：BD+CD>AB+AC 。

二、角平分线上点向角两边作垂线构全等

过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。

例1． 如图2-1，已知AB>AD, ∠BAC=∠FAC,CD=BC 。 求证：∠ADC+∠B=180

例2． 如图2-2，在△ABC 中，∠A=90 ，AB=AC ，∠ABD=∠CBD 。

求证：BC=AB+AD

例3． 已知如图2-3，△ABC 的角平分线BM 、CN 相交于点P 。求证：∠BAC 的平分线也经过点P 。

分析：连接AP ，证AP 平分∠BAC 即可，也就是证P 到AB 、AC 的距离相等。

小试牛刀：

1．如图2-4∠AOP=∠BOP=15 ，PC//OA ，PD ⊥O A ， 如果PC=4，则PD=（ ）

A 4

B 3

C 2

D 1

2．已知在△ABC 中，∠C=90 ，AD 平分∠CAB ，CD=1.5,DB=2.5.求AC 。

图2-1

A

B

C

D E

F

图2-3

P

A

B

C M N

D

F 图2-4

B

O A

P D

C

图2-2

A

B

C

D

E

3．已知：如图2-5, ∠BAC=∠CAD,AB>AD ，CE ⊥AB ，

AE=21

（AB+AD ）.求证：∠D+∠B=180 。

4.已知：如图2-6,在正方形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BC 上的点，∠FAE=∠DAE 。求证：AF=AD+CF 。

5、已知：如图2-7，在Rt △ABC 中，∠ACB=90 ,CD ⊥AB ，垂足为D ，AE 平分∠CAB 交CD 于F ，过F 作FH//AB 交BC 于H 。求证CF=BH 。

（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形

从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。

例1． 已知：如图3-1，∠BAD=∠DAC ，AB>AC,CD ⊥AD 于D ，H 是BC 中点。求证：DH=

2

1

（AB-AC ） 图2-5

A

B

D

C

E

图2-6

E

A

B C

D

F 图2-7

F

D

C

B

A

E

H

图示3-1

A

B

C

D

H E

分析：延长CD 交AB 于点E ，则可得全等三角形。问题可证。

例2． 已知：如图3-2，AB=AC ，∠BAC=90 ，AD 为∠A BC 的平分线，CE ⊥BE.求证：BD=2CE 。

分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角形。

例3．已知：如图3-3在△ABC 中，AD 、AE 分别∠BAC 的内、外角平分线，过顶点B 作BFAD ，交AD 的延长线于F ，连结FC 并延长

交AE 于M 。

求证：AM=ME 。

分析：由AD 、AE 是∠BAC 内外角平分线，可得EA ⊥AF ，从而有BF//AE ，所以想到利用比例线段证相等。

例4． 已知：如图3-4，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，AD=AB ，CM ⊥AD 交AD 延长线于M 。求证：AM=

2

1

（AB+AC ） 分析：题设中给出了角平分线AD ，自然想到以AD 为轴作对称变换，作△AB D 关于AD 的对称△AED ，然后只需证DM=

2

1

EC ，另外由求证的结果AM=2

1

（AB+AC ），即2AM=AB+AC ，也可

尝试作△ACM 关于CM 的对称△FCM ，然后只需证DF=C F 即可。

小试牛刀：

图3-2

D

A

B

E

F

C

图3-3

D

B

E

F

N A

C

M

图3-4

n

E

B

A

D C

M

F