点到平面的距离问题
求点到平面的距离的方法公式
求点到平面的距离的方法公式求点到平面的距离是数学中的一种常见问题，也是几何学的基础知识之一。
在平面几何中，点到平面的距离是指从给定点到平面上的一点的最短距离。
本文将介绍两种常用的求解点到平面距离的方法。
方法一：点到平面的法向量距离公式要求解点到平面的距离，我们首先需要知道平面的方程以及点的坐标。
假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x0, y0, z0)。
根据向量的性质，平面上的任意一点P(x1, y1, z1)可以表示为平面上任意一点Q(x, y, z)加上平面的法向量N的倍数。
即P = Q + tN，其中t为实数。
将P的坐标代入平面方程，可以得到：A(x1 + tx) + B(y1 + ty) + C(z1 + tz) + D = 0整理后可以得到：t = - (Ax1 + By1 + Cz1 + D) / (Ax + By + Cz)根据点到平面的距离定义，点到平面的距离d可以表示为点P与平面上的任意一点Q之间的距离。
而点P与Q之间的距离可以使用向量的长度来表示，即d = ||PQ||。
将PQ的向量表示代入，可以得到：d = ||(x - x1, y - y1, z - z1)||将向量的长度公式代入，可以得到：d = sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (z - z1)^2)点到平面的距离公式为：d = sqrt((x - x1)^2 + (y - y1)^2 + (z - z1)^2)方法二：点到平面的投影距离公式除了使用法向量距离公式，我们还可以利用点在平面上的投影点来求解点到平面的距离。
点在平面上的投影点是指从给定点到平面上的一点的垂直线段与平面的交点。
假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，点的坐标为(x0, y0, z0)。
平面上的一点P(x1, y1, z1)为点(x, y, z)在平面上的投影点。
根据点在平面上的投影点的定义，可得到以下方程组：Ax + By + Cz + D = 0x = x0 + t(A - Ax0 - By0 - Cz0)y = y0 + t(B - Ax0 - By0 - Cz0)z = z0 + t(C - Ax0 - By0 - Cz0)将x, y, z代入平面方程，可以得到：t = - (Ax0 + By0 + Cz0 + D) / (A^2 + B^2 + C^2)将t代入x, y, z的方程中，可以得到P的坐标：x1 = x0 + t(A - Ax0 - By0 - Cz0)y1 = y0 + t(B - Ax0 - By0 - Cz0)z1 = z0 + t(C - Ax0 - By0 - Cz0)根据点到平面的距离定义，点到平面的距离d可以表示为点P与原点O的距离。
解析几何中的点到平面的距离计算问题
解析几何中的点到平面的距离计算问题在解析几何中，点到平面的距离计算问题是一个重要的概念。
它涉及到从一个给定的点到一个平面的最短距离。
这个问题在实际应用中有广泛的应用，例如在计算机图形学、物理学和工程学等领域。
首先，我们来看一下点到平面的距离的定义。
对于给定的平面A和一个点P，点P到平面A的距离可以定义为从点P到平面A的最短距离。
换句话说，这个距离是垂直于平面A的线段的长度，该线段的起点是点P，终点是平面A上的一个点。
为了计算点到平面的距离，我们需要了解平面的一般方程。
一个平面可以用方程Ax + By + Cz + D = 0来表示。
其中，A、B和C是平面的法向量的分量，D是平面的常数项。
假设我们要计算点P(x0, y0, z0)到平面Ax + By + Cz + D = 0的距离。
我们可以通过以下步骤来解决这个问题：1. 计算平面的法向量：平面的法向量可以通过平面的系数A、B和C来计算。
法向量的分量为(A, B, C)。
2. 计算点P到平面的投影点：我们需要计算点P在平面上的投影点Q。
投影点Q可以通过点P沿着平面的法向量的方向移动一段距离来获得。
我们可以使用向量计算的方法来计算投影点Q。
首先，我们可以将向量PQ表示为PQ = (x0 - x, y0 - y, z0 - z)，其中(x, y, z)是平面上的点。
然后，我们可以将向量PQ与平面的法向量进行点积运算，得到投影点Q在平面上的坐标。
3. 计算点P到平面的距离：点P到平面的距离就是点P到投影点Q的距离。
我们可以使用向量计算的方法来计算这个距离。
距离可以通过向量PQ的模长来计算，即distance = |PQ| = √((x0 - x)^2 + (y0 - y)^2 + (z0 - z)^2)。
这个算法可以应用于二维和三维空间中的平面。
对于二维空间中的平面，可以简化为计算点到直线的距离。
对于三维空间中的平面，需要考虑点到面的距离。
在实际应用中，点到平面的距离计算问题经常用于计算两个物体之间的距离。
点到面距离求解技巧
点到面距离求解技巧点到面的距离是计算计算机图形学中常见的问题之一，它用于确定给定点与给定平面之间的最短距离。
在本文中，我们将介绍如何计算点到平面的距离，并提供一些求解技巧。
1.点到平面的距离公式点到平面的距离可以通过向量运算来计算。
给定平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C和D是平面的系数。
点P(x0, y0, z0)到平面的距离可以通过以下公式计算：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)其中|Ax0 + By0 + Cz0 + D|是点P到平面的有向距离，√(A^2 + B^2 + C^2)是平面法向量的长度。
2.点到平面距离的向量推导我们可以将点到平面的距离表示为该点到平面投影点的距离。
设点Q(x, y, z)为点P(x0, y0, z0)在平面上的投影点，那么向量PQ与平面的法向量垂直，也就是说，它们的点积为零。
根据向量点积的定义，我们可以得到：(A, B, C)·((x - x0, y - y0, z - z0)) = 0展开上述式子并整理，得到：Ax + By + Cz = Ax0 + By0 + Cz0这就是点到平面的投影点的坐标。
