点集拓扑学期末考试练习题(含答案)

点集拓扑学期末考试

一、单项选择题（每题1分） 1、已知{,,,,}X a b c d e =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.

① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c e φ=T ② {,,{,,},{,,},{,,,}}X a b c a b d a b c e φ=T

③ {,,{},{,}}X a a b φ=T ④ {,,{},{},{},{},{}}X a b c d e φ=T 答案：③

2、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.

① {,,{},{,},{}}X a a b c φ=T ② {,,{},{,},{,}}X a a b a c φ=T

③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T

答案：② 3、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.

① {,,{},{,},{,,}}X a a b a c d φ=T ② {,,{,,},{,,}}X a b c a b d φ=T

？

③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{}}X a b φ=T

答案：① 4、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.

① {,,{},{},{,}}X b c a b φ=T ② {,,{},{},{,},{,}}X a b a b a c φ=T `

③ {,,{},{},{,}}X a b a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T

答案：② 5、已知{,,,}X a b c d =,下列集族中，（ ）是X 上的拓扑.

① {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T ② {,,{,},{,,}}X a b a c d φ=T

③ {,,{},{},{,,}}X a b a c d φ=T ④ {,,{},{},{,}}X a c a c φ=T

答案：④ 6、设{,,}X a b c =，下列集族中,（ ）是X 上的拓扑.

① {,,{},{},{,}}X a b b c φ=T ② {,,{,},{,}}X a b b c φ=T

③ {,,{},{,}}X a a c φ=T ④ {,,{},{},{}}X a b c φ=T

答案：③ ；

7、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则}{b =（ ）

①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④

8、 已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{,,}b c d =（ ）

①φ ② X ③ {}b ④ {,,}b c d 答案：④

9、 已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）

①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：②

10、已知{,}X a b =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}b =（ ）

①φ ② X ③ {}a ④ {}b 答案：④

11、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}a =（ ）

①φ ② X ③ {,}a b ④ {,,}b c d 答案：②

》

12、已知{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{}}X a φ=T ,则{}c =（ ）

①φ ② X ③ {,}a c ④ {,,}b c d 答案：④

13、设{,,,}X a b c d =，拓扑{,,{},{,,}}X a b c d φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集个数（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②

14、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X a b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②

15、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{,}}X b b c φ=T ,则X 的既开又闭的非空真子集的个数为（ ） ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：①

16、设{,}X a b =，拓扑{,,{}}X b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ） ① 0 ② 1 ③ 2 ④ 3 答案：③

《

17、设{,}X a b =，拓扑{,,{},{}}X a b φ=T ,则X 的既开又闭的子集的个数为（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④

18、设{,,}X a b c =，拓扑{,,{},{},{,},{,}}X a b a b b c φ=T ,X 的既开又闭的非空真子集个数（ ） ① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：②

19、在实数空间中，有理数集Q 的内部Q 是（ ）

① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：①

20、在实数空间中，有理数集Q 的边界()Q ?是（ ）

① φ ② Q ③ R -Q ④ R 答案：④

21、在实数空间中，整数集Z 的内部Z 是（ ）

① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：①

？

22、在实数空间中，整数集Z 的边界()Z ?是（ ）

① φ ② Z ③ R -Z ④ R 答案：②

23、在实数空间中，区间[0,1)的边界是（ ）

① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：③

24、在实数空间中，区间[2,3)的边界是（ ）

① φ ② [2,3] ③ {2,3} ④ (2,3) 答案：③

25、在实数空间中，区间[0,1)的内部是（ ）

① φ ② [0,1] ③ {0,1} ④ (0,1) 答案：④

26、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中错误的是（ ）

① ()()()d A B d A d B ?=? ② A B A B ?=?

