概率论习题答案 第7章答案

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第七章 参数估计
(一)基本题
1 (1)
∫ ∫ E(X )
=
∞
xf (x)dx
=
1
(θ
+ 1)xθ +1dx
=
θ
+1
−∞
0
θ +2
令 θ + 1 = X ，得未知参数θ 的矩估计量为 θ +2
θˆ = 2X −1 1− X
（2） 因为 E( X ) = 1 ,所以 p 的矩估计量为 pˆ = 1
1 2n
n i =1
X
2 i
2 (1)设 x1, x2 ,", xn 是相应于 X 1, X 2 ,", X n 的样本，则似然函数为
∏ ∏ L(θ ) =
n i =1
f
( xi
)
=
⎧ ⎪⎨(θ ⎪⎩
+ 1)n
⎜⎜⎝⎛
n i =1
0,
xi ⎟⎟⎠⎞θ ,
0 < xi < 1,i = 1,2,", n 其它
∏ ∑ L(θ1,θ2 ) =
n i =1
f (xi ,θ1,θ2 ) =⎪⎩⎪⎨⎧θ12n
exp⎨⎧− ⎩
1 θ2
n
(xi
i =1
0,
−
θ1
⎫ )⎬,
⎭
xi > θ1, i = 1,2,", n 其它
所以当 xi > θ1, i = 1,2,"n 时, L(θ1,θ 2 ) > 0 ,并且
∑ ln
=
(θ1
+ θ2 )2
+
θ
2 2
令
∑ ⎧
⎪ ⎪⎩⎨(θ1
θ1 + θ2 = X
+ θ2 )2
+
θ
2 2
=
1 n
n i =1
X
2 i
解得参数θ1,θ 2 的矩估计量为:
θˆ1 = X − θˆ2 ,
∑ θˆ2 =
1 n
n i =1
X
2 i
− (X)2
(6)
∫ ∫ ∞
∞
因为一阶矩 E( X ) = xf (x,σ )dx =
n
n
n
所以 λˆ2 = ( X )2 − X 是 λ2 的一个无偏估计量. n
注: λ2 的无偏估计量不唯一,如统计量 λˆi2
=
−n +
xi
i =1
− nx(1)
=0
∂θ 2
θ2
θ
2 2
解得 θˆ2 = x − x(1) ,所以θ1,θ 2 的极大似然估计值分别为 θˆ1 = x(1) θˆ2 = x − x(1)
θ1,θ 2 的极大似然估计量分别为
θˆ1 = X (1)
θˆ2 = X − X (1)
(6) 设 x1, x2 ,", xn 是相应于 X 1, X 2 ,", X n 的样本，则似然函数为
∏n
L(θ ) =
f
( xi
,θ
)
=⎪⎨⎧θ
n 2
( x1 x2
"
xn
)
θ −1 ,
0 ≤ xi ≤ 1,i = 1,2,", n
i =1
⎪⎩
0,
其它
∑ 当 0 ≤ xi ≤ 1,i = 1,2,", n 时, L(θ ) > 0 ,并且
ln L = n lnθ + ( 2
n
θ −1) ln xi
i =1
量为 λˆ2M = ( X )2 .
(3) 由于
E (λˆ2M
)
=
E(X
2)
=
D( X ) + [E( X )]2
=
λ n
+ λ2
因此 λˆ2M = ( X )2 不是 λ2 的无偏估计,令
λˆ2 = ( X )2 − X n
则有
E(λˆ2 ) = E( X 2 ) − 1 E( X ) = λ + λ2 − λ = λ2
∏ L(σ ) =
n i =1
f
(xi ,σ )
=
1σ 2
e ∑ −n
−1 σ
n i =1
|x1|
∑ ∑ 取对数
ln L =
− n lnσ 2
−1 σ
n
| xi
i =1
|
，令
d ln L dσ
=
−n+ 1 2σ σ 2
n
| xi
i =1
|= 0
∑ 解得σ 的极大似然估计值为
σˆ
=
1 n
n
|
i =1
xi
θˆ = −1 −
n
n ln xi
i =1
从而θ 的极大似然估计量为
θˆ = −1 − n n
∑ ln X i
i =1
(2) 设 x1, x2 ,", xn 是相应于 X 1, X 2 ,", X n 的样本，则似然函数为
n
∏ L( p) =
n
p(1 −
p) xi −1
=
p n (1 −
∑ xi −n p) i=1
5. (1)
E(X ) = E(eZ ) =
∫ 1
+∞
− ( z−μ )2
e z e 2σ 2 dz
2π σ −∞
∫ =
1
∞
exp{−
1
(z 2 − (2μ + 2σ 2 )z + (μ + σ 2 )2 − 2μσ 2 − σ 4 )}dz
