异步电动机的动态数学模型 完整版

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（ 6 -1） 7
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小结:异步电动机的数学模型
➢异步电动机动态数学模型的基本性质 上述动态数学模型方程式表明异步电动机的动态数学模
型是一组非常复杂的非线性方程，其复杂性表现在以下四 个方面：
⑴ 多变量——多输入、多输出（MIMO系统）
异步电动机变频调速需要进行电压和频率的协调控制， 所以有电压和频率两个独立的输入变量；
由于磁链矩阵方程是时变矩阵的，因此异步电动机 在静止坐标系中，数学模型是时变微分方程组，因而 导致异步电动机控制复杂。
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三、转矩方程
TenpL'm[i(AiaiBibiCic)sinr (iAibiBiciCia)sinr(12)0 (iAiciBiaiCib)sinr(12)0]
(61)6
转矩方程式表示电量与机械量的关系，即电动机内部 通过气隙的机电能量的转换关系。
异步电动机通过定子供电，磁通和转速的变化是同时
进行的，为了获得良好的动态性能，需要对磁通进行控
制，所以输出变量除了转速外，还包括磁通。因此异步
电动机的数学模型是一个多输入多输出系统。
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⑵ 强耦合——参数耦合、变量耦合 异步电动机的电压(电流)、频率、磁通、转速互相都有影
响，所以其数学模型又是强耦合的多变量系统。
① 参数之间：主要的耦 Us
A1
合是绕组之间的互感联 (Is)
系。
② 变量耦合：
fs
A2
r
✓电压、频率需要协调变化；
✓输出量磁通、转速都与输入量电压、频率有关。 24
⑶ 非线性——输出量与输入量之间的关系是非线性关系 非线性因素存在于产生旋转电动势和电磁转矩这两个环
节上，还包含在电感矩阵L中( 不考虑饱和时) 。 异步电动机的转矩等于磁通乘电流，而转速乘磁通就得
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1、绕组自感 对于每一相绕组来说，它所交链的磁通是公共主磁通
（互感磁通）与漏感磁通之和，考虑绕组是对称的，因此 定子和转子各相绕组电感分别为：
LAA=LBB=LCC=L’m+Lls Laa=Lbb=Lcc=L’m+Llr
(6-5)
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2、绕组互感 互感与公共主磁通相对应，互感分为两类：
L i （ 6-4 ）
（6-3）
6×6电感矩阵，其中：LAA、LBB、LCC、Laa、Lbb、Lcc
是各自绕组的自感，其余各项则是绕组间的互感。
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➢与电动机绕组交链的磁通有两类：
一类是穿过气隙的公共主磁通（互感磁通）；另一类是 只与定子或转子的一相绕组交链而不穿过气隙的漏磁通。
定子和转子各相漏磁通对应的电感称为定子漏电感Lls和 转子漏电感Llr。
LAa=LaA=LBb=LbB=LCc=LcC=Lsrcosθr =L’mcosθr
LAb=LbA=LBc=LcB=LCa=LaC =Lsrcos(θr+120º)=L’mcos(θr+120º) LAc=LcA=LBa=LaB=LCb=LbC =Lsrcos(θr-120º)=L’mcos(θr-120º)
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LAA LAB LAC Lss LBA LBB LBC
LCA LCB LCC
LAa LAb LAc Lsr LBa LBb LBc
LCa LCb LCc
Laa Lab Lac
Lrr Lba
Lbb
Lbc
Lca Lcb Lcc
LaA LaB LaC
Lrs LbA
Lb B
Lb
C
LcA LcB LcC
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三相异步电机的等效物理模型如下： 定子A、B、C的轴线在空间上固定，以A轴为参考坐标轴； 转子a、b、c的轴线随转子旋转，转速为ωr； 电角度θr为空间角位移变量。
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异步电动机的动态数学模型由电压方程、磁链方程、转 矩方程和运动方程组成。
一、电压方程
定子电压方程：
u
A
u
B
u
C
iA R s iB R s iC R s
