第9课_多自由度系统的振动响应

{x} [U] {p}
例题4.5 求图示系统在零初始条件下的响应
主要思路
1. 利用影响系数法、牛顿第二定律或Lagrange方程 列出系统的运动方程； 2. 利用频率方程法或特征值分解法计算系统的固有频 率与振型； 3. 利用振型矩阵计算模态质量矩阵、模态刚度矩阵及 模态力； 4. 利用Duhamel积分求解单自由度系统的动力响应； 5. 利用叠加原理和模态变换矩阵合成系统的物理响应。
mg p m 1 1 l 3 2 kh m g 2 ( 2 )2 0 m l l 2 m g 3kh p m 3 ( 2 )3 l l 3
利用杜哈梅积分
P0 1 1 sin 1 . 2 d m1 3l
1. 概述(4)
逐步积分法（直接积分法）
• 是指在积分运动方程之前不进行方程形式的变换， 直接进行逐步数值积分。 • 主要方法：中心差分法，Newmark方法，精细积 分法 • 主要特点：计算量大，适用于线性系统、非线性 系统，可以求解所有确定激励下的响应问题。
1. 概述(5)
积分变换法
2
2
3
由
B( i ) i 0 i 1,2,3......
1 1 1 解得 1 1 2 0 3 2 1 1 1
构成
1 2
1 1 1 3 1 0 2 1 1 1
固有频率，主振型
Kh 2 m gl m l2 2 B Kh 2 0 Kh 2 2 Kh 2 m gl m l2 2 Kh 2 0 Kh 2 Kh 2 m gl m l2 2 0
解得
1
g l
2
g kh 2 l ml
g 3kh 2 l ml
Physical Coordinates = CHAOS Modal Space =
1
Simplicity
Rotor
21
1
q1
2 01
Bearing
Bearing
1
2
q2
2 02
Foundation
22
3 1
q3
2 03
23
方程(1)与方程(2)计算量差多少？
4 x1 1 1 2 3 1 4 9 16 x 2 2 1 8 27 64 x3 3 1 16 81 256 x4 4 1 0 0 0 0 x1 1 x 2 4 0 0 2 0 27 0 x3 3 0 0 256 x4 4 0 0
x
）
0 Pl K P Pl 0 M P 0 2 Pl
1 3m gl1 Pl 3m l2 2 2 即 2m l 2 (2m gl 2kh ) 2 0 2 6m l2 ( 6 m gl 18 kh ) 2 2 Pl 3
t 0
P0 2 ( 1 cos t ) 1 2 3l m1
P0 (1 cos1t ) 3m gl
2 0
1 P0 3 . 2 sin 3dt m 3 3l
t 0
P0 (cos t 1 ) 3 2 3lm 3
1 1 1 1 1 2 3 θ 1 0 2 2 1 2 3 1 1 1 3 3 1 2
把方程（1） 、 （2）组合起来，有
（2）
K C M q M 0 q 0
0 q f(t) （3） 0 M q
4. 基于状态空间理论的matlab动力响应分析
K C M q M 0 q 0
可表示为 式中
0 q f(t) 0 M q
（3）
Hx Ef (t ) Gx
（4）
0 C M K I q ，H ，E ， x G M 0 0 M 0 q
机械振动(Mechanical Vibration)
第九课 多自由度系统的振动响应
交通与车辆工程学院 刚宪约
前课回顾
模态正交性的含义？
• [U]T[M][U]=[∧] • [U]T[K][U]=[∧]
展开定理？
• 振动系统的响应是n个振型的线性组合
主要内容
1. 概述
2. 振型叠加法 3. 直接积分法 4. 基于状态空间理论的matlab动力响应分析
• 利用Fourier变换或Laplace变换将时间域微分形 式的运动方程变换为频域域或Laplace域的代数 方程进行求解。 • 一般与振型叠加法与试验模态分析方法相结合， 独立应用较少。 • 主要应用于线性系统。
主要内容
1. 概述
2. 振型叠加法 3. 直接积分法 4. 基于状态空间理论的matlab动力响应分析
2 振型叠加法(mode summation method)
主要思想：将线性定常系统振动微分方程组中的物 理坐标变换为模态坐标（主坐标），使方程解耦， 成为一组以模态坐标及模态参数描述的独立方程， 以便求出系统的动力响应。 主要依据：展开定理、模态正交性和线性叠加原理。
=
+
+
++
Why Bother with Modalቤተ መጻሕፍቲ ባይዱModels?
