三重积分习题课

2 23 3 N ( x sin y x y z ) dV
3 4 2 22 P ( z x cos y x z ) dV
比较M,N,P的大小.

【分析】通过计算比较大小很烦琐,注意到积分区域为一以 原点为球心的球体,具有对称性,于是想到是否可利用对称 性直接作出比较呢?
6.三重积分性质的应用题 估计重积分的值 比较重积分的大小 重积分中值定理的应用 （二）、三重积分计算的基本技巧
(1) 交换积分顺序的方法 (2) 利用对称性简化计算 (3) 消去被积函数绝对值符号 分块积分法 利用对称性
(4)被积函数为1时巧用其几何意义
dxdydz 的体积
z d z . 8
2 2 2 【例4】 计算 e dv ， : x y z 1 . z
被积函数仅为 z的函数，截面 D (z)为圆域 【解Ⅰ】
2 x y2 1z2 ，故采用“先二后一 法．
z z e dv 2 e dv 上
2 [ e dxdy ] dxdy e dz 0
2.改变累次积分的积分次序 题目要求改变积分次序或按原积分次序 积不出来，必须改变积分次序.
3.求由曲面所围立体的体积
用三重积分： V dxdydz

z2 z2 1 ( ) ( ) dxdy 4.用二重积分求曲面的面积 A x y D xy
x2 x2 y2 y2 A 1 ( ) ( ) dydz A 1 ( ) ( ) dxdz y z x z D yz D xz
再画出 的图形
x
z
2 2 z x y
y
2 2 x y 1
（ 1） 将 投影到 yoz 面
由 z x y
2
2 2 x z y
z
2

得
o
2 2 z x y
y
2 2 x y 1
x
0z 1 D yz : : z yz 2 2 2 2 z y x z y
【解Ⅰ】
有 xdv 0 . 奇函数，
利用球面坐标

( x z ) dv zdv

2 d d r cos r sin dr 0 0
2
4 0

1
. 8
【解Ⅱ】 利用柱面坐标
( x z ) dv zdv

d
0
2
2 2 0
d
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2 1
z d z . 8
【解Ⅲ】 利用直角坐标
( x z ) dv zdv

d x
2 2 2 2
1 2 x 2 1 2 x 2
d y
2 2 1 x y 2 2 x y
2 2 2 x d V y d V z d V
2 xy d V 2 yz d V 2 xz d V

R 4 2 3 d sin d r d r 3z dV （球面坐标） cos
2
2
4 5 6 sin cos d r d r R 0 0 5
2 R 4
Ω
0

0 0


一、关于三重积分性质和应用的题类
2 2 2 2 : x y z h 【例2】设
3 22 4 M ( x cos y x y x ) dV

计算较繁
【补例】
略
1
2 1 x
试将三次积分 I dx dy ( x , y , z ) dz 2 2 2f
1 1 x x y
1
按 x 、 y 、 z 的次序积分；然后再按 y 、 z 、 x 的次序积分 1 x 1 2 2 【解】先写出 : 1 x y 1 x 2 2 x z 1 y
M 0 N 0
故
P 0
P N M
二、关于三重积分的题类
2 2 【例3】 计算 ( x z ) dv ， 其中 由 z x y 与 2 2 z 1 x y 所围成的．

【分析】 关于 yoz 面为对称， f ( x , y , z ) x 为 x 的
第十章
习题课
三重积分
一、关于三重积分性质和应用的题类
二、关于三重积分的题类 三、杂题
主要内容
定 义 几何意义(无)
性 质
计算法 应 用 物理意义
三 重 积 分
（一）、三重积分常见题目类型 1.一般三重积分的计算： —— 累次积分法
a. 选择坐标系 使积分域多为坐标面围成; 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离. b. 确定积分序 积分域分块要少, 累次积分易算为妙 . c. 写出积分限 图示法 ( 先积一条线, 后扫积分域 ) 列不等式法 (从内到外: 面、线、点) 充分利用对称性 d. 计算要简便 应用换元公式
【例1 】计算
2 2 2 2 2 ( x y z ) d V ， x y z R 作业题
【解】由对称性知
xy d V yz d V xz d V 0
Ω Ω Ω
(xyz )d V
2
2 2 2 x d V y d V z d V
z
z
1
面 1 2 z 2 . 2 ( 1 z ) edz 积 0
D D z z
【解Ⅱ】
柱面坐标
上 1
原式 2 ezdv 2 d d
0 0 2 12
0
e dz
z
计算较繁 【解Ⅲ】 球面坐标
z 2 2 原式 2 e dv 2 d d e r sin dr 1 r cos 2 上 0 0 0