接下来，我们可以计算点P到平面的有向距离d。
根据直线的距离公式，我们有：d = |PQ| = √((x - x0)^2 + (y - y0)^2 + (z - z0)^2)将上述公式展开并整理后，可以得到点到平面距离的公式：d = |Ax0 + By0 + Cz0 + D| / √(A^2 + B^2 + C^2)3.点到平面距离的应用点到平面的距离在计算机图形学和几何学中有广泛的应用。
例如，在三维计算机图形中，我们可以使用点到平面距离来实现碰撞检测、裁剪算法和视景体计算等。
同时，点到平面的距离也可以用于优化算法，例如最小二乘法中的参数估计和误差优化。
4.求解技巧求解点到平面距离的过程中，有一些技巧可以加速计算。
点到平面距离的若干典型求法
点到平面距离的若干典型求法1.引言点到平面的距离是高考立体几何部分必考的热点题型之一，也是学生较难准确把握的难点问题之一。
本文将介绍七种较为典型的求解方法，包括几何方法（如体积法、二面角法）、代数方法（如向量法、公式法）以及常用数学思维方法（如转化法、最值法），以达到秒杀得分的效果。
2.预备知识1) 正射影的定义：从平面外一点P向平面α引垂线，垂足为P'，则点P'叫做点P在平面α上的正射影，简称为射影。
同时，把线段PP'叫作点P与平面α的垂线段。
2) 点到平面距离定义：一点到它在一个平面上的正射影的距离叫作这点到这个平面的距离，也即点与平面间垂线段的长度。
3) 四面体的体积公式：V = Sh/3，其中V表示四面体体积，S、h分别表示四面体的一个底面的面积及该底面所对应的高。
4) 直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。
5) 三垂线定理：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它和这条斜线也垂直。
3.求点到平面距离的若干求法3.1 定义法求点到平面距离定义法是最基本的求解方法之一，根据点到平面距离的定义，可以通过求点在平面上的正射影来求解点到平面的距离。
3.2 转化法求点到平面距离转化法是一种常用的求解方法，通过将问题转化为等价的问题来求解。
在点到平面距离的求解中，可以通过将平面方程转化为标准式，然后代入点的坐标，求解点到平面的距离。
3.3 等体积法求点到平面距离等体积法是一种几何方法，通过构造等体积的四面体来求解点到平面的距离。
具体方法是在点与平面之间构造一个四面体，使其与另一四面体等体积，然后根据四面体的体积公式来求解点到平面的距离。
3.4 利用二面角求点到平面距离二面角法是一种几何方法，通过求解点与平面所夹二面角的正弦值来求解点到平面的距离。
具体方法是求解点到平面的垂线与平面法线的夹角，然后根据正弦定理求解点到平面的距离。
点到平面的距离计算方法
点到平面的距离计算方法在几何学中，计算点到平面的距离是一个常见的问题。
这涉及到确定一个平面上的点与固定平面之间的距离。
本文将介绍两种常用的点到平面距离计算方法：点法向量法和公式法。
1. 点法向量法点法向量法是通过点P到平面上某一点的矢量与该平面的法向量的点积来计算距离的方法。
具体步骤如下：步骤一：确定平面方程首先，需要确定给定平面的方程。
平面方程通常用Ax + By + Cz + D = 0表示，其中A、B、C是平面的法向量，D是一个常数。
步骤二：计算点P到平面的法向量将点P的坐标带入平面方程，可得到一个向量，即点P到平面的法向量。
步骤三：计算点P到平面的距离将点P到平面的法向量与平面的法向量进行点积运算，再除以平面法向量的模长，即可得到点P到平面的距离。
2. 公式法公式法是通过点P到平面的法向量与平面上一点到点P的向量的点积来计算距离的方法。
具体步骤如下：步骤一：确定平面方程同样地，需要确定给定平面的方程。
平面方程通常用Ax + By + Cz + D = 0表示，其中A、B、C是平面的法向量，D是一个常数。
步骤二：计算点P到平面的距离将点P的坐标带入平面方程，计算得到Ax + By + Cz的值，再除以平面法向量的模长，即可得到点P到平面的距离。
这两种方法都可以准确计算点到平面的距离。
选择哪种方法取决于具体的情况和个人偏好。
需要注意的是，当计算距离时，所选取的点必须在平面上。
总结点到平面的距离计算方法有：点法向量法和公式法。
点法向量法通过点P到平面上某一点的矢量与该平面的法向量的点积来计算距离；公式法通过点P到平面的法向量与平面上一点到点P的向量的点积来计算距离。
选择哪种方法取决于具体情况。
在进行计算时，需要确保所选取的点在平面上。
通过本文的介绍，相信读者能够理解并掌握计算点到平面距离的方法，从而应用于实际问题中。
求点到面的距离的几种方法
求点到面的距离的几种方法点到面的距离是计算机图形学中的一个重要问题，它涉及到三维空间中点和平面之间的距离计算。
在实际应用中，点到面的距离计算常常用于计算三维模型的碰撞检测、物体运动轨迹的计算等方面。
本文将介绍几种常用的点到面距离计算方法。
一、点到平面的距离公式点到平面的距离公式是最基本的点到面距离计算方法。
假设点P(x,y,z)到平面Ax+By+Cz+D=0的距离为d，则有：d = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)其中，|.|表示绝对值，sqrt(.)表示开方运算。
这个公式的推导可以通过向量的方法得到，具体可以参考相关的线性代数教材。
二、点到三角形的距离计算点到三角形的距离计算是点到面距离计算的一个特例，因为三角形是一个平面图形。
假设点P(x,y,z)到三角形ABC的距离为d，则有：d = |(P-A)·n| / |n|其中，·表示向量的点积运算，n为三角形ABC的法向量，|.|表示向量的模长。
这个公式的推导也可以通过向量的方法得到。
三、点到网格模型的距离计算在实际应用中，我们通常需要计算点到网格模型的距离，而不是单个平面或三角形的距离。
这个问题可以通过以下步骤解决：1. 遍历网格模型的所有三角形，计算每个三角形到点的距离。
2. 找到距离最小的三角形，将其距离作为点到网格模型的距离。
这个方法的实现比较简单，但是需要遍历整个网格模型，计算量较大。
四、点到包围盒的距离计算包围盒是一个能够完全包含三维模型的最小立方体或最小球体。
点到包围盒的距离计算可以通过以下步骤解决：1. 判断点是否在包围盒内部，如果是，则距离为0。
2. 如果点在包围盒外部，计算点到包围盒各个面的距离。
