第六章 控制系统的分析方法
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频率范围由函数自动选取，而且在响应快速变 化的位置会自动采用更多取样点。
bode(a,b,c,d,iu) 从第iu个输入到所有输出 bode(num,den) 传递函数系统
bode(a,b,c,d,iu,w)或bode(num,den,w)
利用指定的角频率矢量绘制出系统的波特图。
[mag,phase,w]=bode(sys) [mag,phase]=bode(num,den,w)
nyquist( ) 幅相曲线图或极坐标图（系统奈奎斯特图）
对数幅频特性图
1、对数频率特性图（波特图）
对数相频特性图
横坐标----频率w，对数分度，弧度/秒
纵坐标----均匀分度
幅值函数20lgA(w)，dB 相角，度
bode(a,b,c,d)
[a,b,c,d]的每个输入自动绘制出一组Bode图。
2、幅相频率特性图（奈奎斯特图）
nyquist(a,b,c,d)： 系统[a,b,c,d]的输入/输出组合对。 频率范围由函数自动选取
响应快速变化的位置会自动采多点。 nyquist(a,b,c,d,iu)：第iu个输入到所有输出
nyquist(num,den) nyquist(a,b,c,d,iu,w) nyquist(num,den,w)
原开环系统中无不稳定极点， 结论:闭环系统有2个不稳定极点。
二、频域分析应用实例3
例3：已知系统的开环传递函数为：
G(s) 3.5 s 3 2s 2 3s 2
求系统的幅值裕度和相角裕度，并求其闭 环阶跃响应。
G=tf(3.5,[1,2,3,2]); G_close=feedback(G,1);
例.exp6_1.m
已知某系统的模型：
1 2 x 4 7 2 1 0 0 x u 7 8 5 0 2 1 6 1 2 6 1 3
y 2 5 6 1x 7u
要求判断系统的稳定性及系统是否为最 小相位系统。
二、系统稳定及最小相位系统的判别方法
1、间接判别（工程方法）
劳斯判据：劳斯表中第一列各值严格为正，则 系统稳定，如果劳斯表第一列中出现小于零的 数值，系统不稳定。 胡尔维茨判据：当且仅当由系统分母多项式构 成的胡尔维茨矩阵为正定矩阵时，系统稳定。 2、直接判别 直接根据零极点的分布情况对系统的稳定 性及是否为最小相位系统进行判断。
1、step( )函数
y=step(num,den,t)：
系统在仿真时刻各个 输出所组成的矩阵 仿真时间向量， t=0:step:end等步长产生
[y,x,t]=step(num,den) 状态变量 时间向量, 由系统模型的特性自动生成
[y,x,t]=step(A,B,C,D,iu)： 系统返回的状态轨迹
二、频域分析应用实例
Nyquist曲线是根据开环频率特性在复平面上绘出的幅 相轨迹，根据开环的Nyquist曲线，可以判断闭环系统 的稳定性。 系统稳定的充要条件为：Nyquist曲线按逆时针包围临 界点(-1,j0)的圈数R ，等于开环传递函数位于s右半平面 的极点数P，否则闭环系统不稳定，闭环正实部特征根 个数Z=P-R。若刚好过临界点，则系统临界稳定。
step( )和impulse( )可处理多输入多输出情况
编写MATLAB程序并不因输入输出增加而复杂。
第三节 控制系统的频域分析
一、频域分析的一般方法
频率响应----系统对正弦输入信号的稳态响应 带宽、增益、转折频率、闭环稳定性。 频率特性----系统在正弦信号作用下，稳态输出 与输入之比对频率的关系特性。
第六章 控制系统 的分析方法
早期的控制系统分析过程----系统冲激响应曲线 编写求解微分方程的子程序 将系统模型输入计算机 通过计算机的运算获得冲激响应的响应数据 编写绘图程序，绘制成可供工程分析的响应曲线 MATLAB控制系统工具箱和SIMULINK辅助环境 的出现，给控制系统分析带来了福音。 稳定性分析、时域分析、频域分析、根轨迹分析
第二节 控制系统的时域分析
一、时域分析的一般方法
动态系统的性能---典型输入作用下的响应
响应----零初始值条件下,某种典型的输入函 数作用下对象的响应。 常用的输入函数----单位阶跃函数和脉冲激励 函数（即冲激函数）。 求取系统单位阶跃响应：step() 求取系统的冲激响应：impulse()
二、频域分析应用实例2
例2：已知系统的开环传递函数为：
G( s) 1000 ( s 2 3s 2)( s 5)