《

③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ A A = 答案: ③

27、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）

① ()()()d A B d A d B ?=? ② A B A B -=-

③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ A A = 答案: ①

28、设X 是一个拓扑空间，A ,B 是X 的子集,则下列关系中正确的是（ ）

① ()d A B A B ?=? ② A B A B -=-

③ ()()()d A B d A d B ?=? ④ (())()d d A A d A ?? 答案: ④

29、已知X 是一个离散拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（

）

① ()d A φ= ② ()d A X A =-

③ ()d A A = ④ ()d A X = 答案：①

《

30、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中不正确的是（ ） ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X A =-

③ 若A={12,x x },则()d A X = ④ 若A X ≠, 则()d A X ≠ 答案：④

31、已知X 是一个平庸拓扑空间，A 是X 的子集,则下列结论中正确的是（ ） ① 若A φ=,则()d A φ= ② 若0{}A x =,则()d A X =

③ 若A={12,x x },则()d A X A =- ④ 若12{,}A x x =,则()d A A = 答案：①

32、设{,,,}X a b c d =，令{{,,},{},{}}a b c c d =B ,则由B 产生的X 上的拓扑是（ ） ① { X ,φ,{c },{d },{c ,d },{a ,b ,c }} ② {X ,φ,{c },{d },{c ,d }}

③ { X ,φ,{c },{a ,b ,c }} ④ { X ,φ,{d },{b ,c },{b ,d },{b ,c ,d }} 答案：①

33、设X 是至少含有两个元素的集合，p X ∈,{|}{}G X p G φ=?∈?T 是X 的拓扑，则（ ）

是T 的基.

、

① {{,}|{}}B p x x X p =∈- ② {{}|}B x x X =∈

③ {{,}|}B p x x X =∈ ④ {{}|{}}B x x X p =∈- 答案：③

34、 设{,,}X a b c =,则下列X 的拓扑中（ ）以{,,{}}S X a φ=为子基.

① { X , φ,{a },{a ,c }} ② {X , φ,{a }}

③ { X , φ,{a },{b },{a ,b }} ④ {X ,φ }答案：②

35、离散空间的任一子集为( )

① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：③

36、平庸空间的任一非空真子集为( )

① 开集 ② 闭集 ③ 即开又闭 ④ 非开非闭 答案：④

37、实数空间R 中的任一单点集是 ( )

\

① 开集 ② 闭集 ③ 既开又闭 ④ 非开非闭 答案：②

38、实数空间R 的子集A ={1,21,31 ,41

,……},则A ＝（ ）

①φ ② R ③ A ∪{0} ④ A 答案：③

39、在实数空间R 中，下列集合是闭集的是（ ）

① 整数集 ② [)b a , ③ 有理数集 ④ 无理数集 答案：①

40、在实数空间R 中，下列集合是开集的是（ ）

① 整数集Z ② 有理数集

③ 无理数集 ④ 整数集Z 的补集Z '答案：④

41、已知{1,2,3}X =上的拓扑{,,{1}}T X φ=,则点1的邻域个数是（ ）

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4 答案：④

）

42、已知{,}X a b =,则X 上的所有可能的拓扑有（ ）

① 1个 ② 2个 ③ 3个 ④ 4个 答案：④

43、已知X ={a ,b ,c },则X 上的含有４个元素的拓扑有（ ）个

① 3 ② 5 ③ 7 ④ 9 答案：④

44、设(,)T X 为拓扑空间,则下列叙述正确的为 ( )

①T , T X φ∈? ② T ,T X φ?∈

③当T T '?时,

T T U U '∈∈ ④ 当T T '?时,T T U U '∈∈ 答案：③

45、在实数下限拓扑空间R 中，区间[,)a b 是（ ）

① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：③

46、设X 是一个拓扑空间，,A B X ?,且满足()d A B A ??,则B 是（ ）

！

① 开集 ② 闭集 ③ 既是开集又是闭集 ④ 非开非闭 答案：②

47、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{2},{1,2}}φ=T ② {,,{1},{2},{1,2}}T X φ=

③ {,,{1},{2}}T A φ= ④ {,,{1},{2}}T X φ= 答案：③

48、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{1},{3},{1,3}}T φ= ② {,,{1}}T A φ=

③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：②

49、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2,3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为( ) ① {,{3},{2,3}}φ=T ② {,,{2},{3}}T A φ=

