雅克比迭代法

雅克比迭代法的应用

一． 题目：用雅克比迭代法求解下列方程组

⎪⎩

⎪⎨⎧=+--=-+-=--2.453.82102.7210321321321x x x x x x x x x

二．引言：

用雅克比迭代法对方程组进行求解是，突出算法简单的优点，因此编程比较简单，但是应用此法求解方程组是也有很大的局限性，如它要求方程组的系数矩阵必须是有某种特殊的性质，以保证迭代的收敛性。

三．算法：

1. 首先在程序组输入方程组所对应的系数矩阵，以及精度要求。

2. 通过循环语句的嵌套以及条件判断语句实现迭代过程

3 窗体显示迭代的详细结果的输出位置以及最终的迭代结果。

程序流程图：

四.程序设计：

Program zuoye2

implicit none

integer::i,j,k,l=30,m=3,n=3

real::e=0.0000001

real::y(3),x(3)=(/0,0,0/)

real::b(3)=(/7.2,8.3,4.2/)

real::a(3,3)=(/10,-1,-1,-1,10,-1,-2,-2,5/)

do k=0,l

write(*,*)k,x(1),x(2),x(3)

do i=1,n

do j=1,m

if((i-j)/=0) y(i)=y(i)+(-a(i,j)/a(i,i))*x(j)

end do

y(i)=y(i)+b(i)/a(i,i)

end do

if(max(abs(y(1)-x(1)),abs(y(2)-x(2)),abs(y(3)-x(3)))

y=(/0,0,0/)

end do

end

运行结果：

0 0.0000000E+00 0.0000000E+00 0.0000000E+00

1 0.7200000 0.8300000 0.8400000

2 0.9710000 1.070000 1.150000

3 1.057000 1.157100 1.248200

4 1.085350 1.185340 1.282820

5 1.095098 1.195099 1.294138

6 1.098338 1.19833

7 1.298039

7 1.099442 1.199442 1.299335

8 1.099811 1.199811 1.299777

9 1.099936 1.199937 1.299924

10 1.099979 1.199979 1.299975

11 1.099993 1.199993 1.299991

12 1.099998 1.199998 1.299997

13 1.099999 1.199999 1.299999

14 1.100000 1.200000 1.300000

15 1.100000 1.200000 1.300000

16 1.100000 1.200000 1.300000

17 1.100000 1.200000 1.300000

五．结果及误差分析

真实值：x(1)=1,1 x(2)=1.2,x(3)=1.3

绝对误差：由于迭代的次数比较多，使得真实值和理论值相同

随着计算次数的增加，得出的结果逐渐逼近真实值，因此算法收敛。

算法评价：雅克比迭代法的优点：计算公式简单，每迭代一次只需计算一次矩阵和向量的乘法，且计算过程中原始矩阵A始终不变，比较容易并行计算。

雅克比迭代法的缺点：最大的缺点是收敛速度较慢，判断迭代次数比较麻烦，得不出真实值，得出的结果是估算值，而且占据的存储空间较大，所以工程中一般不直接用雅克比迭代法，而用其改进方法。比如说高斯——赛德尔迭代等，很多种方法。