绘制系统的Nyquist图，并讨论其稳定性。 G=tf(1000,conv([1,3,2],[1,5])); nyquist(G); axis('square')
二、频域分析应用实例2
[mag,phase]=bode(a,b,c,d,iBaidu Nhomakorabea,w)
mag，phase分别为系统Bode图数据阵列的 幅值（dB）和相角（degrees）。
2、幅相频率特性图（奈奎斯特图）
频率特性函数G(jw)，w从负无穷到正无穷 分别求出Im(G(jw))和Re(G(jw))。 Re(G(jw)) 横坐标，Im(G(jw)) 纵坐标 极坐标频率特性图。
Go (s)
20 s4 8s3 36s2 40s
求系统在单位负反馈下的阶跃响应曲线。
2、impulse( )函数
与step()函数基本一致。 y=impulse(num,den,t)；
[y,x,t]=impulse(num,den)；
[y,x,t]=impulse(A,B,C,D,iu,t) impulse(num,den)；impulse(num,den,t) impulse(A,B,C,D,iu)；impulse(A,B,C,D,iu,t)
例exp6_4.m已知系统的开环传递函数为：
20 s4 8s3 36s2 40s
Go (s)
求系统在单位负反馈下的脉冲激励响应曲线。
Exp6-5 已知某典型二阶系统的传递函数为：
wn x 0.6, wn 5 G(s) 2 2 ， s 2xwns wn
2
求系统的阶跃响应曲线。 例6-6 已知某闭环系统的传递函数为：
wn G(s) 2 2 s 2xwns wn
2
ωn变化时的bode图
当自然频率ωn 值增加时， bode的带宽将增加，
使系统的时域响应速度 变快
二、频域分析应用实例1
例1：二阶系统的传递函数为： 绘制不同x、wn的bode图。
wn G(s) 2 2 s 2xwns wn
2
（2）ζ为固定值，ωn变化时: wn=[0.1:0.1:1];zet=0.707; hold on for i=1:length(wn) num=wn(i)^2;den=[1,2*zet*wn(i),wn(i)^2]; bode(num,den); End grid on, hold off
X o ( jw) G ( jw) A( w)e j ( w) X i ( jw)
X o ( w) 其中 A( w) 为幅频特性 ( w) o ( w) i ( w)为相频特性 X i ( w)
频率特性
对数频率特性曲线 幅相频率特性曲线
bode( )
系统对数频率特性图（波特图）
利用指定的角频率矢量
极坐标图 箭头----w的变化方向，负无穷到正无穷
[re,im,w]= nyquist(a,b,c,d) 实部re
虚部im
角频率点w矢量（为正的部分）。
plot(re,im)--绘制w从负无穷到零变化的部分。
3.幅值和相角裕量
margin----从频率响应数据中计算出幅值裕度、相角裕 度以及对应的频率。 [Gm,Pm, Wcg , Wcp]=margin（mag,phase,w） [Gm,Pm, Wcg, Wcp]=margin（sys） Gm----幅值裕度，Wcg----幅值裕度处的频率值， Pm----相角裕度，Wcp----剪切频率。 不带输出参数，绘制Bode图，标出幅值裕度和相角 裕度值。 mag，phase和w----由bode函数得到的频率响应的幅 值、相角及频率采样值。
二、频域分析应用实例1
例1：二阶系统的传递函数为： 绘制不同x、wn的bode图。
wn G(s) 2 2 s 2xwns wn
2
ζ变化时的伯德图 当阻尼比ζ比较小时， 系统的频域响应在自然 频率ωn附近将表现出 较强的振荡
该现象称为谐振。
二、频域分析应用实例1
例1：二阶系统的传递函数为： 绘制不同x、wn的bode图。
二、频域分析应用实例1
例1：二阶系统的传递函数为： 绘制不同x、wn的bode图。
wn G(s) 2 2 s 2xwns wn
2
（1）ωn为固定值，ζ变化时: wn=1;zet=[0:0.1:1,2,3,5]; hold on for i=1:length(zet) num=wn^2;den=[1,2*zet(i)*wn,wn^2]; bode(num,den); End grid on, hold off
1 0 u1 0 u2 0
