第三章 电路的暂态分析

)0
，电感相当于断路。
27
3.2 RC电路的暂态响应
一、零输入响应
输入信号为零时由电路的初始状态所产生的响应
1 K
R 2
i
C
+ U_
uR
uC
换路前，开关K合在1上， 电容元件已充电，电路处 于稳态。 t=0+时将开关由1合到 2，产生换路。
换路前，电容充电
uC (0 ) U
电容两端的电 压如何变化？
uC +
灯
_
C
R
当电路中有储能元件电感或电容时， 电感和电容上会有一定的储能。
自然界物体所具有的能量不能突变，能量的积累或 释放需要一定的时间。
dW 因 p , 若能量突变，就会出现 p dt 的结果，这在客观上是不可能的。
5
1 2 电容C存储的电场能量 （Wc Cu ） 2
WC
不能突变
uL (0 ) 10V
i K (0 ) 10 i R (0 ) iC (0 ) 5 10 0 (10) 5 15 mA
25
特例
t=0 Ro Us
t=0+等效电路图
S
C R
Ro Us
S
R
+
+
－
t=0
－
Ro Us
S
L R
Ro Us
S
R
26
+
+
－
－
小结
iL (0 ), u L (0 )


uL 发生了突变

uL (0 ) 20 0 20V
13
例
K . U V R L
已知:
iL
U 20 V、R 1k、L 1H
电压表内阻
RV 500k
设开关 K 在 t = 0 时打开。 求: K打开的瞬间,电压表两端的电压。
换路前
第三章 电路的暂态分析
暂态过程及换路定则 RC电路的暂态过程 一阶线性电路暂态分析的三要素法
1
3.1 暂态过程和换路定则
一、电路的暂态过程 S
R
+ uC _ 灯
开关由闭合到打开，灯的状态如何变化 不亮 亮 不亮
+
_
E
C
R
稳态
暂态
稳态
S + _
R
稳态
E
R
灯
稳态 亮 不亮
2
R
为什么研究暂态过程
研究暂态过程的意义：暂态过程是一种自然现象，
根据换路定则 uC (0 ) uC (0) U
28
应用KVL和元件的VCR得：
Ri uc 0
特征根方程：
duc RC uc 0 dt
R K
t RC
RCp 1 0
p 1 RC

i
C
2
uR
uC
pt u ( t ) ke ke 得通解： c
代入初始条件得： k
iK
10mA
iR
iC
2kΩ
iL 1kΩ 2kΩ 电容开路，
电感短路
uC
uC (0 ) 10 i L (0 ) 10 2 2 10 V 2 2
uL
2 5 mA 2 2
23
（2)根据换路定则
uC (0 ) uC (0 ) 10 V i L (0 ) i L (0 ) 5 mA
(3)画出t＝0+的等效电路
iK 10mA
iR
iC 2kΩ
iL 1kΩ uL 10V
2kΩ 5mA
24
iK 10mA
iR
iC 2kΩ
iL 1kΩ uL 10V
2kΩ
5mA
i R (0 ) 0 A
iC (0 ) 1 10 0
2 5 uL (0 ) 0
iC (0 ) 10 mA
4. 由0+电路求所需各变量的0+值。
12
例
K
uR
t=0 R
根据换路定则
U
iL
uL
iL (0 ) iL (0 ) 0 A
i L 不能突变


已知: R=1kΩ, L=1H , U=20 V、
换路后电压方程 :
U i L (0 ) R uL (0 )


开关闭合前 iL 0 A
设 t 0 时开关闭合 求:
1. 换路瞬间，
uC、iL 不能突变。其它电量均可
uC (0 ) U0 0， 电容相当于恒压
uC (0 ) 0，电容相当于短路
电感相当于恒流源，其值