2π σ −∞
2σ 2
∫ = exp{μ + 1 σ 2} 2
=
1 mn
n i =1
xi
=
1 m
x
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∑ 所以 p 的极大似然估计量为
pˆ
=
1 mn
n i =1
Xi
=
1 m
X
4 (1)已知, λ 的极大似然估计值为 λˆ = x ,又 P{X = 0} = e−λ ,所以根据极大似然估计的性
质, P{X = 0}的极大似然估计值为 e−x
∏ L(θ ) =
n
f
(xi
,θ
)
⎧ =⎪⎨2 n
n
∑ −2 ( xi e i=1
−θ
)
,
i =1
⎪⎩ 0,
xi ≥ θ ,i = 1,2,", n 其它
n
∑ 当 xi ≥ θ (i = 1,2,") 时, L(θ ) > 0 ,并且 ln L(θ ) = n ln 2 − 2 (xi − θ ) i =1
n
令
∑ d ln L =
n
+
ln xi
i =1
= 0 ，解得θ 的极大似然估计值为
θˆ =
n2
dθ 2θ 2 θ
∑⎡ n
⎤2
⎣⎢ i=1 ln xi ⎦⎥
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θ 的极大似然估计量为
θˆ =
n2
∑⎡ n
⎤2
⎢⎣ i=1 ln X i ⎥⎦
(5) 设 x1, x2 ,", xn 是相应于 X 1, X 2 ,", X n 的样本，则似然函数为
(2) 观察到的五年内每一扳道员引起的严重事故的平均次数为
x = 1 (0 × 44 + 1× 42 + 2 × 21 + 3× 9 + 4 × 4 + 5 × 2) = 137 = 1.123
122
122
所以一个扳道员在五年内未引起严重事故的概率 p 的极大似然估计值为
pˆ = e−1.123 = 0.3253
欲使
∑ ∑ σ 2
=
E
⎜⎛ ⎝
c
n−1 i =1
(
X
i +1
−
Xபைடு நூலகம்
i
)
2
⎟⎞ ⎠
=
n−1
c E( X i+1
i =1
−
Xi )2
=
2(n −1)cσ 2
∑ 必须
c
=
1 2(n −1)
，因此，当 c
=
1 2(n −1)
n−1
时，统计量 c ( X i+1
i =1
−
Xi )2为σ
2 的无偏估计.
7. 由于θˆ1 和θˆ2 均为参数θ 的无偏估计，所以 E(aθˆ1 + bθˆ2 ) = aE(θˆ1 ) + bE(θˆ2 ) = (a + b)θ
当 0 < xi < 1,i = 1,2,", n 时， L(θ ) > 0, 并且有
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n
ln L(θ ) = n ln(θ + 1) + θ ∑ ln xi i =1
令
d ln L
∑ ∑ dθ
=
θ
n+ +1
n i =1
ln xi
=
0 ，解得θ
的极大似然估计值为
p
X
(3)
∫ ∫ E(X )
=
∞
xf (x,θ )dx
=
∞
2xe−2(x−θ ) dx
=
1
+θ
−∞
θ
2
令 1 + θ = X ，解得θ 矩估计量为 2
θˆ = X − 1 2
∫ ∫ ∞
1
（4） E( X ) = xf (x,θ )dx = θ x θ dx =
θ ，令
θ =X，
−∞
0
θ +1
θ +1
∑ μ ˆ
=
1 n
n i =1
ln xi ,
∑ σˆ 2
=
1 n
n
(ln xi
i =1
− μˆ )
故由极大似然估计的性质,可得 E( X ) 的极大似然估计值为 Eˆ( X ) = exp{μˆ + 1 σˆ 2} 2
∑ ∑ (3)
经计算得, μˆ
=
1 n
n
ln xi
i =1
= 3.0909,
σˆ 2
|
∑ 所以σ 的极大似然估计量为
σˆ
=
1 n
n
|
i =1
Xi
|.
3 设 x1, x2 ,", xn 是相应于 X 1, X 2 ,", X n 的样本，似然函数为
n
n
∏ ∏ L( p) =
n i =1
P{X
∑ xi = xi } =p i=1 (1 −
∑ mn− xi p) i=1
n i =1
⎜⎜⎝⎛
欲使 aθˆ1 + bθˆ2 是θ 的无偏估计，必须 a + b = 1 ，即 b = 1 − a .