③ {,,{2},{3},{2,3}}T X φ= ④ {,,{3}}T X φ= 答案：②

50、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{1}A =,则X 的子空间A 的拓扑为

( ) ① {,{1}}T φ= ② {,,{1,2}}T A φ=

③ {,,{1},{3},{1,3}}T X φ= ④ {,,{1}}T X φ= 答案：①

51、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{2}A =,则X 的子空间A 的拓扑为

( )① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,}T A φ=

@

③ {,,{2}}T X φ= ④ {,,{1,2}}T X φ= 答案：②

52、设{1,2,3}X =,{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T=X φ是X 的拓扑，{3}A =,则X 的子空间A 的拓扑为

( ) ① {,{2},{1,2}}T φ= ② {,{},{1,3}}T X φ=

③ {,,{3}}T X φ= ④ {,{3}}T φ= 答案：④

53、设R 是实数空间，Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（ ）

① {,}T Z φ= ② ()T P Z = ③ T Z = ④ {}T Z = 答案：②

54、设126X X X X =???是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.1P 是X 到1X 的投射，则1P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射

③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④

55、设126X X X X =???是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.2P 是X 到2X 的投射，则2P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射

③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④

56、设126X X X X =???是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.3P 是X 到3X 的投射，则3P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射

|

③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④

57、设126X X X X =???是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.4P 是X 到4X 的投射，则4P 是（ ） ① 单射 ② 连续的单射

③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④

58、设126X X X X =???是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.5P 是X 到5X 的投射，则5P 是

（ ）

① 单射 ② 连续的单射

③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④

59、设126X X X X =???是拓扑空间126,,,X X X 的积空间.6P 是X 到6X 的投射，则6P 是（ ）① 单射 ② 连续的单射

③ 满的连续闭映射 ④ 满的连续开映射 答案：④

60、设1X 和2X 是两个拓扑空间，12X X ?是它们的积空间,1A X ?，2B X ?，则有（ ） ① A B A B ?≠? ② A B A B ?=? ③()A B A B ?≠? ④ ()()()A B A B ??=???答案：② 、

61、有理数集Q 是实数空间R 的一个（ ）

① 不连通子集 ② 连通子集

③ 开集 ④ 以上都不对 答案：①

62、整数集Z 是实数空间R 的一个（ ）

① 不连通子集 ② 连通子集

③ 开集 ④ 以上都不对

答案：①

63、无理数集是实数空间R 的一个（ ）

① 不连通子集 ② 连通子集

③ 开集 ④ 以上都不对

}

答案：①

64、设Y 为拓扑空间X 的连通子集,Z 为X 的子集,若Y Z Y ??, 则Z 为( )

①不连通子集 ② 连通子集 ③ 闭集 ④ 开集

答案：②

65、设12,X X 是平庸空间，则积空间12X X ?是（ ）

① 离散空间 ② 不一定是平庸空间

③ 平庸空间 ④ 不连通空间

答案：③

66、设12,X X 是离散空间，则积空间12X X ?是（ ）

① 离散空间 ② 不一定是离散空间

)

③ 平庸空间 ④ 连通空间

答案：①

67、设12,X X 是连通空间，则积空间12X X ?是（ ）

① 离散空间 ② 不一定是连通空间

③ 平庸空间 ④ 连通空间

答案：④

68、实数空间R 中的连通子集E 为( )

① 开区间 ② 闭区间 ③区间 ④ 以上都不对

答案：④

69、实数空间R 中的不少于两点的连通子集E 为( )

%

① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 以上都不对

答案：③

70、实数空间R 中的连通子集E 为( )

① 开区间 ② 闭区间 ③ 区间 ④ 区间或一点

答案：④

71、下列叙述中正确的个数为（ ）

（Ⅰ）单位圆周1S 是连通的； （Ⅱ）{0}R -是连通的

（Ⅲ）2{(0,0)}R -是连通的 （Ⅳ）2R 和R 同胚

① 1 ② 2 ③ 3 ④ 4

答案：②

~

二、填空题（每题1分）

1、设{,}X a b =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=

2、设{,}X a b =,则X 的离散拓扑为 ;答案：{,,{},{}}T X a b φ= ３、同胚的拓扑空间所共有的性质叫 ; 答案：拓扑不变性质

4、在实数空间R 中，有理数集Q 的导集是___________. 答案： R

5、)(A d x ∈当且仅当对于x 的每一邻域U 有 答案： ({})U A x φ?-≠

6、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则()d A = ;答案：X

7、设A 是有限补空间X 中的一个无限子集，则A = ;答案：X

8、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则()d A = ;答案：X

【

9、设A 是可数补空间X 中的一个不可数子集，则A = ;答案：X 10、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案：{2}