能突变，变不变由计算结果决定；

2. 换路瞬间，
源，其值等于 U 0 ；

3. 换路瞬间， L
i (0 ) I0 0

iL (0 等于 I 0 ；
uC
不能突变
1 2 电感 L 储存的磁场能量 （WL LiL ） 2
WL
不能突变
iL
duC iC C dt
不能突变
换个角度看
diL uL L dt
这是不 存在的
6
如果uc ，iL 能够突变，则
iC , uL
思考
对于一个电路如果存在上 述条件，就一定会产生暂态过程吗 1 +
uC (0 ) uC (0) 0
应用KVL和元件的VCR得：
Ri uc U
duc RC uc U dt
一阶非齐次线性微分方程的解由（特解＋通解）两部分组成：
uC (t ) u'C u"C
电容两端的电 压如何变化？ 34
uC ( t ) u' C u"C U Ue u R ( t ) U uC Ue
对它的研究很重要。暂态过程的存在有利有弊。有利
的方面，如电子技术中常用它来产生各种波形；不利
的方面，如在暂态过程发生的瞬间，可能出现过压或
过流，致使设备损坏，必须采取防范措施。
3
本章的重点内容是介绍如何对一阶暂态电路 进行分析。典型的电路图如下：
R
t =0
+
K
R２
_U
uR uL
iL
L
+ _ E
2k
K
2
R
E
+ _E
_
uC
+
_
C
换路前储能元件具 有的能量与换路后 到达新的稳态所具 有的能量不同，换 路后才会发生暂态 过程。
结论：上述条件是必要条件，而不是充分条件。
7
对电路进行暂态分析的实质？
分析电路的暂态过程就是根据激励（电压源或电流源）， 求电路的响应（电压和电流）。
t =0
+
K
R２
分析电路暂态过程的基本依据：
思考
电感元件的电压和电 容元件的电流能否突 变？电路中还有哪些 量可以突变？
K + 6V _
2
R
i
i2
R1 2k
R2 1k
1
2k
i1
uL
uC
i2 uC 0 3V t 0 1.5mA 1.5mA t 0 4.5mA 1.5mA 3mA 3V
电量
i
i1 iL
uL
0 3V
21
例
iK 10mA iR K iC 2kΩ iL 1kΩ 2kΩ
U 20 iL (0 ) 20 mA R 1000

换路瞬间
iL (0 ) iL (0 ) 20mA
(大小,方向都不变)
14


K U
L
V
ห้องสมุดไป่ตู้
iL
R
iL (0 ) iL (0 ) 20 mA
K
时的等 效电路
V
t=0+
uV (0 ) iL (0 ) RV
V 2010 50010 10000V
U _
uR uL
iL
L
元件的伏安关系 基尔霍夫定律
KCL KVL
uR uL U
di L uL L dt
uR RiL
di L uL L dt duC iC C dt uR Ri
di L RiL L U dt
8
t =0
+
K
U _
uR iL uL L
R２
di L RiL L U dt
30
uc ( t ) Ue
t
e
t

t


0 2 3 4 5 … ∞ 1 0.368 0.133 0.03 0.018 0.007 … 0
理论上，
t 电路才达到新的稳态。
工程上，
t ( 3 ~ 5)
认为暂态过程结束。
U
36.8%U
uC
K 2
R

t
C
31
的物理意义: 决定电路暂态过程变化的快慢。
则：
uC (0 ) uC (0 )


iL (0 ) iL (0 )


11
2、初始电压、电流的确定
初始值（起始值）：电路中 u、i 在 t=0+ 时的大小。 求解步骤如下： 1. 由换路前电路,求uC(0－)和iL(0－)； 2. 由换路定则得 uC(0+) 和 iL(0+)。 3. 画0+等效电路。 a. 换路后的电路 b. 电容（电感）用电压源（电流源）替代。 （大小取0+时刻值，方向同换路前假定的电容电 压、电感电流方向）。
17
解：
2
K + _ 6V E 1
R
2k
i i2
i1
uL
R1 2k R2 1k
换路前的等效电路
+
_E
R
R1
R2
uC