3. 找到距离最小的面，将其距离作为点到包围盒的距离。
这个方法的实现比较简单，但是需要先计算包围盒，然后再计算点到包围盒的距离。
总结点到面的距离计算是计算机图形学中的一个重要问题，涉及到三维空间中点和平面之间的距离计算。
点到平面和直线的距离公式
点到平面和直线的距离公式在几何学中，我们经常需要计算一个点到平面或直线的距离。
这个距离可以帮助我们解决许多实际问题，比如在建筑设计中确定某个点与地面的距离，或者在航空导航中计算飞机与飞行路径的距离。
本文将介绍点到平面和直线的距离公式及其应用。
一、点到平面的距离公式假设平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C为平面的法向量的分量，(x, y, z)为平面上的一点。
我们希望计算点P(x0, y0, z0)到这个平面的距离。
我们可以找到从点P到平面上的一条垂线，假设这条垂线的起点为P，终点为Q。
由于垂线与平面垂直，所以垂线的方向向量与平面的法向量的点积为0。
设垂线的方向向量为V，平面的法向量为N，那么有V·N = 0。
根据向量的点积公式，我们可以得到下面的等式：(x0 - x)A + (y0 - y)B + (z0 - z)C = 0将平面方程中的x、y、z替换为x0、y0、z0，我们可以得到下面的等式：Ax0 + By0 + Cz0 + D = 0解这个方程，我们可以得到平面上与点P最近的点Q的坐标。
然后，我们可以计算点P到点Q的距离，即为点到平面的距离。
二、点到直线的距离公式现在，我们来看一下点到直线的距离公式。
假设直线的方程为Ax + By + C = 0，其中A、B为直线的斜率，(x, y)为直线上的一点。
我们希望计算点P(x0, y0)到这条直线的距离。
与点到平面类似，我们可以找到从点P到直线上的一条垂线，假设这条垂线的起点为P，终点为Q。
由于垂线与直线垂直，所以垂线的方向向量与直线的方向向量的点积为0。
设直线的方向向量为V，垂线的方向向量为U，那么有U·V = 0。
根据向量的点积公式，我们可以得到下面的等式：(x0 - x)A + (y0 - y)B = 0将直线方程中的x、y替换为x0、y0，我们可以得到下面的等式：Ax0 + By0 + C = 0解这个方程，我们可以得到直线上与点P最近的点Q的坐标。
高考数学中的点到平面距离及相关题型分析
高考数学中的点到平面距离及相关题型分析高考数学中，经常会涉及到点距离问题。
其中，点到平面的距离是考生经常会遇到的难点之一。
本文将通过对点到平面距离问题的分析，探讨其相关的解题方法和技巧。
一、点到平面距离的定义点到平面距离是指从一个点到平面的垂线段的长度，也可以说是平面上距离这个点最近的点与这个点之间的距离。
在数学中，我们可以通过向量的知识来求解点到平面距离，具体来说，就是利用点和平面的法向量进行计算。
这个距离的计算公式可以用以下方式表示：$$d=\frac{|\vec{AP}\cdot\vec{n}|}{||\vec{n}||}$$其中，$d$表示点到平面的距离，$\vec{AP}$表示从点$A$到平面$P$的向量，$\vec{n}$表示平面$P$的法向量。
二、点到平面距离的求解方法在具体的题目中，我们通常需要对点到平面距离进行求解。
以下是几种常见的求解方法：1. 利用向量求解点到平面距离在利用向量求解点到平面距离时，我们需要将点的坐标表示为向量形式，同时将平面表示为一个点和法向量的形式。
具体的求解方式可以按照以下几个步骤进行：(1)计算法向量对于平面的法向量，我们可以采取以下两种方式进行计算：(a)已知平面上的三个点$A(x_1,y_1,z_1)$、$B(x_2,y_2,z_2)$和$C(x_3,y_3,z_3)$，则平面的法向量可以通过以下方式计算：$$\vec{n}=(\vec{AB}\times\vec{AC})/||\vec{AB}\times\vec{AC}|| $$其中，$\times$表示向量的叉乘，$||\vec{AB}\times\vec{AC}||$表示向量$\vec{AB}\times\vec{AC}$的模。
(b)若平面的解析式为$ax+by+cz+d=0$，则平面的法向量可以用以下方式表示：$$\vec{n}=(a,b,c)$$(2)计算点到平面的距离通过上述方式可以得到平面的法向量和点的向量，接下来，我们根据上文提出的公式，即可将点到平面的距离计算出来。
如何求解平面直角坐标系中的点到平面的距离
如何求解平面直角坐标系中的点到平面的距离求解平面直角坐标系中的点到平面的距离是一个基本的几何问题。
在平面直角坐标系中，点到平面的距离可以使用几何方法来计算，本文将介绍两种常见的求解方法。
方法一：点到平面的距离公式设平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D为实数且A、B、C不同时为0。
设点P(x0, y0, z0)，我们需要求解的是点P到平面的距离d。
根据点到平面的距离定义，点P到平面的距离d等于点P到平面上的任意一点Q的距离。
设点Q(x, y, z)为平面上的一点，则有：d = √((x0 - x)^2 + (y0 - y)^2 + (z0 - z)^2)要求解平面上的点Q，我们可以使用平面方程来确定x、y、z的值。
方法二：点到平面的投影距离另一种求解点到平面距离的方法是通过点在平面上的投影点来计算。
投影点是指点P在平面上的垂直投影点，记为H(xh, yh, zh)。
我们需要求解的是点P到平面上的投影距离d。
求解投影点H的过程如下：1. 计算平面法向量N = <A, B, C>；2. 计算点P到平面的距离d0 = (Ax0 + By0 + Cz0 + D) / √(A^2 + B^2 + C^2)；3. 计算投影点H的坐标xh, yh, zh：xh = x0 - (d0 * A) / √(A^2 + B^2 + C^2)yh = y0 - (d0 * B) / √(A^2 + B^2 + C^2)zh = z0 - (d0 * C) / √(A^2 + B^2 + C^2)最后，我们可以求解点P到投影点H的距离，即为点P到平面的距离d。
这两种方法都可以有效地求解平面直角坐标系中的点到平面的距离。
具体使用哪种方法取决于具体的问题和计算需求。
在实际问题中，可以根据自己的需求来选择合适的方法。