11、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：{1}

12、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 答案：{1}

13、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：φ

14、设{,,}X a b c =,则X 的平庸拓扑为 ;答案：{,}T X φ=

15、设{,,}X a b c =,则X 的离散拓扑为 答案：{,,{},{},{},{,},{,},{,}}T X a b c a b a c b c φ=

16、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{2},{3},{2,3}}T X φ=,则X 的子集{1,3}A = 的内部为 ;答案：{3}

17、设{1,2,3}X =,X 的拓扑{,,{1},{3},{1,3}}T X φ=,则X 的子集{1,2}A = 的内部为 ;答案：{1}

18、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，若它是一个单射，并且是从X 到它的象集()f X 的一个同胚，则称映射f 是一个 .答案：嵌入

—

19、:f X Y →是拓扑空间X 到Y 的一个映射，如果它是一个满射，并且Y 的拓扑是对于映射f 而言的商拓扑，则称f 是一个 ;答案：商映射

20、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个开集U 的象集()f U 是Y 中的一个开集，则称映射f 是一个 答案：开映射

21、设,X Y 是两个拓扑空间，:f X Y →是一个映射，若X 中任何一个闭集U 的象集()f U 是Y 中的一个闭集，则称映射f 是一个 答案：闭映射

22、若拓扑空间X 存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ?=?=,则X 是一个 ；答案：不连通空间

23、若拓扑空间X 存在两个非空的开子集,A B ,使得,A B A B X φ?=?=,则X 是一个 ；答案：不连通空间

24、若拓扑空间X 存在着一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个 答案：不连通空间

25、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ?满足Y Z Y ??，则Z 也是X 的一个 ; 答案：连通子集

26、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个 ；

答案：在连续映射下保持不变的性质

27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有，则称这个性质是一个 ；答案：可商性质

—

28、若任意1n ≥个拓扑空间12,,,n X X X ,都具有性质P ,则积空间12n X X X ???也具有性质P ，则性质P 称为 ;答案：有限可积性质

29、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ?=,则称X 是一个 ；答案：不连通空间.

三．判断（每题4分，判断1分，理由3分）

1、．从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射( ) 答案:√

理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ?，都有1)f A X -?（,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.

2、设12, T T 是集合X 的两个拓扑，则12 T T ?不一定是集合X 的拓扑( )答案:×

理由：因为（1）12, T T 是X 的拓扑，故∈φ,X T 1，∈φ,X T ２，从而∈φ,X 12 T T ?； （２）对任意的∈B A ,T 1?T ２，则有∈B A ,T 1且∈B A ,T ２，由于T 1, T 2是X 的拓扑，故∈?B A T 1且∈?B A T 2，从而∈?B A T 1?T ２；

（３）对任意的21T T T ??'，则21,T T T T ?'?'，由于T 1, T 2是X 的拓扑，从而 U ∈T ’U ∈T 1, U ∈T ’U ∈T 2,故 U ∈T ’U ∈ T 1?T ２；

综上有T 1?T ２也是X 的拓扑．

、

3、从拓扑空间X 到平庸空间Y 的任何映射都是连续映射（ ）答案:√

理由：设:f X Y →是任一满足条件的映射，由于Y 是平庸空间，它中的开集只有,Y φ,易知它们在f 下的原象分别是,X φ,均为X 中的开集，从而:f X Y →连续.

4、设A 为离散拓扑空间X 的任意子集，则()d A φ= （ ）答案:√

理由：设p 为X 中的任何一点，因为离散空间中每个子集都是开集，

所以{}p 是X 的开子集，且有{}{}()p A p φ-=，即()p d A ?,从而 ()d A φ=.