线性叠加原理
With regard to
振型叠加法的计算量
几乎所有的工程结构的振动响应中低阶模态振动占主导地 位，高阶振动影响极小，因此只采用低几阶模态进行振型 叠加计算可以获得足够的精度（模态截断），这一思想在 大量工程实践得到充分证明。
[U]
T mn
[M]nn [U]nm [U]
展开定理
• 基于线性空间理论系统任一瞬时的响应都可以表示为各 阶振型的线性组合，从而运动方程可以实现物理空间与 模态空间的转换。
模态正交性
• 模态振型对于质量矩阵、刚度矩阵正交，从而保证模态 空间中的运动方程是解耦的。 阻尼矩阵呢？ • 模态空间中系统总响应等于各单自由度响应之和，从而 可以独立求解各振型方程，再叠加得到系统的响应。
p p1 p2
-ζ n t
零输入响应(初值问题)
0 ζ n p 0 p p1 e p cos t sin t 0 d d d t t e -ζn t p2 f ( )h(t )d f ( ) sin d t d
3 0 0 主质量矩阵 M M m l2 0 2 0 P 0 0 6
主刚度矩阵
0 3m gl 2 K M 0 2m gl 2kh 0 0
0 2 6m gl 18kh 0
主坐标下的振动微分方程（令
振型叠加法的计算量？
• 模态截断将振型方程凝聚（个数减少） • 可以方便地只计算感兴趣的自由度响应
主要内容
1. 概述
2. 振型叠加法 3. 直接积分法 4. 基于状态空间理论的matlab动力响应分析
t C x t K xt F t M x ~ ~ ~
0 0
d
零状态响应
Solution of a SDOF system
2n p p f (t ) p
2 n
d 1 n
2
~T p0 [U] [M]x0
？？？？？
~T 0 [U] [M]x 0 p
Summation of modal equation solutions
系统的动力响应分析可以从理论计算、数值模拟和试验测试 三个渠道进行，三者互相结合、促进，共同应用于实际的工 程分析。
1. 概述(2)
动力响应分析主要方法：
• 振型叠加法 • 逐步积分法 • 积分变换方法
1. 概述(3)
振型叠加法
• 基于线性叠加与振型正交性理论，将物理空间耦 合的振动模型转换为模态空间解耦的微分方程； • 主要特点：计算效率高，适用于线性系统
主要内容
1. 概述
2. 振型叠加法 3. 直接积分法 4. 基于状态空间理论的matlab动力响应分析
1. 概述(1)
多自由度系统在外部激励作用下的响应分析称为动力响应分 析。 系统的动力响应与系统的固有振动特性、激励特性以及系统 的初始条件有关。 类型：
• • • • 简谐激励响应 周期性激励响应 非周期激励响应 随机振动响应（第五章内容）
主要内容
1. 概述
2. 振型叠加法 3. 直接积分法 4. 基于状态空间理论的matlab动力响应分析
4. 基于状态空间理论的matlab动力响应分析
多自由度振动系统的运动方程为
Cq kq f (t ) Mq
引入一个辅助方程
（1）
Mq 0 Mq
讨论几个问题
振型叠加法的理论依据？
• 展开定理，模态正交性，叠加原理
阻尼问题
• 振型矩阵对阻尼矩阵正交性，Rayleigh阻尼 • 可以利用试验模态分析测量的阻尼比
振型叠加法的计算量？
• 模态截断将振型方程凝聚（个数减少） • 可以方便地只计算感兴趣的自由度响应
振型叠加法的基础（依据）
2 i i
T mn
[K]nn [U]nm [U]
T mn
Fn1 (t )
i 2 ii p i p fi (t ) p
i 1,2,, m
讨论几个问题
振型叠加法的理论依据？
• 展开定理，模态正交性，叠加原理
阻尼问题
• 振型矩阵对阻尼矩阵正交性，Rayleigh阻尼 • 可以利用试验模态分析测量的阻尼比
解： 建立系统微分方程
m l2 0 0 0 m l2 0
2 Kh 2 m gl 1 0 0 Kh 0 1 2 2 2 0 Kh 2 Kh m gl Kh 2 2 Pl 2 2 0 m l2 0 Kh Kh m gl 3 3
(1)
(2)
振型叠加法主要计算过程
1. 特征值分析：求解系统的固有频率和模态振型
2. 坐标变换：将运动方程转换到模态空间
3. Duhamel积分：求解一系列单自由度系统振动方程
4. 振型叠加：得到系统的物理响应
Solution of a SDOF system
2 2n p n p p f (t )
P0 P0 (cos 3 t 1) 3m gl (1 cos 1t ) 2 2 3 m l 3 2 P0 P0 (1 cos 1t ) (1 cos 3 t ) 2 2 3m l 3 3m gl P0 P0 (1 cos t ) (cos t 1 ) 1 3 2 2 3m gl 3m l 3