总结：本文介绍了两种常见的求解平面直角坐标系中的点到平面的距离的方法。
点到平面的距离的几种求法
点到平面的距离的几种求法zs960 至善教育祝您的孩子成人！成才！成功！点到平面的距离的几种求法求‘点到平面的距离’是立体几何学习中不可无视的一个根本问题，是近几年高考的一个热点．本文试通过对一道典型例题的多种解法的探讨，结合《立体几何》(必修本)中的概念、习题，概括出求‘点到平面的距离’的几种根本方法．例：ＡＢＣＤ是边长为4的正方形，Ｅ、Ｆ分别是ＡＢ、ＡＤ的中点，ＧＣ垂直于ＡＢＣＤ所在平面，且ＧＣ＝２，求点B到平面ＥＦＧ的距离．一、直接通过该点求点到平面的距离１．直接作出所求之距离，求其长．解法1．如图1，为了作出点B到平面EFG的距离，延长FE交ＣＢ的延长线于Ｍ，连结GM，作BN⊥BC，交GM于N，那么有BN∥CG，BN⊥平面ABCD．作BP⊥EM，交EM 于P，易证平面BPN⊥平面EFG．作BQ⊥PN，垂足为Q，那么BQ⊥平面EFG．于是BQ是点B到平面EFG的距离．易知BN＝，BP＝，PZ＝，由BQ·PN＝PB·BN，得BQ＝．图1 图2 ２．不直接作出所求之距离，间接求之．〔１〕利用二面角的平面角．课本Ｐ．４２第4题，Ｐ．４６第2题、第4题给出了“二面角一个面内的一个点，它到棱的距离、到另一个面的距离与二面角的大小之间所满足的关系〞．如图2，二面角Ｍ-ＣＤ-Ｎ的大小为α，Ａ∈Ｍ，ＡＢ⊥ＣＤ，ＡＢ＝ａ，点Ａ到平面Ｎ的距离ＡＯ＝ｄ，那么有ｄ＝ａｓｉｎα．①①中的α也就是二面角的大小，而并不强求要作出经过ＡＢ的二面角的平面角．解法2．如图3，过Ｂ作ＢＰ⊥ＥＦ，交ＦＥ的延长线于Ｐ，易知ＢＰ＝，这就是点Ｂ到二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的棱ＥＦ的距离．连结ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，连结ＧＨ，易证∠ＧＨＣ就是二面角Ｃ-ＥＦ-Ｇ的平面角．∵ＧＣ＝２，ＡＣ＝４，ＧＨ＝，ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝２/，ＡＨ＝，∴ＣＨ＝３，于是由①得所求之距离ｄ＝ＢＰ·ｓｉｎ∠ＧＨＣ＝·＝．解略．:// zs960 至善教育版权所有严禁未经授权的任何商业用途zs960 至善教育祝您的孩子成人！成才！成功！〔２〕利用斜线和平面所成的角．如图4，ＯＰ为平面α的一条斜线，Ａ∈ＯＰ，ＯＡ＝ｌ，ＯＰ与α所成的角为θ，Ａ到平面α的距离为ｄ，那么由斜线和平面所成的角的定义可知，有ｄ＝ｌｓｉｎθ．②经过ＯＰ与α垂直的平面与α相交，交线与ＯＰ所成的锐角就是②中的θ，这里并不强求要作出点Ａ在α上的射影Ｂ，连结ＯＢ得θ．解法3．如图5，设Ｍ为ＦＥ与ＣＢ的延长线的交点，作ＢＲ⊥ＧＭ，Ｒ为垂足．又ＧＭ⊥ＥＢ，易得平面ＢＥＲ⊥平面ＥＦＧ，ＥＲ为它们的交线，所以∠ＲＥＢ就是ＥＢ与平面ＥＦＧ所成的角θ．由△ＭＲＢ∽△ＭＣＧ，可得ＢＲ＝，在Ｒｔ△ＲＥＢ中，∠Ｂ＝９０°，ＢＲ＝，ＥＢ＝２，所以ｓｉｎθ＝ＢＲ/ＥＲ＝，于是由②得所求之距离ｄ＝．图5 图6 〔３〕利用三棱锥的体积公式．解法4．如图6，设点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离为ｄ，那么三棱锥Ｂ-ＥＦＧ的体积Ｖ＝(１/３)Ｓ△ＥＦＧ·ｄ．另一方面又可得这个三棱锥的体积Ｖ＝(１/３)Ｓ△ＦＥＢ·ＣＧ，可求得Ｓ△ＦＥＢ＝(１/４)Ｓ△ＤＡＢ＝２，Ｓ△ＥＦＧ＝，所以有１/３··ｄ＝１/３·２·２，得ｄ＝．二、不经过该点间接确定点到平面的距离:// zs960 至善教育版权所有严禁未经授权的任何商业用途zs960 至善教育祝您的孩子成人！成才！成功！１．利用直线到平面的距离确定解法5．如图7，易证ＢＤ∥平面ＥＦＧ，所以ＢＤ上任意一点到平面ＥＦＧ的距离就是点Ｂ到平面ＥＦＧ的距离．由对称思想可知，取ＢＤ中点Ｏ，求点Ｏ到平面ＥＦＧ的距离较简单．ＡＣ交ＥＦ于Ｈ，交ＢＤ于Ｏ．易证平面ＧＨＣ⊥平面ＥＦＧ，作ＯＫ⊥ＨＧ，Ｋ为垂足，ＯＫ＝为所求之距离．图7 图8 ２．利用平行平面间的距离确定如图8，把平面ＥＦＧ补成一个正四棱柱的截面所在的平面，可使题设中的点、线、面之间的位置关系更加明朗．面ＧＭＴ是正四棱柱ＡＢＣＤ-Ａ１Ｂ１ＧＤ１经过Ｆ、Ｅ、Ｇ的截面所在的平面．ＭＧ交ＢＢ１于Ｎ，ＴＧ交ＤＤ１于Ｑ，作ＢＰ∥ＭＧ，交ＣＧ于Ｐ，连结ＤＰ，那么有平面ＧＴＭ∥平面ＰＤＢ．它们之间的距离就是所求之距离．于是可以把点Ｂ平移到平面ＰＤＢ上任何一个位置，哪里方便就在哪里求．这两个平行平面的距离ｄ又同三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积有关，所以也可以利用三棱柱的体积确定所求之距离．据此可得解法６．解法6．三棱柱ＧＱＮ-ＰＤＢ的体积Ｖ＝Ｓ△ＰＤＢ·ｄ，另一方面又有Ｖ＝Ｓ△ＣＤＢ·ＢＮ，可求得ＢＮ＝２/３，ＣＰ＝４/３，ＰＢ＝ＰＤ＝，ＢＤ＝，Ｓ△ＰＤＢ＝，Ｓ△ＣＤＢ＝８，所以·ｄ＝８·２/３，得ｄ＝为所求之距离．:// zs960 至善教育版权所有严禁未经授权的任何商业用途。
求点到平面的距离的方法
求点到平面的距离的方法
在学习几何学时，有些对于求点到平面的距离的问题会困惑很多学生。
其实，从数学的角度来看，求点到平面的距离是一个广泛而普遍的问题，而且其解决方案也有很多。
下面，我将介绍求点到平面的距离的几种方法。
第一种方法是直线和平面交点法。
首先，我们需要找到平面上与某一点最近的直线。
然后求出该直线和平面的交点，直线和点所组成的三角形的高即是点到平面的距离。
第二种方法是利用向量来求解。
根据几何学习的知识，我们知道，点到平面的距离是点到平面的垂线的长度。
从而可以通过向量的计算求出垂线的长度，从而求出点到平面的距离。
第三种方法称为“分段法”。
首先，我们需要将平面上的点进行分隔，每个分隔的点都可以用一条直线来描述，从而可以计算出每个点到每条直线的距离。
之后，该点到整个平面的距离就可以得到，因为点到平面的距离就等于点到每条直线的最短距离。
最后，我再介绍一种求点到平面的距离的方法，称为“三维空间中的点分层法”。
首先，将该点投影到三维空间中，然后求出点到每个层的距离，最后加总求出该点到整个空间的距离。
以上就是求点到平面的几种方法。
这些方法在现实生活中都有着广泛的应用，比如在测量物体时会使用。
同时，在解决一些几何学问题时，也会需要用到这些算法。