到旋转感应电动势。由于它们是同时变化的，在数学模型 中会含有两个变量的乘积项，再加上磁饱和的因素，所以 异步电机的数学模型是非线性的。
非线性： 转矩与输入量（电压、频率）的关系不是线性关系。
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⑷ 高阶 三相异步电动机定子有三个绕组，转子也可等效为三个绕
组，每个绕组产生的磁通都有自己的电磁惯性，共6个绕组 的电磁惯性，再加上运动系统的机械惯性，转速与转角的微 分关系，即使不考虑变频装置的滞后因素，也是一个八阶系 统。所以异步电动机的数学模型是一个高阶系统。
A B
uuCa
0 0
0 0
Rs 0 0 Rr
0 0
00iiCa pCa
ub
0
0
0
0 Rr
0ib
b
uc 0 0 0 0 0 Rric c
(61)
简写成：
u R i p ( 6 2 )
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二、磁链方程！
Li
LAa
A
定子
B Lls
转子
A相的磁链等于：
Ψ A L A i A A L A i B B L A i C C L A i a L a A i b L b A i cc
与定子一相绕组交链的最大互感磁通对应定子互感Lms， 与转子一相绕组交链的最大互感磁通对应转子互感Lmr。
由于折算后定子、转子绕组匝数相等，气隙磁阻相等，
故互感：Lms=Lmr=L’m。
m Nmi
LmNim Nm 2 13
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磁链 L i 方 （ 6 - 4 ） 程
转矩方 T e 程 npL 'm [i(A iaiB ibiC ic)sin r (iA ibiB iciC ia)sin r(12 )0 (iA iciB iaiC ib)sin r1 ( 2 )0 ] (61)6
运动T e 方 T L n J 程 pd d 22 rt T L n J pd dr
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二、坐标变换的原则及约束条件
坐标变换在电路上是一种线性变换，在形式上是一种数学 变换，在实质上是能量的变换，因此必须遵守以下原则：
➢坐标变换原则 ✓ 磁势等效原则。电机是通过气隙磁场传递能量的，为 使变换前后电机的能量关系不变，坐标变换应保证变换 前后产生的磁势是相同的。 ✓ 功率不变原则。使变换前和变换后所计算的功率、转 矩相等。 ✓ 电压变换和电流变换相同原则。这可以带来坐标变换 使用上的方便。（注：电压变换和电流变换矩阵可以是 任意的，但如果用这一条约束则变换矩阵就唯一了）
Tls+1
Tms
n 1 Ce
4
✓同样的理论和方法用来分析与设计交流调速系统时，就不 那么方便了，因为交流电机的数学模型和直流电机模型相比 有着本质上的区别。
➢异步电机的模型是个八阶系统。 异步电机的动态数学模型是一个多变量、非线性、强
耦合的高阶系统。
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6-1 三相异步电动机的数学模型
研究三相异步电机的数学模型时作如下假设： ① 忽略空间谐波和齿槽效应，三相绕组对称，在空 间上互差1 2 0°电角度，所产生的磁动势沿气隙周围按 正弦规律分布； ② 忽略磁路饱和，各绕组的自感和互感都是线性的； ③ 忽略铁芯损耗； ④ 不考虑温度和频率对电机电阻的影响。 ⑤ 无论异步电机转子是绕线式还是鼠笼式，都将它等效成 绕线转子，并折算到定子侧，折算前后的每相匝数相等。
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三、坐标变换的基本思路
➢坐标变换的基本思路：将交流电动机的数学、物理模型 等效变换成类似直流电动机的模型。
✓除单相以外，二相、三相、四相等任意对称的多相绕 组，通以平衡的多相电流，都能产生旋转磁动势。 ✓不同电机模型彼此等效的原则是：在不同坐标下所产 生的磁动势完全一致。
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➢ 不同绕组产生的相同旋转磁场
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四、运动方程
Te
TL
J np
d2r
dt2
TL
J np
dr
dt
（6-17）
其中：TL —负载阻力矩； J —旋转机组的转动惯量。
r 电动机转子的电角速度