x1 y1 0 1 0 3 x2 0 2 u1 y 0 0 0 1 x 2 0 u ，求系统的单位阶跃响应和冲激响应。 3 2 2 x4
稳定性验证 G_close=feedback(G,1); roots(G_close.den{1}) ans = -12.8196 2.4098 + 8.5427i 2.4098 - 8.5427i 系统有三个根，两个根位于右半s平面， 系统不稳定。
二、频域分析应用实例2
Nyquist图逆时针包围（－1，j0）点2次
G(s) 10s 25 0.16s3 1.96s2 10s 25
求其阶跃响应曲线。
二、时域分析应用实例
例 exp6_7.m 某 2 输入 2 输出系统如下所示：
1 2.5 1.22 0 0 x1 4 x x 2 1.22 0 0 0 x2 2 3 1 x 1.14 3.2 2.56 x3 2 0 2.56 0 x4 0 x4 0
输入变量的序号
step(num,den)；step(num,den,t)；
step(A,B,C,D,iu,t)；step(A,B,C,D,iu)；
仅绘制系统的阶跃响应曲线 dc=dcgain(num,den),dc=dcgain(a,b,c,d) 求线性系统的稳态值
例exp6_3.m
已知系统的开环传递函数为：
例exp6_2.m
系统模型如下所示，判断系统的稳定 性，以及系统是否为最小相位系统。
3s 16s 41s 28 G( s) 6 s 14s5 110s 4 528s 3 1494s 2 2117s 112
3 2
ii=find(条件式)
求满足条件的向量的下标向量，列向量。 real(p>0)---找出p中实部大于0的元素下标，将结果返回ii向量; 若找到实部大于0的极点，则将该点的序号返回ii; 若最终结果ii元素个数大于0，则找到不稳定极点; 若ii元素个数为0，未找到不稳定极点，系统稳定. pzmap(p,z) 根据系统已知的零极点p和z绘制出系统的零极点图
第一节 控制系统的稳定性分析
一、系统稳定及最小相位系统判据
连续时间系统----如果闭环极点全部在S平面左 半平面，则系统是稳定的。
离散时间系统----如果系统全部极点都位于Z平 面的单位圆内，则系统是稳定的。
最小相位系统----连续时间系统的全部零极点都 位于S左半平面；或若离散时间系统的全部零极 点都位于Z平面单位圆内，则系统是最小相位 系统。
bode(a,b,c,d,iu) 从第iu个输入到所有输出 bode(num,den) 传递函数系统
bode(a,b,c,d,iu,w)或bode(num,den,w)
利用指定的角频率矢量绘制出系统的波特图。
[mag,phase,w]=bode(sys) [mag,phase]=bode(num,den,w)
nyquist( ) 幅相曲线图或极坐标图（系统奈奎斯特图）
对数幅频特性图
1、对数频率特性图（波特图）
对数相频特性图
横坐标----频率w，对数分度，弧度/秒
纵坐标----均匀分度
幅值函数20lgA(w)，dB 相角，度
bode(a,b,c,d)
[a,b,c,d]的每个输入自动绘制出一组Bode图。
2、幅相频率特性图（奈奎斯特图）
nyquist(a,b,c,d)： 系统[a,b,c,d]的输入/输出组合对。 频率范围由函数自动选取
响应快速变化的位置会自动采多点。 nyquist(a,b,c,d,iu)：第iu个输入到所有输出
nyquist(num,den) nyquist(a,b,c,d,iu,w) nyquist(num,den,w)
原开环系统中无不稳定极点， 结论:闭环系统有2个不稳定极点。
二、频域分析应用实例3
例3：已知系统的开环传递函数为：
G(s) 3.5 s 3 2s 2 3s 2
求系统的幅值裕度和相角裕度，并求其闭 环阶跃响应。
G=tf(3.5,[1,2,3,2]); G_close=feedback(G,1);
例.exp6_1.m
已知某系统的模型：
1 2 x 4 7 2 1 0 0 x u 7 8 5 0 2 1 6 1 2 6 1 3
y 2 5 6 1x 7u
要求判断系统的稳定性及系统是否为最 小相位系统。
二、系统稳定及最小相位系统的判别方法
1、间接判别（工程方法）
劳斯判据：劳斯表中第一列各值严格为正，则 系统稳定，如果劳斯表第一列中出现小于零的 数值，系统不稳定。 胡尔维茨判据：当且仅当由系统分母多项式构 成的胡尔维茨矩阵为正定矩阵时，系统稳定。 2、直接判别 直接根据零极点的分布情况对系统的稳定 性及是否为最小相位系统进行判断。
