点集拓扑试卷4

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点集拓扑试题样卷2卷参考答案

一、选择题 (将正确答案填入题后的括号内 ,每题3分，共18分)

1、③

2、②

3、①

4、②③

5、①

6、①②③④ 二、简答题（每题4分，共32分）

1、设X 和Y 是两个拓扑空间.如果:f X Y →是一个一一映射，并且f 和

1:f Y X -→ 都是连续映射，则称f 是一个同胚映射.

2、设X 是一个拓扑空间，如果X 中有两个非空的隔离子集,A B ,使得A B X ⋃=,则称X 是一个不连通空间.

3、设X 是一个拓扑空间，如果X 中的任何一个点和任何一个不包含这个点的闭集都各自有一个开邻域，它们互不相交，则称X 是正则空间.

4、设X 是一个拓扑空间.如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称 拓扑空间X 是一个紧致空间.

5、设X 是一个拓扑空间，若X 有一个可数稠密子集，则称X 是一个可分空间。

6、设X 是一个拓扑空间. 如果X 的每一个无限子集都有凝聚点，则称拓扑空间X 是一个列紧空间.

7、设X 是一个拓扑空间，集合A 的所有凝聚点构成的集合称为A 的导集.

8、设X 是一个拓扑空间，[,]a b 是一个闭区间. 则X 是一个正规空间当且仅当对于X 中任意两个无交的闭集A 和B ，存在一个连续映射:[,]f X a b →,使得当x A ∈时()f x a =和当x B ∈时

()f x b =.

三 、判断下列各题的正误, 正确的打√，错误的打×，并说明理由（每题 5分，其中判断2分，理由3 分， 本题共10分） 1、答案:√

理由：设X 是离散空间，Y 是拓扑空间，:f X Y →是连续映射，因为对任意A Y ⊂，都有1

)f A X -⊂（

,由于X 中的任何一个子集都是开集，从而1()f A -是X 中的开集，所以:f X Y →是连续的.

2、答案:√

理由：这是因为若设A 是X 中的一个既开又闭的非空真子集，令B A '=，则,A B 都是X 中的非空闭子集，它们满足A B X ⋃=，易见,A B 是隔离子集，所以拓扑空间X 是一个不连通空

间.

四、证明题（共40分).

1、证明：因为B A ,是X 的开集，从而Y B Y A ⋂⋂,是子空间Y 的开集.

又因B A Y ⋃⊂中，故)()(Y B Y A Y ⋂⋃⋂= ………………… 4分

由于Y 是X 的连通子集,则Y B Y A ⋂⋂,中必有一个是空集. 若Φ=⋂Y B ,则A Y ⊂;若Φ=⋂Y A ,则B Y ⊂ ………………………………… 7分 2、证明：若X 满足第一可数公理，则在X x ∈处,有一个可数的邻域基，

设为V x ,因为X 是有限补空间，因此对x y X y ≠∈∀,,}{y X -是x 的一个开邻域，从而x y V V ∈∃ ,使得}{y X V y -⊂. …………4分 于是'

⊂y V y }{, 由上面的讨论我们知道：

}

{}

{}{}{y X y y

x X y V y x X -∈-∈'⊂=

-

因为}{x X -是一个不可数集，而

}

{x X y u

V -∈' 是一个可数集，矛盾.

从而X 不满足第一可数性公理. ……………………………………7分

3、证明：若极限点不唯一，不妨设1lim i i x y →∞

=,2lim i i x y →∞

=,其中12y y ≠，由于X 是2T 空间，故1y 和2y 各自的开邻域,U V ，使得U V φ⋂=. …………………4分

因1lim i i x y →∞

=，故存在10N >，使得当1i N >时，i x U ∈；同理存在20N >，使得当2i N >时，i x V ∈.令12max{,}N N N =,则当i N >时，i x U V ∈⋂，从而U V φ⋂≠,矛盾，故{}i x 的极限点唯

一. ……………………7分

4、证明：对于x A '∀∈，则()f x x ≠，从而(),f x x 有互不相交的开邻域U 和V ，设1()W f U V -=⋂， …………………………………4分

则W 是x 的开邻域，并且x W A '∈⊂,故A '是开集，

从而A 是闭集. …………………………………………………7分

5、证明：设C 是()f X 的一个由Y 中的开集构成的覆盖.对于任意C ∈C ，1()f C -是X 中的一个开集，由于

c C X ∈⊃C

,从而有：

111()(

)(())C C f C f C f f X X ---∈∈=⊃=C

C

所以1()|f C C -∈A={C}是X 的开覆盖.由于X 是紧致空间，所以A 有一个有限子覆盖，设为111{(),,()}n f C f C --. …………………………………4分

因为11111()()()n n f C f C f C C X ---⋃

⋃=⋃

⋃=，从而1()n C C f X ⋃

⋃⊃，即1{,,}n C C 是 C 的一个子族并且覆盖()f X ，因此()f X 是Y 的一个紧致子

集. ………………………………7分

6、证明：对)(X f X x -∈∀，则x x f ≠)(，由于X 是Hausdorff 空间，存在x 和)(x f 的邻域V U ,1，使得Φ=⋂V U 1.又因为f 连续,故存在x 的邻域2U ,使得V U f ⊂)(2,令21U U U ⋂=,则U 是x 的邻域,且)(X f X U -⊂. ………………………………………………3分 事实上,若存在U z ∈使得)(X f z ∈,即 y X ∃∈使得)(y f z =.于是()()()f z f

f y f y z ===,而V U f z f ⊂∈)()(,

这样,Φ=⋂⊂⋂∈V U V U z 1,矛盾.所以)(X f X U -⊂,即)(X f 是闭集. …………………………………………………………5分