两个随机变量的函数的分布

把长度为a的线段在任意两点折断 把长度为 的线段在任意两点折断 成为三线段， 成为三线段，求它们可以构成三角形的 概率. 概率 长度为a 长度为
设随机变量X 相互独立,且均服从标准正 例7 设随机变量 1和X2相互独立 且均服从标准正 态分布N~(0,1),求Y= X1+X2的概率密度函数 的概率密度函数. 态分布 求 x12 x22 1 −2 1 −2 解 由题意得 f ( x ) = e , f2 (x2 ) = e 1 1 2π 2π
概率论与数理统计
课件制作：应用数学系 概率统计课程组
第五节 二维随机变量的函数分布
3.5.1 和的分布
3.5.1.1 离散型随机变量和的分布 3.5.1.2 连续型随机变量和的分布
3.5.2 一般函数 3.5.4
Z = g( X ,Y )
的分布
最大值、 最大值、最小值的分布
在第二章中，我们讨论了一维随机函数的分 在第二章中， 现在我们进一步讨论: 布，现在我们进一步讨论 当随机变量X 的联合分布已知时， 当随机变量 1, X2, …,Xn的联合分布已知时， 如何求出它们的函数 Y=g(X1, X2, …,Xn), i=1,2,…,m 的分布? 的分布 我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题， 我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题， 然后将其推广到多个随机变量的情形. 然后将其推广到多个随机变量的情形
i=0 r r
由独立性
此即离散 卷积公式
= ∑P( X = i)P(Y = r − i)
i=0
=a0br+a1br-1+…+arb0
r=0,1,2, …
相互独立,它们分别服从参数为 例2 若X和Y相互独立 它们分别服从参数为 和 相互独立 λ ,λ2 的泊松分布 的泊松分布, 1 证明Z=X+Y服从参数为 λ + λ2的泊松分布 证明 服从参数为 1 . 解：依题意
' Z −∞
∞
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以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式. 以上两式是两个随机变量和的概率密度的一般公式
特别， 独立， 关于X,Y的边缘 特别，当X和Y独立，设(X,Y)关于 和 独立 关于 的边缘 密度分别为f 则上述两式化为: 密度分别为 X(x) , fY(y) , 则上述两式化为
fZ (z) = ∫ fX (z − y) fY ( y)dy
是在n 故Z=X+Y 是在 1+n2次独立重复试验 中事件A出现的次数 每次试验中A出现 出现的次数， 中事件 出现的次数，每次试验中 出现 的概率为p,于是 是以（ 于是Z是以 的概率为 于是 是以（n1+n2，p）为参数 ） 的二项随机变量 ，Ｙ～B(n２,p)， 即:若X与Y相互独立，X～B(n1,p)，Ｙ～ 若 与 相互独立， ～ ，Ｙ～ ， X+Y～ 则 X+Y～B(n1+n2,p)
fZ (z) = ∫ fX (x) fY (z − x)dx
−∞
∞
为确定积分限,先找出使被积函数不为 的区域 为确定积分限 先找出使被积函数不为0的区域 先找出使被积函数不为
0≤ x ≤1 0 ≤ z − x ≤ 1
即
0≤ x ≤1 x ≤ z ≤ x + 1
fZ (z) = ∫ fX (x) fY (z − x)dx −∞ 为确定积分限,先找出使被积函数不为 先找出使被积函数不为0的区域 为确定积分限 先找出使被积函数不为 的区域
x2 +∞ − 2 −∞
( y−x)2 − 2
结论: 结论 两个独立的正态分布的随机变量的和 仍服从正态分布. 仍服从正态分布 .即:若X1~N(µ1,σ12), X2~N(µ2,σ22), X1,X2独立 则 即若 独立,则 X1+X2~N(µ1+ µ2,σ12+ σ22)
e λ P( X = i) = i! e−λ2λ2j P(Y = j) = j! 由卷积公式
−λ1
r i=0
i 1
i=0,1,2,… j=0,1,2,…
P(Z = r) = ∑P( X = i,Y = r − i)