1、step( )函数
y=step(num,den,t)：
系统在仿真时刻各个 输出所组成的矩阵 仿真时间向量， t=0:step:end等步长产生
[y,x,t]=step(num,den) 状态变量 时间向量, 由系统模型的特性自动生成
[y,x,t]=step(A,B,C,D,iu)： 系统返回的状态轨迹
二、频域分析应用实例
Nyquist曲线是根据开环频率特性在复平面上绘出的幅 相轨迹，根据开环的Nyquist曲线，可以判断闭环系统 的稳定性。 系统稳定的充要条件为：Nyquist曲线按逆时针包围临 界点(-1,j0)的圈数R ，等于开环传递函数位于s右半平面 的极点数P，否则闭环系统不稳定，闭环正实部特征根 个数Z=P-R。若刚好过临界点，则系统临界稳定。
step( )和impulse( )可处理多输入多输出情况
编写MATLAB程序并不因输入输出增加而复杂。
第三节 控制系统的频域分析
一、频域分析的一般方法
频率响应----系统对正弦输入信号的稳态响应 带宽、增益、转折频率、闭环稳定性。 频率特性----系统在正弦信号作用下，稳态输出 与输入之比对频率的关系特性。
第六章 控制系统 的分析方法
早期的控制系统分析过程----系统冲激响应曲线 编写求解微分方程的子程序 将系统模型输入计算机 通过计算机的运算获得冲激响应的响应数据 编写绘图程序，绘制成可供工程分析的响应曲线 MATLAB控制系统工具箱和SIMULINK辅助环境 的出现，给控制系统分析带来了福音。 稳定性分析、时域分析、频域分析、根轨迹分析
第二节 控制系统的时域分析
一、时域分析的一般方法
动态系统的性能---典型输入作用下的响应
响应----零初始值条件下,某种典型的输入函 数作用下对象的响应。 常用的输入函数----单位阶跃函数和脉冲激励 函数（即冲激函数）。 求取系统单位阶跃响应：step() 求取系统的冲激响应：impulse()
二、频域分析应用实例2
例2：已知系统的开环传递函数为：
G( s) 1000 ( s 2 3s 2)( s 5)
绘制系统的Nyquist图，并讨论其稳定性。 G=tf(1000,conv([1,3,2],[1,5])); nyquist(G); axis('square')
二、频域分析应用实例2
[mag,phase]=bode(a,b,c,d,iBaidu Nhomakorabea,w)
mag，phase分别为系统Bode图数据阵列的 幅值（dB）和相角（degrees）。
2、幅相频率特性图（奈奎斯特图）
频率特性函数G(jw)，w从负无穷到正无穷 分别求出Im(G(jw))和Re(G(jw))。 Re(G(jw)) 横坐标，Im(G(jw)) 纵坐标 极坐标频率特性图。
Go (s)
20 s4 8s3 36s2 40s
求系统在单位负反馈下的阶跃响应曲线。
2、impulse( )函数
与step()函数基本一致。 y=impulse(num,den,t)；
[y,x,t]=impulse(num,den)；
[y,x,t]=impulse(A,B,C,D,iu,t) impulse(num,den)；impulse(num,den,t) impulse(A,B,C,D,iu)；impulse(A,B,C,D,iu,t)
例exp6_4.m已知系统的开环传递函数为：
20 s4 8s3 36s2 40s
Go (s)
求系统在单位负反馈下的脉冲激励响应曲线。
Exp6-5 已知某典型二阶系统的传递函数为：
wn x 0.6, wn 5 G(s) 2 2 ， s 2xwns wn
2
求系统的阶跃响应曲线。 例6-6 已知某闭环系统的传递函数为：
wn G(s) 2 2 s 2xwns wn
2
ωn变化时的bode图
当自然频率ωn 值增加时， bode的带宽将增加，
使系统的时域响应速度 变快
二、频域分析应用实例1
例1：二阶系统的传递函数为： 绘制不同x、wn的bode图。
wn G(s) 2 2 s 2xwns wn
2
（2）ζ为固定值，ωn变化时: wn=[0.1:0.1:1];zet=0.707; hold on for i=1:length(wn) num=wn(i)^2;den=[1,2*zet*wn(i),wn(i)^2]; bode(num,den); End grid on, hold off
X o ( jw) G ( jw) A( w)e j ( w) X i ( jw)
