第13章达朗贝尔原理动静法

第十三章
达朗贝尔原理 （动静法）
动力学问题
静力学中研究平衡问题 的方法
动静法
第十三章 达朗贝尔原理
§13-1 惯性力 ·质点的达朗贝尔原理 §13-2 质点系的达朗贝尔原理 §13-3 刚体惯性力系的简化 §13-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力
§13-1 惯性力 ·质点的达朗贝
尔原理
???
ma
Ii
)
?? M O ( FIti )
?? ? mi ri? ri
? ? ? ( miri2 )? ? ? J Z?
惯性力系向质心简化
主矢：
?
?
F IR ? ? ma C
主矩：
M IC ? ? J C?
? 刚体定轴转动
任一点惯性力 大小为
FIti ? miait ? miri?
FIin
?
mi
a
n i
衡，并没有改变动力学问题的实质。
（2）动静法的优点，可以利用静力学提供的解题
方法，给动力学问题一种统一的解题格式。
列车在水平轨道上行驶，车厢内悬挂一单摆，
当车厢向右作匀加速运动时，单摆左偏角度? ，
相对于车厢静止。求：车厢的加速度a。
O
FI FT ?
? a
M
mg
解： 选单摆的摆锤为研究对象，虚加惯性力
?i
O
? FIi
B
? FB
x
解：
FIi
?
mi
a
n i
?
m
2? R
R?
?
i
R?
2
y ?A FA
? ? Fx ? 0,
FIi cos?i ? FA ? 0
? ? Fy ? 0, FIi sin?i ? FB ? 0
R
? ?i
?i
O
令 ??i ? 0,
? FA ?
?
2
m R?
2 cos?
d?
?
mR?
2
0 2?
?
?
? FIR ? FIi
? ? ? ?
MIO ?
?? M0 FIi
已知：定滑轮的半径 r，质量为m均匀分布在轮缘上，
绕水平轴 O转动。 m1和m2（m１>m2)，绳与轮间不打
滑，轴承摩擦忽略不计，求重物的加速度。
? FIin
? F?Iti
miO FO?y
FOx
? ? mg
a?
?
FI1
a
m?1
m1g
? ? 记 J y z ? m i y i z i, J xz ? m i x i z i
为质量对于 z 轴的惯性积。
MIx ? J xz? ? J yz? 2
同理
MIy ? J yz? ? J xz? 2
? ? ? ? ? ? M Iz?
Mz FIti ?
Mz
FI
n i
? ? ? 因
M z FIin ? 0,
2?
? FB ?
?
2
m R?
2 sin?
d?
?
mR?
2
0 2?
2?
? FIi
B
? FB
x
§13-3 刚体惯性力系的简化
惯性力系的主矢 惯性力系的主矩
?
?
? FIR ? FIi
? ? ? ?
M IO ?
?? M0 FIi
? 刚体作平移
?? ai ? aC
? ? ?
??
?
?
MIO ? ri ? FIi ? ri ? (? miai )
mi O
FOy ?
FOx
解得
? ? mg
? a
a ? m1 ? m2 g m1 ? m2 ? m
?
FI1
a
m?1
m1 g
m?2 m?2 g FI 2
飞轮质量为m，半径为R，以匀角速度 ω定轴转动， 设轮辐质量不计，质量均布在较薄的轮缘上，不考 虑重力的影响。求：轮缘横载面的张力
y
?
A
FA
R ??i
?
mi ri?
2
? ? ? ? ? ? ? ? ? MIx ? Mx FIi ? Mx FIit ? Mx FIin
? ? ? miri? cos?i zi ? (? miri? 2 sin?i zi )
由
cos
?i
?
xi ri
,
sin ?i
?
yi ri
? ? 有 MI x ? ? m i x i z i? ? 2 mi y i z i
M0 FIi ? 0??
因
? ? ? ? ? Fi
?i
?
?
0,
? M0
? Fi
?i
?
?
0,
有
? ? F?i?e??
? FIi ? 0
? ? ? ? ? ? ? M0
F?i?e?
?
?? M0 FIi ? 0
质点系的达朗贝尔原理： 作用在质点系上的外力
与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡
力系。 惯性力系的主矢 惯性力系的主矩
m?2 m?2 g FI 2
解： FI1 ? m1a,
FIti ? mir?
FI2 ? m2a
? mia ,
FIin
?
mi
v2 r
? ? MO ? 0, ?m1g ? m1a ? m2 g ? m2a ?r ? miar ? 0
由
? FIin
? F?Iit
? miar ? ?? ? mi ar ? mar
? ??
??
? ? ( m?iri ) ? aC ? ? mrC ? aC
惯性力系向质心简化，
? 只简化为一个力 F IR
M
?
IC ? 0
?m
? aC
? 刚体定轴转动
惯? 性力系向?转轴上与质量对称面的交点 O简化
? FIR ? FIi
??
? ? miai
?
? ? maC ?
? M IO ?
Mபைடு நூலகம்
O
(F ?
?
?F
?
?
FN
?
F ? FN ? ma ? 0
令 有
? FI??
? ?ma
?
惯性力
?
F ? FN ? FI ? 0
质点的达朗贝尔原理： 作用在质点的主动力、
约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系。
人用手推车
小车的惯性力
FI
?? ?
FI
?
?F
?
?ma
?
?
?
F ? FN ? FI ? 0
（1）该方程对动力学问题来说只是形式上的平
?
?
FI ? ? ma (FI ? ma)
由动静法，得
O
FI FT ?
? a
M
? Fx ? 0 ,
mg x
mg ?sin? ? FI cos? ? 0
解得 a ? g ?tg?
§13-2 质点系的达朗贝尔原理
?? ? Fi ? FNi ? FIi ? 0 (i ? 1,2,? ,n)
质点系的达朗贝尔原理： 质点系中每个质点上作
用的主动力，约束力和它的惯性力在形式上组成
平衡力系?。
记 F?i(e) 为作用于第i个质点上外力的合力。
F (i) i
为作用于第 i个质点上内力的合力。
则有
?? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? MF??i?0e?F??i?e?
F?i?i?? ? ? M0
?
FF?iI?ii
?0 ??
??
?? ?
? ? ? ? ?? ? MIz ? Mz FIit ? ? miri? ri ? ? miri2 ?
? ? J z?
MIO ? MIxi ? MIy j ? Mizk
如果刚体有质量对称面且该面与转动轴垂直 ,
简化中心取此平面与转轴的交点，则
? ? J xz ? mi xizi ? 0, J yz ? mi yi zi ? 0