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二级结论在解析几何中的作用

一

椭圆、双曲线的“垂径定理”

1. （ 14 浙江理）设直线

x

3y m 0(m 0) 与双曲线 x 2

y 2 1（）两条渐近线分别交于

a 2

b 2

点 A, B ，若点 P(m,0) 满足 PA PB , 则该双曲线的离心率是 __________.

2. 已知点 是椭圆

x 2

y 2 1(a b 0) 的右焦点，过原点的直线交椭圆于点

， 垂直

a 2

b 2

于 轴，直线 交椭圆于点 ， PB

PA ，则该椭圆的离心率

__________.

3. 设动直线

与椭圆

交于不同的两点

与双曲线

交于不同的两点

且

则符合条件的直线共有 ______ 条.

4. 已知某椭圆的焦点是

过点 并垂直于

轴的直线与椭圆的一个交

点 为 ， 且

. 椭 圆 上 不 同 的 两 点

满 足 条 件 ：

成等差数列 .

（1）求该椭圆方程；

（2）求弦中点的横坐标；

（3）设弦

的垂直平分线的方程为

，求 的取值范围 .

5. （ 16 四川）已知椭圆

： x

2

y 2

1(a b

0) 的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形

a 2

b 2

的三个顶点，点

在椭圆 上 .

( Ⅰ) 求椭圆 的方程；

( Ⅱ) 设不过原点 且斜率为 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，线段 的中点为 ，直线

与椭圆 交于

，证明：

二 圆锥曲线的共圆问题

6. （ 11 全国）已知 O 为坐标原点， F 为椭圆 C : x 2

y 2

1 在 y 轴正半轴上的焦点，过 F

2

且斜率为 - 2 的直线 l

uuur uuur

uuur 与 C 交于 A 、B 两点，点 P 满足 OA

OB

OP 0.

（Ⅰ）证明：点P 在 C 上；

（Ⅱ）设点 P 关于点 O的对称点为 Q，证明： A、 P、 B、 Q四点在同一圆上．

7. 已知抛物线：2（ p＞0）的焦点为，直线与轴的交点为，与

C 的交点为，

C y =2px Q 且|QF|=|PQ| ．

（Ⅰ）求 C的方程；

（Ⅱ）过 F 的直线 l 与 C相交于 A，B 两点，若 AB的垂直平分线l ′与 C相交于 M，N两点，

且 A， M， B， N四点在同一圆上，求l 的方程．

二抛物线的性质

8.（ 14四川）已知为抛物线的焦点，点，在该抛物线上且位于轴的两侧，（其中为坐标原点），则与面积之和的最小值是（）

A、B、 C 、 D 、

9. （ 15 新课标）在直角坐标系中，曲线C y

=x2与直线

y kx a

(

a

＞ 0) 交与

M N

两：,

4

点，

（Ⅰ）当 k=0时，分别求 C在点 M和 N处的切线方程；

（Ⅱ） y 轴上是否存在点P，使得当 k 变动时，总有∠ OPM=∠ OPN说明理由。

9.（ 14山东）已知抛物线 C : y2 2 px( p0) 的焦点为 F ， A 为 C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线 l 交 C 于另一点 B ，交 x 轴的正半轴于点 D ，且有| FA || FD |.当点A的横坐标为 3 时，ADF为正三角形 .

（Ⅰ）求 C 的方程；

（Ⅱ）若直线 l1 // l ，且 l1和 C 有且只有一个公共点 E .

（ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；

（ⅱ）ABE的面积是否存在最小值若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 10.点到点及直线的距离都相等，且这样的点只有一个，求值 .

三椭圆、双曲线的性质

11.已知两点及，点在以、为焦点的椭圆上，且、、构成等差数列 .

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点，是直线上的两点，且， . 求四边形面积的最大值 .

M y

l

N

12. 已知双曲线的左焦点为，左准线与轴交于

F

1O

F2x

点，过点的直线与双曲线交于两点，且满足，，则的值为

13. 双曲线

的倾斜角分为的左右顶点分别为

, 且

点是第一象限内双曲线上的点，若直线

，那么

，

14.（ 10 北京）在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A（ -1,1 ）关于原点 O对称， P 是动点，且直线 AP与 BP的斜率之积等于 .

( Ⅰ ) 求动点 P 的轨迹方程；

( Ⅱ ) 设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P 使得△ PAB与△ PMN的面积相等若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由.

四中线长定理

15. 设 O 为坐标原点， , 是双曲线（ a＞ 0，b＞ 0）的焦点，若在双曲线上存在点 P，满足∠

P=60°，∣ OP∣ =, 则该双曲线的渐近线方程为

16.双曲线

x2y 2

412

b2 =1( b∈ N) 的两个焦点F、 F ， P 为双曲线上一点，| OP|＜5,|PF1|,| F1F2|,|PF2|成等比数列，则 b2=_________.