由卷积公式r P(Z = r) = ∑P( X = i,Y = r − i)
= ∑ -λ1 e
=
x+y≤z
∫∫
f (x, y)dxdy
1 x
= ∫∫ fX( x) fY ( y)dxdy
x+ y≤z
当z < 0 时， FZ (z) = 0
当0 ≤ z < 1 时，
FZ (z) = ∫ dx∫
0
z 0
z
z−x
y
0
1dy
1 •z •z 1 x
= ∫ (z − x)dx
z = 2
2
fZ (z) = z
当1≤ z < 2 时，
F (z) = (z −1 + ∫z−1 ∫0 1dy ) dx Z
1
z−x
y •z 1 z-1 1•z x
= z −1+ ∫z−1(z − x)dx
z = 2z − −1 2 fZ (z) =2 − z
2
1
当2 ≤ z 时，
y 2 1
F (z) =1 Z fZ (z) = 0
X1和X2相互独立 故 相互独立,故
+∞
1 fY ( y) = ∫ f1( y − x) f2 (x)dx= dx ∫ e e −∞ 2π y2 y t y +∞ −u2 − −( x− )2 +∞ 1 ( e 4 ∫ e 2 dx 令 = x − 2 ∫−∞ e du = π ) = −∞ 2 2π y2 t2 y2 − +∞ − 1 1 −4 4 2 e ∫ e dt= = Y ~ N(0,2) e −∞ 2 2π 2 π
和的分布： 和的分布：Z = X + Y 一、离散型分布的情形 独立， 例1 若X、Y独立，P(X=k)=ak , k=0,1,2,…, 、 独立 P(Y=k)=bk , k=0,1,2,… , 的概率函数. 求Z=X+Y的概率函数 的概率函数 解:
P(Z = r) = P( X +Y = r)
= ∑P( X = i,Y = r − i)
1 2
0, fZ (z) = z, 2 − z,
z < 0或 > 2 z 0 < z <1 1< z < 2
x
甲乙两人约定中午12 30分在某地会面 12时 分在某地会面. 例6 甲乙两人约定中午12时30分在某地会面. 如果甲来到的时间在12 15到12:45之间是均匀 12: 如果甲来到的时间在12:15到12:45之间是均匀 分布. 乙独立地到达,而且到达时间在12 00到 12: 分布. 乙独立地到达,而且到达时间在12:00到 13:00之间是均匀分布 之间是均匀分布. 13:00 之间是均匀分布 . 试求先到的人等待另 一人到达的时间不超过5分钟的概率. 一人到达的时间不超过 5 分钟的概率 . 又甲先 到的概率是多少？ 到的概率是多少？ 为甲到达时刻, 解: 设X为甲到达时刻,Y为乙到达时刻 为甲到达时刻 为乙到达时刻 12时为起点 以分为单位,依题意, 时为起点, 以12时为起点,以分为单位,依题意 X~U(15,45), Y~U(0,60)
−∞
∞
fZ (z) = ∫ fX (x) fY (z − x)dx
−∞
∞
这两个公式称为卷积公式 这两个公式称为卷积公式 .
例5 若X和Y 独立 具有共同的概率密度 和 独立,具有共同的概率密度
1, 0 ≤ x ≤ 1 f ( x) = 求Z=X+Y的概率密度 . 的概率密度 0, 其它 解: 由卷积公式
为甲到达时刻， 为乙到达时刻 解: 设X为甲到达时刻， Y为乙到达时刻 12时为起点 以分为单位，依题意， 时为起点， 以12时为起点，以分为单位，依题意， X~U(15,45), Y~U(0,60) 1 1 , 15 < x < 45 , 0 < x < 60 fX (x) = 30 fY ( y) = 60 0, 其 它 0, 其 它 由独立性 先到的人等待另一人 甲先到 1 到达的时间不超过5分钟 到达的时间不超过 分钟 x < 45,0 < y < 60的概率 , 15 < f (x, y) 的概率 = 1800 0, 其 它 所求为P( 所求为 |X-Y |≤5) 及P(X<Y)
f (x, y)dx]dy
=∫
z− y ∞ −∞ −∞
[∫
f ( x, y)dy]dx
∞ −∞
fZ (z) = F (z) = ∫ f (z − y, y)dy
' Z
的对称性, 由X和Y的对称性 fZ (z)又可写成 和 的对称性 又可写成
fZ (z) = F (z) = ∫ f (x, z − x)dx