X o ( w) 其中 A( w) 为幅频特性 ( w) o ( w) i ( w)为相频特性 X i ( w)
频率特性
对数频率特性曲线 幅相频率特性曲线
bode( )
系统对数频率特性图（波特图）
利用指定的角频率矢量
极坐标图 箭头----w的变化方向，负无穷到正无穷
[re,im,w]= nyquist(a,b,c,d) 实部re
虚部im
角频率点w矢量（为正的部分）。
plot(re,im)--绘制w从负无穷到零变化的部分。
3.幅值和相角裕量
margin----从频率响应数据中计算出幅值裕度、相角裕 度以及对应的频率。 [Gm,Pm, Wcg , Wcp]=margin（mag,phase,w） [Gm,Pm, Wcg, Wcp]=margin（sys） Gm----幅值裕度，Wcg----幅值裕度处的频率值， Pm----相角裕度，Wcp----剪切频率。 不带输出参数，绘制Bode图，标出幅值裕度和相角 裕度值。 mag，phase和w----由bode函数得到的频率响应的幅 值、相角及频率采样值。
二、频域分析应用实例1
例1：二阶系统的传递函数为： 绘制不同x、wn的bode图。
wn G(s) 2 2 s 2xwns wn
2
ζ变化时的伯德图 当阻尼比ζ比较小时， 系统的频域响应在自然 频率ωn附近将表现出 较强的振荡
该现象称为谐振。
二、频域分析应用实例1
例1：二阶系统的传递函数为： 绘制不同x、wn的bode图。
二、频域分析应用实例1
例1：二阶系统的传递函数为： 绘制不同x、wn的bode图。
wn G(s) 2 2 s 2xwns wn
2
（1）ωn为固定值，ζ变化时: wn=1;zet=[0:0.1:1,2,3,5]; hold on for i=1:length(zet) num=wn^2;den=[1,2*zet(i)*wn,wn^2]; bode(num,den); End grid on, hold off
1 0 u1 0 u2 0
x1 y1 0 1 0 3 x2 0 2 u1 y 0 0 0 1 x 2 0 u ，求系统的单位阶跃响应和冲激响应。 3 2 2 x4
稳定性验证 G_close=feedback(G,1); roots(G_close.den{1}) ans = -12.8196 2.4098 + 8.5427i 2.4098 - 8.5427i 系统有三个根，两个根位于右半s平面， 系统不稳定。
二、频域分析应用实例2
Nyquist图逆时针包围（－1，j0）点2次
G(s) 10s 25 0.16s3 1.96s2 10s 25
求其阶跃响应曲线。
二、时域分析应用实例
例 exp6_7.m 某 2 输入 2 输出系统如下所示：
1 2.5 1.22 0 0 x1 4 x x 2 1.22 0 0 0 x2 2 3 1 x 1.14 3.2 2.56 x3 2 0 2.56 0 x4 0 x4 0
输入变量的序号
step(num,den)；step(num,den,t)；
step(A,B,C,D,iu,t)；step(A,B,C,D,iu)；
仅绘制系统的阶跃响应曲线 dc=dcgain(num,den),dc=dcgain(a,b,c,d) 求线性系统的稳态值
例exp6_3.m
已知系统的开环传递函数为：
例exp6_2.m
系统模型如下所示，判断系统的稳定 性，以及系统是否为最小相位系统。
3s 16s 41s 28 G( s) 6 s 14s5 110s 4 528s 3 1494s 2 2117s 112
3 2
ii=find(条件式)
求满足条件的向量的下标向量，列向量。 real(p>0)---找出p中实部大于0的元素下标，将结果返回ii向量; 若找到实部大于0的极点，则将该点的序号返回ii; 若最终结果ii元素个数大于0，则找到不稳定极点; 若ii元素个数为0，未找到不稳定极点，系统稳定. pzmap(p,z) 根据系统已知的零极点p和z绘制出系统的零极点图
第一节 控制系统的稳定性分析
一、系统稳定及最小相位系统判据
连续时间系统----如果闭环极点全部在S平面左 半平面，则系统是稳定的。
离散时间系统----如果系统全部极点都位于Z平 面的单位圆内，则系统是稳定的。
最小相位系统----连续时间系统的全部零极点都 位于S左半平面；或若离散时间系统的全部零极 点都位于Z平面单位圆内，则系统是最小相位 系统。