从而由θˆ1 和θˆ2 的独立性以及题设条件,有
D(aθˆ1 + bθˆ2 ) = a 2 D(θˆ1 ) + (1 − a)2 D(θˆ2 ) = [2a 2 + (1 − a)2 ]D(θˆ2 ) = (1 − 2a + 3a 2 )D(θˆ2 )
=
1 n
n
(ln xi
i =1
− μˆ )
=
0.5115 ,
所以, 一个句子字数均值的极大似然估计值为 Eˆ( X ) = exp{μˆ + 1 σˆ 2} =28.4073 2
6.由正态分布的性质以及样本的独立性可知 X i+1 − X i ~ N (0,2σ 2 )
因此
E( X i+1 − X i )2 = D( X i+1 − X i ) = 2σ 2
i =1
n
ln L = n ln p + (∑ xi − n) ln(1 − p) i =1
n
令
∑ d ln L
=
n
n− +
i =1
xi
= 0 ，解得 p 的极大似然估计值为 pˆ =
1
dp p 1 − p
x
从而θ 的极大似然估计量为 pˆ = 1 X
(3) 设 x1, x2 ,", xn 是相应于 X1, X 2 ,", X n 的样本，则似然函数为
解得θ 矩估计量为
θˆ
=
⎜⎜⎝⎛
1
X −X
⎟⎟⎠⎞ 2
（5）
∫ ∫ E(X
)
=
∞
xf
−∞
(x;θ1,θ2 )dx
=
∞x θ θ1 2
exp⎨⎧− ⎩
x −θ1 θ2
⎫ ⎬dx ⎭
=
θ1
+θ2
∫ ∫ E(X
2)
=
∞
x2
−∞
f
(x;θ1,θ2 )dx
=
∞ θ1
x2 θ2
exp⎨⎧− ⎩
x −θ1 θ2
⎫ ⎬dx ⎭
m xi
⎟⎟⎠⎞
取对数,得
∑ ∑ ∑ ln L( p)
=
n i =1
xi
ln
p + (mn −
n i =1
xi ) ln(1 −
p) +
n i =1
ln⎜⎜⎝⎛
m xi
⎟⎟⎠⎞
n
n
令
∑ ∑ d ln L( p)
=
xi
i =1
mn − −
xi
i =1
=0
dp
p
1− p
得 p 的极大似然估计值为
∑ pˆ
x
− | x|
e σ dx = 0 ,它与σ 无关,所以还必须求二
−∞
−∞ 2σ
∫ ∫ ∫ 阶矩, E(X 2 ) =
∞
x2 f (x,σ )dx =
∞
x2
−|x|
∞
e σ dx =
x2
−x
eσ
dx
=2σ
2
−∞
−∞ 2σ
0σ
令
∑ ∑ 2σ 2
=
1 n
n i =1
X
2 i
，解得参数 σ
的矩估计量为
σˆ =
因为
d ln L dθ
=
2n
>
0, 所以
L(θ )
单调递增.
因为必须满足 xi ≥ θ (i = 1,2,") ,因此θ = x(1) = min{x1,", x(n)} 时, L(θ ) 取最大
值,所以θ 的极大似然估计值为θˆ = x(1) ,极大似然估计量为
θˆ = X (1) = min{X1,", X n} (4) 设 x1, x2 ,", xn 是相应于 X 1, X 2 ,", X n 的样本，则似然函数为
上式右边当 a = 1 时达到最小. 3
综上所述,当 a = 1 ,b = 2 时, 33
aθˆ1 + bθˆ2 是θ 的无偏估计,并且在所有这样的无偏估计
中方差最小.
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8.（1）由于总体 X 服从参数为 λ 的泊松分布，所以其数学期望和方差均为 λ ，由于样本均
1 2π σ
∞
exp{−
−∞
1 2σ
2
(z
−
μ
−σ
2 )}dz
= exp{μ + 1 σ 2} 2
(2) 可 以 将 ln x1, ln x2 ,", ln xn 视 为 取 自 总 体 Z = ln X 的 样 本 , 则 由 于
Z ~ N (μ,σ 2 ) ,因而可得参数 μ,σ 2 的极大似然估计值分别为
值和样本方差是总体均值和方差的无偏估计，所以有
E(X ) = E(S 2 ) = λ
从而
E[αX + (1 − α )S 2 ] = αE( X ) + (1 − α )E(S 2 ) = λ
所以αX + (1 − α )S 2 为 λ 的无偏估计量
（2）已知, λ 的极大似然估计量为 λˆM = X ,所以由极大似然估计的性质, λ2 的极大似然估计
L
=
−n lnθ 2
−
1 θ2
n
xi
i =1
+ nθ1 θ2
由于
∂ ln L ∂θ1
=n θ2
>0
,所以
L(θ1,θ2 )
是 θ1
的单调递增函数,
因为必须满足
xi > θ1, i = 1,2,"n ,所以对于任意给定的θ 2 ,
L(x(1) ,θ 2 )
=
inf θ1
L(θ1,θ 2
)
n
令
∑ ∂ ln L(x(1) ,θ2 )