矩阵相似的性质

1 矩阵的相似

1.1 定义 1.2性质 1.3定理（证明） 1.4 相似矩阵与若尔当标准形 2 相似的条件

3 相似矩阵的应用（相似矩阵与特征矩阵 相似矩阵与矩阵的对角化 相似矩阵在微分方程中的应用 【1 】）

矩阵的相似及其应用 1.1 矩阵的相似

定义 1.1：设,A B 为数域P 上两个n 级矩阵，如果可以找到数域P 上的n 级可逆矩阵X ，使得1B X AX -=，就说A 相似于B 记作A B ∽ 1.2 相似的性质

（1）反身性A A ∽：；这是因为1A E AE -=.

（2）对称性：如果A B ∽，那么B A ∽；如果A B ∽,那么有X ，使1B X AX -=，令1Y X -=，就有11A XBX Y BY --==，所以B A ∽。

（3）传递性：如果A B ∽，B C ∽，那么A C ∽。已知有,X Y 使1B X AX -=，

C 1Y BY -=。令Z XY =，就有111C Y X AXY Z AZ ---==，因此，A C ∽。 1.3 相似矩阵的性质 若,n n A B C ⨯∈，A B ∽，则： （1）()()r A r B =；

引理：A 是一个s n ⨯矩阵，如果P 是一个s s ⨯可逆矩阵，Q 是n n ⨯可逆矩阵，

那么秩（A ）=秩（PA ）=秩（AQ ）

证明：设,A B 相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得1B C AC -=,由引理2可知，秩

（B ）=秩（1

B C AC -=）=秩（AC ）=秩（A ）

（2）设A 相似于B ，()f x 是任意多项式，则()f A 相似于()f B ，即

11()()P AP B P f A P f B --=⇒=

证明：设1110()n n n n f x a x a x a x a --=+++ 于是，1

110()n n n n f A a A a A a A a E --=+++ 1

110()n n n n f B a B a B a B a E --=++

+

由于A 相似于B ，则k

A 相似与k

B ，（k 为任意正整数），即存在可逆矩阵X ,使得

1k k B X A X -=，

因此 ()()111110n n n n X f A X X a A a A a A a E X ----=++

+

111

1110n n n n a X A X a X A X a X AX a E -----=++

++

1

110n n n n a B a B a B a E --=++

+

()f B = 所以()f A 相似于()f B 。

（3）相似矩阵有相同的行列式，即,A B trA trB ==；

证明：设A B 与相似，即存在数域P 上的可逆矩阵C ，使得1B C AC -=，两边取行列式

得：111B C AC C A C A C C A ---====，从而相似矩阵有相同的行列式。

又由性质（2）知，A B 与有相同的特征多项式，因而有相同的特征值12,,,n λλλ，而

A 的迹12n trA λλλ=++

+，B 的迹12n trB λλλ=+++，从而trA trB =，即相似

矩阵有相同的迹

（4）A 与B 有相同的Jordan 标准形； （5）相似矩阵同时可逆或同时不可逆。

证明：设A B 与相似，由性质2可知A B =，若A 可逆，即0A ≠，从而0B ≠，故B

可逆；若A 不可逆，即=0A ，从而=0B ,故B 不可逆。 （6）若A 与B 相似，B D 与相似，则0000A B C D ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

与相似。

证明：A 与B 相似，即存在可逆矩阵P ,使得1

B P AP -=,

C

D 与相似，即存在可逆矩阵Q ,

使得1

D Q CQ -=，由于110000=0000B A P P D C Q Q --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝

⎭⎝⎭⎝⎭ 1

000=000P A P Q C Q -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

显然00P Q ⎛⎫

⎪⎝⎭

是可逆矩阵。由此可见，则0000A B C D ⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭与相似。

定理1.1：线性变换在不同基下所对应的矩阵是相似的；反过来，如果两个矩阵相似，那么它们可以看作同一个线性变换在两组基下所对应的矩阵。

证明：先证前一部分。设线性空间V 中线性变换A 在两组基：

12,,,n εεε （1） 12,,.,n ηηη（2）

下的矩阵分别为A 和B ,从基⑴到基⑵的过渡矩阵为X ，则：

1212(,,,)(,,.,)n n A A A A εεεεεε=， 1212(,,,)(,,

,)n n A A A B ηηηηηη=

1212(,,

,)(,,.

,)n n X ηηηεεε=

于

是

1212(,,

,)(,,

,)

n n A A A A ηηηηηη=12[(,,.

,)]n A X εεε=

12(,,,)n A A A X εεε= 12(,,,.)n AX εεε= 112(,,.,)n X AX ηηη-=

由此可得 1B X AX -=

现在证后一部分。设n 级矩阵A 和B 相似，那么它们可以 看作是n 维线性空间V 中一个线性变换 在基12,,.,n εεε下

的矩阵。因为1B X AX -=，令：

1212(,,

,)(,,

,.)n n X ηηηεεε=,显然，12,,n ηηη 也是一组基，A 在这组基下的

矩阵

就是B 。

例一：证明12

n λλλ⎛⎫

⎪

⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭与2

1i i in λλ

λ⎛⎫

⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

相似，其中 12

,,

,n

i i i 是

1,2,

,n 的一个排列。

证明：设：

1

2

1212(,,)(,,

)n n n A λλεεεεεελ⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎝

⎭

，则

2

11212(,,,)(,,

,.)i i n n in A λλ

εεεεεελ⎛⎫ ⎪

⎪== ⎪ ⎪ ⎪⎝

⎭

，因为12

n λλλ⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

和