相互独立， 例3 设X和Y相互独立，X~B(n1,p),Y~B(n2,p), 和 相互独立 的分布. 求Z=X+Y 的分布 我们给出不需要计算的另一种证法: 我们给出不需要计算的另一种证法 回忆第二章对服从二项分布的随机变 量所作的直观解释: 量所作的直观解释 若X~ B(n1,p),则X 是在 1次独立重复试 则 是在n 验中事件A出现的次数 每次试验中A出现的 出现的次数,每次试验中 验中事件 出现的次数 每次试验中 出现的 概率都为p. 概率都为 同样， 是在 次独立重复试验中事件A出现 是在n 同样，Y是在 2次独立重复试验中事件 出现 的次数,每次试验中 出现的概率为p. 每次试验中A出现的概率为 的次数 每次试验中 出现的概率为
40
=1/2
10 −
0
15
45
x
解二： 解二：P(| X-Y| ≤5) 1 = ∫∫ dxdy 1800 |x−y|≤5
y
60−
40
−
x − y = −5 x −y =5
=1/6
1 − = [60×30 − 2(10×30 + 30×30/10 − 2)] 1800 0
被积函数为常数， 被积函数为常数， 直接求面积
= ∫∫ f (x, y)dxdy
D
这里积分区域D={(x, y): x+y ≤z} 这里积分区域 是直线x+y =z 左下方的半平面 左下方的半平面. 是直线
F (z) = Z
x+y≤z
∫∫ f (x, y)dxdy
∞ z−y −∞ −∞
化成累次积分,得 化成累次积分 得
F (z) = ∫ [∫ Z
0 ≤ x ≤1 0 ≤ x ≤1 即 0 ≤ z − x ≤1 x ≤ z ≤ x +1 如图示: 如图示
∞
z dx = z, 0 ≤ z <1 ∫0 1 fZ (z) = ∫ dx = 2 − z, 1≤ z < 2 z−1 0, 其 它
于是
可用卷积公式直接求密度函数与 可用卷积公式直接求密度函数与通过分布函数求 卷积公式直接求密度函数 密度函数两种方法求和的分布 密度函数两种方法求和的分布 y 解法二 从分布函数出发 1 F (z) = P(X +Y ≤ z) Z
15
y
−
−
45
x
x=y
60−
P(X <Y) =P(X >Y) =1/2
40
10 −
0
15
45
x
类似的问题如： 类似的问题如： 乙两船同日欲靠同一码头， 甲、乙两船同日欲靠同一码头，设两船 各自独立地到达， 各自独立地到达，并且每艘船在一昼夜间到 若甲船需停泊1小时， 达是等可能的 . 若甲船需停泊1小时，乙船 需停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船， 需停泊2小时，而该码头只能停泊一艘船，试 求其中一艘船要等待码头空出的概率. 求其中一艘船要等待码头空出的概率.
i=0
i=0 r
i λ1
i!
⋅ e-λ2
r
r λ2-i
(r - i)!
=
e
−(λ +λ2 ) 1
r!
r! i r-i ∑i!(r - i)! λ1λ2 i=0
=
e
−(λ +λ2 ) 1
r!
(λ + λ2) , 1
r
r=0,1，… ，
的泊松分布. 即Z服从参数为 λ + λ2 的泊松分布 服从参数为 1
二项分布的可加性
类似已知:若 相互独立,X~P(λ1),Y~P(λ2), 类似已知 若X,Y相互独立 相互独立 则 X+Y~P(λ1+λ2)
Possion分布的可加性 分布的可加性
和的分布： 和的分布：Z = X + Y 一、连续型分布的情形 例4 设X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=X+Y的密度 和 的联合密度为 求 的密度 的分布函数是: 解: Z=X+Y的分布函数是 的分布函数是 FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z)
解一： 解一： P(| X-Y| ≤5) =P( -5< X -Y <5)
1 = ∫ [∫ dy]dx 15 x−5 1800
45 x+5
y
60− 40
− −
x − y = −5 x −y =5
10 −
0
15
y
− −
45
x
x=y
=1/6 P(X<Y) = ∫ [∫
15 45 60
60−
x
1 dy]dx 1800