由运动方程可知，当负载转矩不变时，通过控制电 磁转矩就可以控制电动机的速度变化。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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小结:异步电动机的动态数学模型
电压 u R i p 方 ( 6 2 )程
d A
dt d B
dt d C
dt
8
转子电压方程：
u
a
u
b
u
c
ia R r ib R r ic R r
d a
dt d b
dt d c
dt
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将电压方程写成矩阵形式，并以微分算子 p 代替微分 符号 d/dt，得：
uA Rs 0 0 0 0 0iA uB 0 Rs 0 0 0 0iB
Lab=Lbc=Lca=Lba=Lcb=Lac=Lrr
≈L’mcos120º=KrL’m
(6-7)
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② 变化互感—定子某一相与转子任一相之间的互感，由 于它们位置是变化的，互感是角位移θr的函数——时变电 感，当定、转子两相绕组轴线重合时，两者之间的互感值 最大，就是每相的最大互感值L’m。 定子与转子之间的互感也与主磁通对应：
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电机的磁链可表达为:
A LAA
B
LBA
Ca
LLCaAA
b
LbA
c LcA
简写成：
LAB LAC LAa LAb LAciA
LBB
LBC
LBa
LBb
LBciB
LCB LaB
LCC LaC
LCa Laa
LCb Lab
LLCacciiCa
LbB
LbC
Lba
Lbb
Lb
cib
LcB LcC Lca Lcb Lcc ic
(a) 三相对称绕组（空间位置
相隔120°）中通以频率为
ωs的三相对称正弦交流电
（相位相差120°）ia、ib、 ic，会产生旋转磁场Φ，以
要实现高动态性能，必须首先研究异步电动机的动态 数学模型，高性能的传动控制，如矢量控制（磁场定向 控制）是以动态d-q模型为基础的。
2
➢直流电机的数学模型
✓直流电机的磁通由励磁绕组产生， I a
If
可以在电枢合上电源以前建立起
来而不参与系统的动态过程(弱磁
调速时除外)。因此它的动态数学
模型只是一个单输入和单输出系
① 恒定互感—定子三相A , B , C 之间的互感，转子三相a , b ,c 之间的互感，由于它们之间的位置都是固定的，故互 感为常值。
定子三相之间的互感与主磁通对应：
LAB=LBC=LCA=LBA=LCB=LAC=Lss
≈L’mcos120º=KsL’m
（6-6）
转子三相之间的互感与主磁通对应：
第6讲：异步电机的动态数学模型和坐标变换
（参考书：电力牵引交流传动及其控制系统 第4章） （电动机控制 第8章）
6-1 三相异步电动机的数学模型 6-2 常用的坐标系和坐标变换 6-3 三相异步电机的动态模型简化
1
➢研究背景： 当异步电动机用于机车牵引传动、轧钢机、数控机床、
机器人、载客电梯等高性能调速系统和伺服系统时，系 统需要较高甚至很高的动态性能，仅用基于稳态模型的 各种控制不能满足要求。
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完整的磁链方程以矩阵形式可以表示为：
式中：
Ψ ΨsrLLsrss
Lsris Lrrir
ΨsA B C T Ψra b cT
isiA iB iCT
iria ib icT
Lss——定子自感矩阵，常数矩阵
Lrr——转子自感矩阵，也为常数矩阵
Lsr——转子对定子的互感矩阵，为时变矩阵
Lrs——定子对转子的互感矩阵，也为时变矩阵
统。
Idl
Uct
Ud0+
KS
_
1/R Id +
RE
TSs+1
Tls+1
Tms
n 1 Ce
3
✓工程上能够允许的一些假定条件下，可以描述成单变量 （单输入单输出）的三阶线性系统，完全可以应用经典的线 性控制理论和由它发展而来的工程设计方法进行分析与设计。
Idl
Uct
Ud0+
KS
_
1/R Id +
RE
TSs+1
因此，异步电动机的动态数学模型是一个高阶、非线性、 强耦合的多变量系统，分析和求解十分困难，在实际应用 中，必须设法予以简化。
如何简化？
坐标变换
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6-2 常用坐标系和坐标变换
一、常用坐标系
① 静止坐标系——参考坐标固定不动的坐标系：如，ABC 三相坐标系，它是建立三相绕组磁链方程和电压方程的自 然坐标系；αβ0两相坐标系，它是两相绕组的自然坐标系； ② 同步旋转坐标系——参考坐标以同步转速旋转的坐标 系，dq0坐标系。当满足磁场定向条件时，称为MT坐标系。