总之，求点到平面的距离的方法不仅有助于我们更好地理解它，也很实用，有助于我们更好地应用。
点到平面距离计算的五种方法
点到平面距离计算的五种方法一、五种方法1.定义法对于求点到面的距离问题,首先是根据点到面的距离的定义来求，过该点直接作平面的垂线,再在构造的直角三角形中,求出这条垂线段的长度.2.平移转化点到面的距离不好求时,可以通过求过该点且平行于平面的直线上另外一点(这个点到平面的距离比较好求)到该平面的距离,来解决问题.3.垂面法在用定义法求点到面的距离,垂足往往比较特殊，很难直接找到，此时就需要借助面面垂直的性质来完成，如图，过A 向平面β作垂线，可以先找到一个过点A 且垂直于面β的平面α，于是只需过A 向交线做垂线，垂足为B ，则AB 即为点A 到面β的距离，这种做点到面距离的方法具有很强的操作性，经常使用.4．等体积法利用体积公式求出距离.5．向量法如图，已知平面α的法向量为→n ，α⊥PQ ，垂足为Q ，A 为平面α内任一点，则平面外一点P 到平面α的距离为：||||||→→→→⋅=n n AP PQ,二、例题分析例1．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2AP =，点M 是矩形ABCD 内（含边界）的动点，且1AB =，3AD =，直线PM 与平面ABCD 所成的角为π4．当三棱锥P ABM -的体积最小时，三棱锥P ABM -的外接球的表面积为（）．A．4πB．6πC．8πD．10π解析：如图，因为PA ⊥平面ABCD ，垂足为A ，则PMA ∠为直线PM 与平面ABCD 所成的角，所以π4PMA ∠=，因为2AP =，所以2AM =，所以点M 位于底面矩形ABCD 内的以点A 为圆心，2为半径的圆上，注意1AB =，3AD =，记点M 的轨迹为圆弧EF ，当点M 位于F 时，三棱锥P ABM -的体积最小，由AF、BF 在面ABCD 内，则π2PAF PBF ∠=∠=，三棱锥P ABM -的外接球球心为PF 的中点.因为222222PF =+=，所以三棱锥P ABM -的外接球的表面积()24π28πS ==.故选：C例2．如图．在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA BC ===，平面1A BC ⊥平面11ABB A ．(1)求点A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，求平面ABD 与平面CBD 夹角的正弦值．解析（1）方法1：垂面法：由于平面1A BC ⊥平面11ABB A ，而B A 1为交线，故过A 向B A 1作垂线，垂足为E ，显然2=AE 方法2：等体积法：在直三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA BC ===，设点A 到平面1A BC 的距离为h ，取1A B 的中点E ，连接AE，则1AE A B ⊥，因为平面1A BC ⊥平面11ABB A ，平面1A BC ⋂平面111ABB A A B =，则有⊥AE平面1A BC ，又BC ⊂平面1A BC ，即有AE BC ⊥，因为1AA ⊥平面,ABC BC ⊂平面ABC ，则1AA BC ⊥，因为11,,AA AE A AA AE =⊂ 平面11ABB A ，于是BC ⊥平面11ABB A ，又AB ⊂平面11ABB A ，因此BC AB ⊥，1111142223323A ABC ABC V S AA -=⋅=⨯⨯⨯⨯=，111112332A A BC A BC V S h h -=⋅=⨯⨯⨯，又11A ABC A A BC V V --=，解得h ，所以点A 到平面1A BC例3．如图，四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，2PD DC ==，AD =为BC 的中点.（1）求D 到平面APM 的距离；（2）求平面ABCD 与平面APM 所成角的余弦值.解析：（1）因为四棱锥P ABCD -的底面是矩形，PD⊥底面ABCD，所以可以建立以D 为坐标原点，DA 方向为x 轴，DC 方向为y 轴，DP 方向为z 轴，如图所示的空间直角坐标系，又2PD DC ==，AD =M 为BC 的中点，所以(0,0,0)D，A，2,0)M ，(0,0,2)P ，所以2)PA =-，2,2)PM =-，DA = 设平面PAM 的法向量为(,,)n x y z = ，所以()()()),,220,,2,2220n PA x y z z n PM x y z y z ⎧⋅=⋅-=-=⎪⎨⋅=⋅-=+-=⎪⎩ ，取1x =，解得z =，2y =，所以2n = ，所以D 到平面APM 的距离为DA n n ⋅ （2）所以平面ABD与平面CBD .例4.如图,长方体111l ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形,4l AA =,点E 为棱l AA 的中点.(1)求证:BE ⊥平面11EB C ;(2)求点A 到平面1CEB 的距离.解析：(2)方法一：取1CB 的中点,F BC 的中点P ,连接1,,,,EF AP PF PB PE ,可得//AE PF ,且AE PF =,则四边形APFE 为平行四边形,可得//AP EF ,又因为AP 平面1,CEB EF ⊂平面1CEB ,所以//AP 平面1CEB ,所以点A 到平面1CEB 的距离等于点P 到平面1CEB 的距离,易知11P CEB E PCB V V --=,在1CEB ∆中,2222222112223,222,4225CE EB CB =++==+=+,所以22211CE EB CB +=,从而1CEB ∆为直角三角形.设点P 到平面1CEB 的距离为dP ,所以111133CEB P PCB S d S AB ∆∆⨯⨯=⨯⨯,即1111321423232P d ⨯⨯=⨯⨯⨯,解得63P d =,所以点A 到平面1CEB 的距离为63;方法二：等体积法设点P 到平面1CEB 的距离为h ,因为112,5,3B E B C CE ===,所以三角形1CEB 是直角三角形,1126,2CEB AEB S S ∆∆==,而11A CEB C AEB V V --=,可得11262233h ⨯=⨯⨯,解得63h =,所以点A 到平面1CEB 的距离为63.