波函数和薛定谔方程-力学量算符

波函数和薛定谔方程-力学量算符1．一维运动的粒子处在

的状态，其中，求：

（1）粒子动量的几率分布函数；

（2）粒子动量的平均值。

[解]首先将归一化，求归一化系数A。

（1）动量的几率分布函数是

注意到中的时间只起参数作用，对几率分布无影响，因此可有

令

代入上式得

（2）

动量p的平均值的结果从物理上看是显然的，因为对本题说来，粒子动量是和是的几率是相同的。讨论：

①一维的傅里叶变换的系数是而不是。

②傅里叶变换式中的t可看成参变量。因此，当原来坐标空间的波函数不含时间变量时，

即相当于的情况，变换式的形式保持不变。

③不难证明，若是归一化的，则经傅里叶变换得到也是归一化的。

2．设在时，粒子的状态为

求粒子动量的平均值和粒子动能的平均值。

[解]方法一：根据态迭加原理和波函数的统计解释。任意状态总可以分解为单

色平面波的线性和，即，展开式的系数表示粒子的动量为p时的几率。知道了几率分布函数后，就可按照

求平均值。

在时，动量有一定值的函数，即单色德布罗意平面波为，与的展开式比较可知，处在状态的粒子动量可以取

，而，

粒子动量的平均值为

A可由归一化条件确定

故

粒子动能的平均值为

。

方法二：直接积分法

根据函数的性质，只有当函数的宗量等于零时，函数方不为零，故的可能值有

而

则有及。

讨论：①由于单色德布罗意平面波当时不趋于零，因此的归一化积分是发散的，故采用动量几率分布的概念来求归一化系数。

②本题的不是平方可积的函数，因此不能作傅氏积分展开，只能作傅氏级数展

开，即这时对应于波函数的是分立谱而不是连续谱，因此计算积分，

得到函数。

③在连续谱函数还未熟练以前，建议教学时只引导学生按方法一做，在第三章函

数讲授后再用函数做一遍，对比一下，熟悉一下函数的运算。

3．一维谐振子处在

的状态，求：

（1）势能的平均值；

（2）动量的几率分布函数；

（3）动能的平均值

[解]先检验是否归一化。

是归一化的。

（1）

.

其中应用及

（2）由于是平方可积的，因此可作傅氏变换求动量几率分布函数

其中，

（3）

其中

由此得出结论，对于处在基态的谐振子来说，动能的平均值和势能的平均值相等。

4．求一维谐振子处在第一激发态时几率最大的位置。

[解]一维谐振子的波函数为

式中

为厄密多项式。

对于第一激发态

故

处在第一激发态的几率正比于

欲求其最大值，必须满足

即有

讨论：①

在处有极值，这是由于一维谐振子的波

函数本来就是对原点对称的缘故，这从物理上看

是很清楚的，当及时，几率

，故和几率的关系大致如图示。

②假如过渡到经典情况，相当于，这时

。这在经典力学看来是完全合理的，因为从经典的观点来看，谐振子处在原点几率最大，因为处在原点能量最低。

5．设氢原子处在

的态，为玻尔半径，求

（1）r的平均值；

（2）势能的平均值；

（3）动量几率分布函数。

[解] 先检验是否归一化。

这表明是归一化的。

（1）

（2）

这个结果和旧量子论中，氢原子的电子沿波尔半径所规定的轨道运动时的库仑能一致。

（3）

选用球坐标，且使y轴与的方向一致，则有

其中令，且应用了

再令

则

6．粒子在势能为

的场中运动，证明对于能量的状态，能量由关系式

决定，其中

[解]势能与坐标的关系如图示，按值的不同

可分为三个区域Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ。分别应用薛定谔方程，有

Ⅰ：，

其中：

Ⅱ：其中：

Ⅲ：其中：它们的解分别为

，

边界条件：

当；则

当，；则

连接条件（波函数的标准条件）

在处，

在处，

在处，

在处，

在上面四个式子，由第一和第三式可得

由第二和第四式可得

而

故

其中令

于是有

由，得

由可得

讨论：①对于束缚态的问题，我们总是先按不同的要求写出薛定谔方程，求出解。然后再利用边界条件和波函数的标准条件定解。这种方法具有一般性。

②把Ⅰ、Ⅲ两区域的解写成指数形式，是因为能够利用边界条件把两个任何常数的问

题变为只有一个任意常数的问题。而在区域Ⅱ中没有边界条件。又因所要求的结

果具反三角函数的形式，因此把Ⅱ的解写成三角函数的形式。原则上，写面指数

或三角函数形式是任意的，若选择得当，往往可使问题的求解较为简捷。7．粒子处在势能为

的场中运动，求在能量小于的情况下决定粒子能量的关系式。

[解]对区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别有

Ⅰ：

Ⅱ：

Ⅲ：

其解分别为

边界条件：

当时，

当时，；

于是

连接条件：

当时，，

，

当时，，

，

上列四式可重写为齐次方程式为下：

这个方程组要得到非零解，必须其系数行列式为零，故有

解之得

它与

三式决定粒子的能量。

8．求三维谐振子的能级，并讨论它的简并情形。

[解]三维谐振子的哈密顿为

其中