等比数列的性质及答案
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一、选择题
1．[2016·江南十校联考]已知a ，b ，c ，d 成等比数列，且y ＝
x 2－2x ＋3的顶点是(b ，c )，则ad 等于( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．－2
答案 B
解析 由y ＝x 2－2x ＋3＝(x －1)2＋2，得b ＝1，c ＝2.则ad ＝bc ＝1×2＝2，选B.
2．在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比|q |≠1.若a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5，则m ＝( )
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12 答案 C 解析 ∵a 1＝1，
∴a m ＝a 1a 2a 3a 4a 5＝q ·q 2·q 3·q 4＝q 10， 即a m ＝a 1·q 10，∴m ＝11.故选C.
3．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，1
2a 3,2a 2成等差数
列，则
a 9＋a 10
a 7＋a 8
＝( ) A ．1＋ 2 B ．1－2 C ．3＋2 2 D ．3－22
答案 C
解析 设等比数列{a n }的公比为q .由a 1，1
2
a 3,2a 2成等差数列，得
a 3＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，所以q 2－2q －1＝0，解得q 1＝1＋2，q 2＝1－ 2.因为数列各项都为正数，所以q ＝1＋2，所以a 9＋a 10
a 7＋a 8
＝
a 7q 2＋a 8q 2a 7＋a 8
＝q 2
＝3＋2 2.
4．[2016·唐山高一检测]已知等比数列{a n }的公比为负数，且
a 3·a 9＝2a 25，已知a 2＝1，则a 1＝( )
B ．－2
2
D ．2
答案 B
解析 ∵a 3·a 9＝a 26＝2a 2
5，∴a 2
6a 25
＝q 2＝2.
又∵q <0，∴q ＝－ 2.
∴a 1＝a 2q ＝1－2＝－22
.
二、填空题
5．等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则
a 3＋a 6＋a 9
a 4＋a 7＋a 10
＝________.
答案 67
解析 ∵在等差数列{a n }中， 有a 3＋a 9＝2a 6，a 4＋a 10＝2a 7，
∴a 3＋a 6＋a 9a 4＋a 7＋a 10＝3a 63a 7＝a 6a 7
. ∵a 1，a 3，a 9成等比数列，
∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，∴a 1＝d ，
∴a 6＝6a 1，a 7＝7a 1，∴a 6a 7＝6
7，
即a 3＋a 6＋a 9a 4＋a 7＋a 10＝67
. 6．[2014·广东高考]若等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1a 5＝4，则log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝________.
答案 5
解析 由题意知a 1a 5＝a 23＝4，又数列{a n }的各项均为正数，所以
a 3＝2，a 1a 2a 3a 4a 5＝(a 1a 5)·(a 2a 4)·a 3＝(a 23)2·a 3＝a 53＝25
，所以log 2a 1
＋log 2a 2＋log 2a 3＋log 2a 4＋log 2a 5＝log 2(a 1a 2a 3a 4a 5)＝log 225＝5.
7．[2016·北京师大附中期中]在等比数列{a n }中，若a 7＋a 8＋a 9
＋a 10＝158，a 8a 9＝－98，则1a 7＋1a 8＋1a 9＋1
a 10
＝________.
答案 －53
解析 由等比数列的性质知a 8a 9＝a 7a 10，所以1
a 7＋1
a 8＋1
a 9＋
1
a 10＝1
a 7
＋
1
a 10＋1
a 8＋1a 9＝a 7＋a 10a 7a 10＋a 8＋a 9a 8a 9＝a 7＋a 10＋a 8＋a 9a 8a 9＝－53
. 三、解答题
8．在正项等比数列{a n }中，a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36，a 2a 4＋2a 2a 6＋
a 4a 6＝100，求数列{a n }的通项公式．
解 原式可化为⎩⎪⎨⎪
⎧
?a 3－a 5?2
＝36?a 3＋a 5?2
＝100
，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 3＋a 5＝10
a 3－a 5＝6或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 5＋a 3＝10
a 5－a 3＝6.
∴a 3＝8，a 5＝2，q ＝1
2
或a 5＝8，a 3＝2，q ＝2.
∴当q ＝1
2时，a 1＝32，a n ＝64×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n ＝26－n .
当q ＝2时，a 1＝1
2
，a n ＝2n －2.
9．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且前后两数的和是16，中间两数的和是12.求这四个数．
解 解法一：设这四个数依次为a －d ，a ，a ＋d ，?a ＋d ?2
a
，