5、设A 为平庸空间X （X 多于一点）的一个单点集，则()d A φ= （ ）答案：× 理由：设{}A y =,则对于任意,x X x y ∈≠,x 有唯一的一个邻域X ，且有()y X A x ∈?-,从而()X A x φ?-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，但对于y 的唯一的邻域X ，有()X A y φ?-=,所以有()d A X A φ=-≠.

6、设A 为平庸空间X 的任何一个多于两点的子集，则()d A X = （ ）答案：√ 理由：对于任意,x X ∈因为A 包含多于一点，从而对于x 的唯一的邻域X ，且有()X A x φ?-≠，因此x 是A 的一个凝聚点，即()x d A ∈，所以有()d A X =.

7、设X 是一个不连通空间，则X 中存在两个非空的闭子集,A B ,使得,A B A B X φ?=?=（ ）答案：√

~

理由：设X 是一个不连通空间，设,A B 是X 的两个非空的隔离子集使得A B X ?=,显然A B φ=，并且这时有:

()()B B X B A B B B =?=???=

从而B 是X 的一个闭子集，同理可证A 是X 的一个闭子集，这就证明了,A B 满足,A B A B X φ?=?=.

8、若拓扑空间X 中存在一个既开又闭的非空真子集，则X 是一个不连通空间( )√ 理由：这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集，令B A '=，则,A B 都是X 中的非空闭子集，它们满足A B X ?=，易见,A B 是隔离子集，所以拓扑空间X 是一个不连通空.

五．简答题（每题4分）

1、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，且A B ?.试说明()()d A d B ?. 答案：对于任意()x d A ∈,设U 是x 的任何一个邻域，则有({})U A x φ?-≠,由于A B ?，从而({})({})U B x U A x φ?-??-≠，因此()x d B ∈，故()()d A d B ?.

2、设,,X Y Z 都是拓扑空间.:f X Y →, :g Y Z →都是连续映射，试说明:g f X Z →也是连

续映射.

答案：设W 是Z 的任意一个开集，由于:g Y Z →是一个连续映射，从而1()g W -是Y 的一个开集，由:f X Y →是连续映射，故11(())f g W --是X 的一开集，因此 111()()(())g f W f g W ---=是X 的开集，所以:g f X Z →是连续映射.

`

3、设X 是一个拓扑空间，A X ?.试说明：若A 是一个闭集，则A 的补集A '是一个开集. 答案：对于x A '?∈,则x A ?，由于A 是一个闭集，从而x 有一个邻域U 使得({})U A x φ?-=,因此U A φ?=，即U A '?,所以对任何x A '∈,A '是x 的一个邻域，这说明A '是一个开集.

4、设X 是一个拓扑空间，A X ?.试说明：若A 的补集A '是一个开集，则A 是一个闭集. 答案：设x A ?,则x A '∈,由于A '是一个开集，所以A '是x 的一个邻域，且满足A A φ'?=,因此x A ?,从而A A ?,即有A A =，这说明A 是一个闭集.

5、在实数空间R 中给定如下等价关系：

~x y ?)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x

设在这个等价关系下得到的商集]}2[],1[],0{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T.

答案：]}}1[],0{[]},0{[,,{Y φ= T

6、在实数空间R 中给定如下等价关系:

~x y ?]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x

#

设在这个等价关系下得到的商集]}3[],2[],1{[=Y ,试写出Y 的商拓扑T . 答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=

7、在实数空间R 中给定如下等价关系：

~x y ?)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x

设在这个等价关系下得到的商集{[1],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T.

答案：{,,{[1]},{[1],[1]}}T Y φ=--

8、在实数空间R 中给定如下等价关系：

~x y ?)1,(,-∞∈y x 或者)2,1[,∈y x 或者),2[,+∞∈y x

设在这个等价关系下得到的商集{[2],[1],[2]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T.

答案：{,,{[2]},{[2],[1]}}T Y φ=--

"

9、在实数空间R 中给定如下等价关系:

~x y ?]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x

设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[3]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .

