正态分布习题与详解(非常有用,必考点)

1. 若x ～N (0,1),求(l)P (-

2.322). 解：(1)P (-2.32

=Φ(1.2)-[1-Φ(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.

(2)P (x >2)=1-P (x <2)=1-Φ(2)=l-0.9772=0.0228. 2利用标准正态分布表，求标准正态总体

(1)在N(1,4)下，求)3(F （2）在N （μ，σ2

）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）； 解：（１）)3(F ＝)2

1

3(

-Φ＝Φ（1）＝0.8413 （２）Ｆ（μ＋σ）＝)(σ

μ

σμ-+Φ＝Φ（1）＝0.8413

Ｆ（μ－σ）＝)(

σ

μ

σμ--Φ＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587 Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.6826 3某正态总体函数的概率密度函数是偶函数，而且该函数的最大值为

π

21，求总体落入区

间（－1.2，0.2）之间的概率 Φ（0.2）=0.5793, Φ（1.2）=0.8848]

解：正态分布的概率密度函数是),(,21)(2

22)(+∞-∞∈=

--

x e

x f x σμσ

π，它是偶函数，

说明μ＝0，)(x f 的最大值为)(μf ＝σ

π21，所以σ＝1，这个正态分布就是标准正态分

布 ( 1.20.2)(0.2)( 1.2)(0.2)[1(1.2)](0.2)(1.2)1

P x -<<=Φ-Φ-=Φ--Φ=Φ+Φ-

0.57930.884810.4642=+-=

4.某县农民年平均收入服从μ=500元，σ=200元的正态分布 1）求此县农民年平均收入在500520元间人数的百分比；（2）如果要使此县农民年平均收入在（a a +-μμ,）

内的概率不少于0.95，则a 至少有多大？[Φ（0.1）=0.5398, Φ（1.96）=0.975] 解：设ξ表示此县农民年平均收入，则)200,500(~2

N ξ 520500500500

(500520)(

)()(0.1)(0)0.53980.50.0398200200

P ξ--<<=Φ-Φ=Φ-Φ=-=（2）∵()()()2()10.95200200200

a a a

P a a μξμ-<<+=Φ-Φ-=Φ-≥，

()0.975200

a ∴Φ≥ 查表知： 1.96392200a

a ≥⇒≥

1设随机变量

(3,1),若,,则P(2

( B)l —p

C ．l-2p

D ．

【答案】 C 因为,所以

P(2

,选 C ．

2．(2010·新课标全国理)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X ，则X 的数学期望为( )

A ．100

B ．200

C ．300

D ．400[答案] B

[解析] 记“不发芽的种子数为ξ”，则ξ～B (1 000，0.1)，所以E (ξ)＝1 000×0.1＝100，而X ＝2ξ，故E (X )＝E (2ξ)＝2E (ξ)＝200，故选B.

3．设随机变量ξ的分布列如下：

其中a ，b ，c 成等差数列，若E (ξ)＝1

3，则D (ξ)＝( )

A.49 B ．－19 C.23 D.59 [答案] D

[解析] 由条件a ，b ，c 成等差数列知，2b ＝a ＋c ，由分布列的性质知a ＋b ＋c ＝1，又E (ξ)＝－a ＋c ＝13，解得a ＝16，b ＝13，c ＝12，∴D (ξ)＝16×⎝

⎛⎭⎫－1－132＋13⎝⎛⎭⎫0－132＋12⎝⎛⎭⎫1－132＝5

9. 4．(2010·上海松江区模考)设口袋中有黑球、白球共7个，从中任取2个球，已知取到白球个数的数学期望值为6

7

，则口袋中白球的个数为( )A ．3 B ．4 C ．5 D ．2

[答案] A

[解析] 设白球x 个，则黑球7－x 个，取出的2个球中所含白球个数为ξ，则ξ取值0,1,2， P (ξ＝0)＝C 7－x 2C 72＝(7－x )(6－x )42，

P (ξ＝1)＝x ·(7－x )C 72＝x (7－x )

21，

P (ξ＝2)＝C x 2C 72＝x (x －1)

42

，

∴0×(7－x )(6－x )42＋1×x (7－x )21＋2×x (x －1)42＝6

7，

∴x ＝3.

5．小明每次射击的命中率都为p ，他连续射击n 次，各次是否命中相互独立，已知命中次数ξ的期望值为4，方差为2，则p (ξ>1)＝( )

A.255256

B.9256

C.247256

D.764 [答案] C

[解析] 由条件知ξ～B (n ，P )，

∵⎩⎪⎨⎪⎧ E (ξ)＝4，D (ξ)＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧

np ＝4np (1－p )＝2

， 解之得，p ＝1

2

，n ＝8，

∴P (ξ＝0)＝C 80×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫128＝⎝⎛⎭⎫128

， P (ξ＝1)＝C 81×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫127＝⎝⎛⎭⎫125， ∴P (ξ>1)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1) ＝1－⎝⎛⎭⎫128－⎝⎛⎭⎫125＝247256.

5已知三个正态分布密度函数φi (x )＝12πσi

e －(x －μi )22σi 2(x ∈R ，i ＝1,2,3)的图象如图所示，

则( )

A ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3

B ．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3

C ．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3

D ．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 [答案] D

[解析] 正态分布密度函数φ2(x )和φ3(x )的图象都是关于同一条直线对称，所以其平均数相同，故μ2＝μ3，又φ2(x )的对称轴的横坐标值比φ1(x )的对称轴的横坐标值大，故有μ1<μ2＝μ3.又σ越大，曲线越“矮胖”，σ越小，曲线越“瘦高”，由图象可知，正态分布密度函数φ1(x )和φ2(x )的图象一样“瘦高”，φ3(x )明显“矮胖”，从而可知σ1＝σ2<σ3.

6①命题“”的否定是:“”;

②若

,则的最大值为4;

③定义在R 上的奇函数

满足

,则

的值为0;