例5．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A C ⊥底面ABC ，190,2ACB AA ∠=︒=，1A 到平面11BCC B 的距离为1．(1)证明：1A C AC =；(2)已知1AA 与1BB 的距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．【解析】（1）证明:∵1A C ⊥面,ABC BC ⊂面ABC ∴1A C BC ⊥，∵90ACB ∠=︒,即BC AC ⊥,且1,A C AC ⊂面111,ACC A A C AC C ⋂=,∴BC ⊥面11ACC A ,∵BC ⊂面11BCC B ∴面11ACC A ⊥面11BCC B ,过1A 作11A O CC ⊥交1CC 于点O ,且面11ACC A ⋂面111BCC B CC =,∴1A O ⊥面11BCC B ,∵1A 到面11BCC B 的距离为11,1A O ∴=,在Rt 11A CC ∆中,111111,2,A C A C CC AA A C AC ⊥===,设CO x =,则2212,11(2)4C O x x x =-+++-=,解得:1x =,∴1112AC A C A C ===,∴1A C AC =.（2）11113cos cos ,13||n AB n AB n AB θ⋅∴===。
点到面的距离如何算
点到面的距离如何算在几何学中，我们经常会遇到求点到面的距离的问题。
点到面的距离是指从给定的点到最近的面的距离，它是一个重要的几何概念，广泛应用于计算机图形学、机器人技术、三维建模等领域。
本文将介绍几种常见的计算点到面距离的方法。
1. 点到平面距离的概念首先，让我们定义点到平面距离的概念。
考虑一个平面，假设平面上有一点P，其坐标为(xp, yp, zp)，平面的方程为Ax + By + Cz + D = 0。
那么点P到平面的距离就是点P到平面的垂直距离，即点P到平面的最短距离。
2. 点到平面距离的计算方法接下来，我们将介绍几种常见的计算点到平面距离的方法。
2.1 平面法向量法计算距离首先，我们可以使用平面的法向量来计算点到平面的距离。
平面的法向量可以通过平面方程的系数得到，即法向量为(Nx, Ny, Nz) = (A, B, C)。
对于给定的点P(xp, yp, zp)，我们可以使用以下公式来计算点P到平面的距离：distance = |Axp + Byp + Czp + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)其中，|Axp + Byp + Czp + D|为平面方程的值，sqrt(A^2 + B^2 + C^2)为法向量的模长。
2.2 点到平面的投影距离另一种常见的方法是计算点到平面的投影距离。
我们可以首先计算点P在平面上的投影点Q(xq, yq, zq)。
通过将点P投影到平面的垂直方向上，我们可以得到点Q。
然后，我们可以计算点P到点Q的距离，这个距离就是点P到平面的距离。
2.3 点到三角形面的距离当我们需要计算点到三角形面的距离时，可以使用以下方法。
首先，将这个问题转化为点到平面的距离问题，即计算点到平面的距离。
然后，我们需要判断点P是否在三角形的投影内部。
通过判断点P在三角形投影内的位置，我们可以得到点P到三角形的距离。
这个过程涉及到一些几何计算，包括点的投影计算、点在多边形内的判断等。
点到平面的距离的几种求法
点到平面的距离的几种求法大关一中 胡兴兆点到平面的距离是高中立体几何的一项基本要求，点到平面的距离涉及先面平行、线面垂直、面面垂直等关系，也是高考经常遇见的一个知识点。
下面就用几个列子说明点到平面的距离的几种求法。
一、直接法1、 直接过点作平面的垂线。
例1 已知：直线l 与平面α交于点O,点A 在直线l 上, OA=2cm.l 与α所成的角为300，求点A 到平面α的距离。
解：过点A 作AB ⊥α，垂足为B ，则∠AOB=300，在直角三角形ABO 中,AB=OA ⨯sin ∠AOB =3⨯sin300=3⨯21=23∴点A 到平面α的距离为23cm 。
2、直接过点作平面内某一直线的垂线。
例2 三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面是边长为1的 正三角形，侧棱与底面垂直，M 是BC 的中点， 且MC 1=MA ，求点B 到平面AMC 1的距离. 解：过B 作BF ⊥C 1M 交C 1M 的延长线于F,M 是等边三角形ABC 中BC 边上的中点，∴ AM ⊥BCC 1C ⊥平面ABC, AM ⊂平面ABC∴ AM ⊥C 1CC 1M BC=C∴ AM ⊥平面BCC 1BF ⊂平面BCC 1∴BF ⊥A又 BF ⊥C 1F,C 1F AM=M∴BF ⊥平面AMC 1∴BF 的长就是点B 到平面AMC 1的距离，M FBAB 1C 1A 1ClA BO易知：AM=MC 1=23,MC=MB=21,CC 1=22在∆BFM 和∆C 1CM 中，∠BFM=∠C 1CM=900∠BMF=∠C 1CM,∴ ∆BFM ∽∆C 1CM, ∴BF cc 1=BMMC 1, ∴ BF=11MC CC ⨯BM=232122⨯=66, ∴点B 到平面AMC 1的距离是66。
二、等体积法例 已知三棱柱A 1B 1C 1-ABC 中，侧棱垂直于底面，且C 1C=AC=BC=2,求点C 到平面C 1AB 的距离。
分析：点C 到平面C 1AB 的距离就是三棱锥C-C 1AB 的高。
点到平面距离计算的五种方法
点到平面距离计算的五种方法计算点到平面的距离是几何学中常见的问题，可以通过不同的方法来解决。
下面将介绍五种常用的计算点到平面距离的方法。
方法一：点法式方程点法式方程是计算点到平面距离最常见的方法之一、给定点P(x₁,y₁,z₁)和平面Ax+By+Cz+D=0，其中A、B、C为平面的法向量，D为平面的常数项，可以通过以下公式计算点到平面的距离d：d=，Ax₁+By₁+Cz₁+D，/√(A²+B²+C²)方法二：投影平面上任意一点Q(x₂,y₂,z₂)，可以通过计算点P在平面上的投影点R(x,y,z)来得到点到平面的距离。
首先，计算向量PQ和平面法向量N的点积，再将点积除以平面法向量N的长度，即可得到点P到平面的距离d。