答案：{,,{[3]},{[2],[3]}}T Y φ=

10、在实数空间R 中给定如下等价关系:

~x y ?]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x

设在这个等价关系下得到的商集{[0],[2],[4]}Y =,试写出Y 的商拓扑T .

答案：{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=

11、在实数空间R 中给定如下等价关系:

~x y ?]1,(,-∞∈y x 或者]2,1(,∈y x 或者),2(,+∞∈y x

#

设在这个等价关系下得到的商集{[1],[2],[4]}Y =-,试写出Y 的商拓扑T .

答案：{,,{[4]},{[2],[4]}}T Y φ=

六、证明题（每题8分）

1、设:f X Y →是从连通空间X 到拓扑空间Y 的一个连续映射.则()f X 是Y 的一个连通子集. 证明：如果()f X 是Y 的一个不连通子集，则存在Y 的非空隔离子集,A B 使得()f X A B =? …………………………………………… 3分

于是11(),()f A f B --是X 的非空子集，并且：

111111111(()())(()())

(()())(()())(()())f A f B f B f A f A f B f B f A f A B A B φ

---------???????=???=

所以11(),()f A f B --是X 的非空隔离子集 此外，

1111()()()(())f A f B f A B f f X X ----?=?==，这说明X 不连通，矛盾.从而()f X 是Y 的一个连通子集. ………………………… 8分

2、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的开集使得B A Y ??,则或者A Y ?,或者B Y ?.

证明：因为B A ,是X 的开集，从而Y B Y A ??,是子空间Y 的开集.

·

又因B A Y ??中，故)()(Y B Y A Y ???= ………………… 4分

由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ??,中必有一个是空集. 若Φ=?Y B ,则A Y ?;若Φ=?Y A ,则B Y ?………………… 8分

3、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集, 证明: 如果A 和B 是X 的两个无交的闭集使得B A Y ??,则或者A Y ?,或者B Y ?.

证明：因为B A ,是X 的闭集，从而Y B Y A ??,是子空间Y 的闭集.

又因B A Y ??中，故)()(Y B Y A Y ???= ………………… 4分

由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ??,中必有一个是空集. 若Φ=?Y B ,则A Y ?;若Φ=?Y A ,则B Y ?………………… 8分

4、设Y 是拓扑空间X 的一个连通子集，Z X ?满足Y Z Y ??，则Z 也是X 的一个连通子集. 证明：若Z 是X 的一个不连通子集，则在X 中有非空的隔离子集,A B 使得Z A B =?.因此Y A B ?? ………………………………… 3分

由于Y 是连通的，所以Y A ?或者Y B ?,如果Y A ?，由于Z Y A ??，所以Z B A B φ???=，因此 B Z B φ=?=,同理可证如果Y B ?，则A φ=,均与假设矛盾.故Z 也 是X 的一个连通子集. …………………………………………………………………… 8分

5、设{}Y γγ∈Γ是拓扑空间X 的连通子集构成的一个子集族.如果

Y γγφ∈Γ≠,则Y γγ∈Γ是X 的一个连通子集.

{

证明：若Y γγ∈Γ是X 的一个不连通子集.则X 有非空的隔离子集,A B 使得

Y A B γγ∈Γ=?………………………………………… 4分

任意选取x Y γγ∈Γ∈,不失一般性，设x A ∈,对于每一个γ∈Γ，由于Y γ连通，从而Y A

γγ∈Γ?及B φ=,矛盾，

所以Y γγ∈Γ是连通的. ………………………………………… 8分

6、设A 是拓扑空间X 的一个连通子集，B 是X 的一个既开又闭的集合.证明：如果A B φ?≠,则A B ?.

证明：若B X =,则结论显然成立.

下设B X ≠,由于B 是X 的一个既开又闭的集合,从而A B ?是X 的子空间A 的一个既开又闭的子集………………………………… 4分

由于A B φ?≠及A 连通，所以A B A ?=，故A B ?.………… 8分

7、设A 是连通空间X 的非空真子集. 证明:A 的边界()A φ?≠.