i1 uC
E iL (0 ) i1 (0 ) 1.5 mA R R1

uC (0 ) i1 (0 ) R1 3 V


18
t=0 + 时的等效电路
i
+
i2
实际使用中要加保护措施
15


U
IS
R
3
3
I S iL (0 ) 20 mA
K
.
L
U
iL
V
R
续流二极 管
16
2
例
+
K
R
i i2
i1
uL
R1 2k R2 1k
1
E
2k
_ 6V
uC
已知: K 在“1”处停留已久，在t=0时合向 “2” 求: i、i1、i2、uC、uL
的初始值，即 t=(0+)时刻的值。
uC
uL
电路如图所示，设开关闭合前，电路已经处于稳态。 uC (0 ), uL (0 ) 和初始电流 求开关闭合后瞬间的初始电压 iC (0 ), i L (0 ), i R (0 ), i K (0 )
22
（1)画出t＝0-电路处于稳态时的电路。求出 uC (0 )、i L (0 )
R1
t =0
K R2
C
这些电路的共同特征是： 一个储能元件－－电容或电感
损耗由一个或多个电阻表示
开关，在给定时刻断开或闭合 直流电源
4
暂态过程产生的条件
1、电路存在换路。 电路的接通、断开、短路、电源或电路参 数的改变等所有电路工作状态的改变，统称 为换路。 2、电路中有储能元件 S + E _ R
U
电容放电
uc ( t ) Ue

t RC
在暂态电路的分析中，初始条件是得到确 定解答的必需条件。
29
关于时间常数的讨论
uc ( t ) Ue
定义：
t RC
R: 欧姆 单位 C：法拉
RC
称为时间常数
：秒
时间常数 的大小决定于电路的结构和参数， 而和初始电压的大小无关。
i1 (0 ) iL (0 ) iL (0 ) 1.5 mA



i1
E 1.5mA

R1 2k
_
+
R2 1k 3V
uL u（ 0 ） C
E uC ( 0 ) i2 (0 ) R2


3 mA
iL (0 )
i(0 ) i1 (0 ) i2 (0 ) 4.5 mA




uL (0 ) E i1 (0 ) R1 3 V

19
计算结果
K + 1 E
2 R 2k
i i2
i1
uL
R1 2k
R2 k
_ 6V
uC
uL
0 3V
20
i2 uC 0 3V t 0 1.5mA 1.5mA t 0 4.5mA 1.5mA 3mA 3V
电量
i
i1 iL
u R U RC i e R R
t
t
RC
t
RC
K
+ _U
R C
i
uC
uC , u R , i
U
U R
uC
i
uR
t
35
三、全响应
全响应
1 K R 电路的初始状态不为零，同时又 有外加激励源作用时电路中产生的响 应。
i
+ U0 _
2
+ _U
uR
C
uC
换路前，开关K合在1上， 电容元件已充电，电路处 于稳态。 t=0+时将开关由1合到2， 产生换路。
t RC
t duC U RC iC e dt R
uR uC Ue
t
uR U RC i e 或 R R
电路中各量的暂态过程同时发生，也同时结束。
33
二、零状态响应
K + _U R C
i
uC
换路前，开关K断开，电容 元件未充电。 t=0时将开关闭合，产生换路。 根据换路定则
uC
U
RC
1 2
uc ( t ) Ue

t RC
3
1 2 3
t
36.8%U
1 2 3
稳态所需要的时间越长。
结论： 越大，暂态过程曲线变化越慢，uc达到
32
R K
i
C
2
uR
uC
uc ( t ) Ue

t RC
电路中的电流，电阻两端 的电压变化的规律？
确定初始值
9
二、换路定则及初始电压、电流的确定
1、换路定则: 设：t=0 时换路 t

0 --- 换路前瞬间
0

--- 换路后瞬间
1 2 电容C存储的电场能量 （Wc Cu ） 2
WC
不能突变
uC
不能突变
1 2 电感 L 储存的磁场能量 （WL LiL ） 2
WL
不能突变
iL
不能突变
10
换路定则：在换路瞬间，电容上的电压、 电感中的电流不能突变。
换路前，电容充电
uC (0) U 0
根据换路定则 uC (0 ) uC (0 ) U 0
电容两端的电 压如何变化？
36
应用KVL和元件的VCR得：
Ri uc U
duC RC uC U dt
解得
R K 2 ＋ U －
t RC
t RC
i
C
uR