d=，PQ·N，/，N方法三：三角形法可以利用点P与平面上三个点构成的三角形PQR，通过计算三角形PQR的面积来求点到平面的距离。
假设PQ=a，QR=b，RP=c，计算三角形PQR的半周长s：s=(a+b+c)/2然后，使用海伦公式计算三角形PQR的面积S：S=√(s(s-a)(s-b)(s-c))利用面积S和边长a、b、c，通过以下公式计算点到平面的距离d：d = 2S / bas方法四：垂足法垂足法是通过计算点到平面的垂直距离来求得点到平面的距离的方法。
首先，计算点P到平面上一点A的距离AP，然后计算点P到平面法向量N的距离PN，利用勾股定理计算垂直距离PH：PH=√(AP²-PN²)最后，通过计算PH的值即可得到点到平面的距离d。
方法五：向量法通过计算点P到平面的投影向量P'和点P与投影点P'之间的距离，可以得到点到平面的距离。
首先，计算P到平面的单位法向量N，再计算点P到平面的投影向量P'：P'=P-(P·N)N其中，P·N为点P与单位法向量N的点积。
最后，通过计算点P到投影点P'的距离即可得到点到平面的距离d。
点到平面的距离的计算
点到平面的距离的计算方法一：点法式方程点法式方程是用法线向量和一个平面上的点表示平面的方程。
假设平面的法线向量为N=(a,b,c)，平面上一点为P0=(x0,y0,z0)，给定点为P=(x,y,z)。
点到平面的距离可以通过点法式方程计算。
点法式方程可以表示为：d = ，a(x-x0) + b(y-y0) + c(z-z0)， / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)其中，d表示点到平面的距离。
方法二：向量投影向量投影是另一种计算点到平面距离的方法。
首先，将给定点与平面上的任意一点P0相减得到向量v。
然后，将向量v投影到平面的法线向量N上，得到投影向量proj(N, v)。
点到平面的距离等于投影向量的长度。
投影向量可以通过以下公式计算：proj(N, v) = v - proj(N, v) = v - ((v·N) / ，N，^2) * N。
其中，·表示向量的点积运算，N，表示向量N的长度。
方法三：平面方程平面方程是用平面上的三个点表示平面的方程。
给定点到平面的距离也可以通过平面方程进行计算。
假设平面方程为ax + by + cz + d = 0，给定点的坐标为(x, y, z)，点到平面的距离可以通过以下公式计算：d = ，ax + by + cz + d， / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)其中，d表示点到平面的距离。
方法四：Q-公式Q-公式是一种简单而直接的方法，可以通过平面参数方程和点坐标计算点到平面的距离。
首先，将平面参数方程表示为点(x0,y0,z0)和两个法向量v1=(a1,b1,c1)和v2=(a2,b2,c2)的叉积。
然后，将给定点(x,y,z)带入参数方程中，计算出参数u和v。
点到平面的距离可以通过以下公式计算：d = ，u*v1 + v*v2， / sqrt(a^2 + b^2 + c^2)其中，d表示点到平面的距离。
以上是常用的几种计算点到平面距离的方法。
如何证明点到平面距离公式
如何证明点到平面距离公式在我们学习立体几何的时候，经常会遇到一个重要的问题，那就是如何证明点到平面的距离公式。
这可不是个能轻松搞定的小问题，不过别担心，咱们一步步来。
先来说说啥是点到平面的距离。
比如说，你在教室里，你的座位就是一个点，而地面就是一个平面，从你的座位到地面的最短距离，这就是点到平面的距离。
咱们假设平面的方程是 Ax + By + Cz + D = 0 ，有个点 P 的坐标是(x₀, y₀, z₀) 。
那点 P 到这个平面的距离公式就是：d = |Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D| / √(A² + B² + C²) 。
那怎么证明这个公式呢？咱们来好好琢磨琢磨。
想象一下，有一根垂直于平面的线段，一头连着点 P ，另一头在平面上，这根线段的长度就是点 P 到平面的距离。
咱先在平面上找一个任意的点 Q ，它的坐标是 (x₁, y₁, z₁) 。
那向量 PQ 就可以表示出来啦，就是 (x₁ - x₀, y₁ - y₀, z₁ - z₀) 。
因为平面的法向量 n 是 (A, B, C) ，而且向量 PQ 和法向量 n 是垂直的。
根据向量的点乘定义，向量 PQ 和法向量 n 的点乘等于 0 ，也就是A(x₁ - x₀) + B(y₁ - y₀) + C(z₁ - z₀) = 0 。
然后呢，咱可以解出 z₁，z₁ = (Ax₀ + By₀ + Cz₀ - Ax₁ - By₁) / C 。
再根据两点间的距离公式，点 P 到点 Q 的距离的平方就是 (x₁ -x₀)² + (y₁ - y₀)² + (z₁ - z₀)²。
把 z₁代入进去，经过一顿复杂但有逻辑的计算和化简，最后就能得出点 P 到平面的距离公式啦！我还记得我当年上学的时候，有一次老师在课堂上讲这个点到平面距离公式的证明，我一开始听得云里雾里的。
后来老师让我们自己动手推导，我就埋头苦算，算得我脑袋都快大了。
点到平面的距离的计算
点到平面的距离的计算点到平面的距离是指一个点在平面上的投影到平面的垂直距离。
这是一个重要的几何概念，在计算和证明中经常使用。
下面将介绍计算点到平面距离的方法，并给出一些应用实例。
首先，我们需要明确点到平面的垂线与平面的交点，称为垂足。
点到平面的距离就是该点到垂足的距离。
因此，计算点到平面的距离可以转化为计算点到垂足的距离。
方法一：利用向量给定一个点和平面，我们可以利用向量的方法计算点到平面的距离。
1.确定点和平面：给定一个点P(x1, y1, z1)和平面Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D分别代表平面的法向量中的系数。
2.计算向量：在点P和平面法向量之间建立一个向量，记为n，即n = (A, B,C)。
3.计算投影：将向量n在点P的垂直方向上投影到点P的坐标系中，记为n'，即n' = (An', Bn', Cn')，其中n' = (A^2 + B^2 + C^2)^(-1)。
4.计算距离：点到平面的距离d就是n'的长度，即d = |n'|。