证明：若()A φ?=,由于()A A A --'?=?,从而

()()()()A A A A A A A A A A φ------'''''=?=???=???,

：

故, A A '是X 的隔离子集 ………………………………………… 4分

因为A 是X 的非空真子集,所以A 和A '均非空,于是X 不连通,与题设矛盾.所以()A φ?≠. ……………………………………………… 8分

下为点集拓扑学考试的辨析题和证明题，解答是本人自己写的，可能有错误或者不足，希望对大家的考试有帮助。

二、辨析题（每题5分，共25分，正确的说明理由，错误的给出反例）

1、拓扑空间中有限集没有聚点。

答：这个说法是错误的。

反例：{}c b a X

,,= ，规定拓扑 {}{}a X ,,φτ=，则当{}a A =时，b 和c 都是A 的聚点。因为b 和c 的领域只有X 一个，它包含a ，a 不是A 的聚点，因为{}φ=a A \。

2、欧式直线1E 是紧致空间。

答：这个说法是错误的。

反例：对1E 而言，有开覆盖(){}+∈-=Z n n n |,μ

，而对于该开覆盖没有有限子覆盖。

3、如果乘积空间Y X ?道路连通，则X 和Y 都是道路连通空间。

答：这个说法是正确的。

证明：对于投射有()X Y X P =?1，()Y Y X P =?2，由投射是连续的，又知

Y X ?是道路连通，从而像也是道路连通空间，所以X

和Y 都是道路连通空间。 4、单位闭区间I 与1S 不同胚。

答：这个说法是正确的。

下面用反证法证明，反设I 与1

S 同胚，则 ?

???????? ??→????????????21\21\2:21\2|1f S f 也是同胚映射，??????21\I 不连通，则 ??????21\1S 不连通，故矛盾，所以单位闭区间I 与1S 不同胚。

5、紧致性具有可遗传性质。

答：这个说法是错误的。

反例 ：[]1,0紧致但()1,0不紧致。

三、证明题（每题10分，共50分）

1、规定[)1

11,0\:E E f →为()???≥-<=110,x x x x x f ，证明f 是连续映射，但不是同胚映射。

证明：由于f 限制在()0,∞-与()+∞,1上连续，由粘接引理，f

连续。但1-f 不连续，如()0,∞-是[)1,0\1E 的闭集，但()()()()()()()0,0,0,1

1∞-=∞-=∞---f f

不是1E 的闭集，所以f 不是同胚映射。

2、证明：Hausdorff 空间的子空间也是Hausdorff 空间。

证明：设X 是Hausdorff 空间，Y 是X

的任一子空间，需证Y 是Hausdorff 空间。Y y x ∈?,，由

X 是Hausdorff 空间，所以存在y x ,在X 的开邻域U 、V 使得φ=?V U ，Y U ?是x 在Y 中开邻域，Y V ?是y 在Y 中开邻域，()()φ=??=???Y V U Y V Y U ，故Y 是Hausdorff 空间。

3、证明：从紧致空间到Hausdorff 空间的连续双射是同胚。

证明：要证明

X Y f →-:1连续，只需证f 是闭映射，设A 是X 的闭子集紧致，所以A 是紧致的。又因为紧致空间在连续映射下的像也紧致，所以()A f 是Y 的紧致

子集，又由于Hausdorff 空间的紧致子集是闭集，所以()A f 是Y 的闭集。

4、设0X 是X 的既开又闭的子集，A 是X 的连通子集，则或者

φ=?0X A 或者0X A ?。

证明：0X A ?是A 的既开又闭的子集，由于A 连通，则或者φ=?0X A 或者A X A =?0即0X A ?。

5、证明：道路连通性具有可乘性质。

证明：设()00,y x 是()11,y x 是Y X ?中两点，X 和Y 都是道路连通，则有X 中道

路a ，以10,x x 为起始点，又有Y 中道路b ，以

10,y y 为起始点，作Y X ?中道路c 为：

()()()()t b t a t c ,=，I t ∈?，则c 连接()00,y x 和()11,y x ，所以道路连通性具有可乘性质。