方法二：利用点积和法向量给定一个点和平面，我们也可以利用点积和法向量的方法计算点到平面的距离。
1.确定点和平面：给定一个点P(x1, y1, z1)和平面Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C、D分别代表平面的法向量中的系数。
2.计算法向量：根据平面的方程Ax + By + Cz + D = 0，可以求出平面的法向量，记为n = (A, B, C)。
3.计算点积：将点P和平面的法向量n之间的点积记为dot(n, P)，即dot(n,P) = n·P。
4.计算距离：点到平面的距离d就是n在点P的投影长度与|n|的比值乘以符号(dot(n, P) / |n|)，即d = sign(dot(n, P) / |n|)。
应用实例1.求平行于z轴的平面x = 1上一点(1, 2, 3)到原点(0, 0, 0)的距离。
点到面的距离求解技巧
点到面的距离求解技巧点到面的距离，是在三维空间中计算点到一个平面的距离。
这个问题常见于几何学、计算机图形学和计算机视觉等领域。
本文将介绍一些点到面距离求解的技巧，包括点到平面的公式推导、向量法求解和最小二乘法求解等。
一、点到面距离的公式推导设平面的法向量为n，平面上的一个点为p0，点p到平面的距离为d，可以通过以下公式求解：d = |(p - p0) · n| / |n|其中，“.”表示点乘操作，“| |”表示向量的模，p 表示点p的坐标。
公式的推导如下：1. 将点p表示为p = p0 + u * n + v * m，其中u和v是固定的系数。
2. 将点p代入平面的方程（n·(p - p0) = 0）中，可得：n · (p0 + u * n + v * m - p0) = 0等式化简后，可得：u * (n · n) + v * (n · m) = n · (p - p0)3. 因为n · n = |n|^2 = 1，所以上述等式可进一步化简为：u = n · (p - p0)即：p = p0 + n * (n · (p - p0))这个表达式表示点p可以由点p0和平面的法向量n 表示。
4. 点p到平面的距离d等于点p和平面上的任意一点p'的距离，即：d = |p - p'| = |p - p0 - n * (n · (p - p0))|利用向量的模的性质和分配律，可以进一步化简上述等式为：d = |(p - p0) - (n · (p - p0)) * n| = |(p - p0) · n|最后，再除以法向量的模即可得到点到面的距离。
二、向量法求解通过公式推导，我们可以看出点到面的距离与向量的点乘和模有关。
因此，我们可以通过向量法来求解点到面的距离。
具体方法如下：1. 根据给定的点坐标p和平面的法向量n，计算向量v = p - p0，其中p0是平面上的一个点。
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【例1】 已知线段AB 在平面α外，A 、B 两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB 的
中点到平面α的距离为（ ） A ．1 B ．2
C ．1或2
D ．0或1
【例2】 ABC ∆的三个顶点A B C ，
，到平面α的距离分别为234，，，且它们在平面α的同一侧， 则ABC ∆的重心到平面α的距离为___________．
【例3】 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是11A B 的中点．求E 到平面11
ABC D 的距离．
A 1
D 1
C
B
A
【例4】 如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，90DAB ∠=，AD a =，PD ⊥面ABCD ，
PD a =，求点D 到平面PAB 的距离．
H
A
C
B
D
P
典例分析
板块一.点到平面的距离问题
【例5】 如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，1AB =，若二面角1C AB C --的大小为60，
求点C 到面1ABC 的距离.
E
D
C 1
B 1A 1
C
B
A
【例6】 （2007湖北文5）在棱长为1的正方体1
2
PD AB =
中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1D EF 的距离为（ ） A
B
C
D
A
A 1
【例7】 （2007湖北文5）
在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为棱1AA 、1BB 的中点，G 为棱11A B 上的一点，且()101AG λλ=≤≤，则点G 到平面1
D EF 的距离为（ ） A
B
C
D A
B
C
E
【例8】 （2007江苏14）正三棱锥P ABC -高为2，侧棱与底面所成角为45︒，则点A 到
侧面PBC 的距离是 ．
【例9】 四棱锥P ABCD -的底面是边长为a 的菱形，且60BCD ∠=，PD ⊥平面ABCD ，
PD a =，E 是PA 中点．求点E 到平面PCD 的距离．
A
【例10】 如图，已知P 为ABC ∆外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，
⑴若PA 、PB 、PC 两两垂直，求证：O 为ABC ∆的垂心； ⑵若PA PB PC ==，求证：O 为ABC ∆的外心．
⑶若PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA PB PC a ===，求P 点到平面ABC 的距离．
O
C
B
A
P
【例11】 如右图，是一个边长为a 的正方体1111ABCD A B C D -，
⑴求证：1AC ⊥平面1A BD ； ⑵求A 点到平面1A BD 的距离．
A
A 1
【例12】 已知长方体1111ABCD A B C D -中，棱1AB AD ==，棱12AA =．
⑴求点1A 到平面11AB D 的距离．
⑵连结1A B ，过点A 作1A B 的垂线交1BB 于E ，交1A B 于F ．
H
O
A
C
D
A 1
B 1
C 1
D 1
①求证：1BD ⊥平面EAC ； ②求点D 到平面11A BD 的距离．。