2019届高考数学二轮复习 第一篇 专题二 函数与导数 第2讲 导数的简单应用与定积分教案 理

第2讲导数的简单应用与定积分

1.(2018·全国Ⅰ卷,理5)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为( D )

(A)y=-2x (B)y=-x

(C)y=2x (D)y=x

解析:因为函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax为奇函数,

所以f(-1)+f(1)=0,

所以-1+a-1-a+(1+a-1+a)=0,解得a=1,

所以f(x)=x3+x,所以f'(x)=3x2+1,

所以f'(0)=1,

所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.

2.(2014·全国Ⅱ卷,理8)设曲线y=ax-ln(x+1)在点 (0,0) 处的切线方程为y=2x,则a等于( D )

(A)0 (B)1 (C)2 (D)3

解析: y'=a-,当x=0时,y'=a-1即是y=2x的斜率,所以a-1=2,所以a=3.故选D.

3.(2017·全国Ⅱ卷,理11)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)e x-1的极值点,则f(x)的极小值为( A )

(A)-1 (B)-2e-3 (C)5e-3(D)1

解析:f'(x)=[x2+(a+2)x+a-1]·e x-1

则f'(-2)=[4-2(a+2)+a-1]·e-3=0得a=-1,

则f(x)=(x2-x-1)·e x-1,

f'(x)=(x2+x-2)·e x-1,

令f'(x)=0,得x=-2或x=1,

当x<-2或x>1时,f'(x)>0,

当-2

则f(x)极小值为f(1)=-1.故选A.

4.(2015·全国Ⅰ卷,理12)设函数f(x)=e x(2x-1)-ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0,则a的取值范围是( D )

(A)-,1(B)-,

(C),(D),1

解析:由f(x0)<0,即(2x0-1)-a(x0-1)<0,

得(2x0-1)

当x0=1时,得e<0,显然不成立,所以x0≠1.

若x0>1,则a>.

令g(x)=,则g'(x)=.

当x∈1,时,g'(x)<0,g(x)为减函数,

当x∈,+∞时,g'(x)>0,g(x)为增函数,

要满足题意,则x0=2,此时需满足g(2)

得3e2

因为x0<1,所以a<.

易知,当x∈(-∞,0)时,g'(x)>0,g(x)为增函数,

当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)为减函数,

要满足题意,则x0=0,此时需满足g(-1)≤a

得≤a<1(满足a<1),故选D.

5.(2018·全国Ⅱ卷,理13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.

解析:因为y=2ln(x+1),所以y'=.

令x=0,得y'=2,

由切线的几何意义得切线斜率为2,

又切点(0,0),

所以切线方程为y=2x.

答案:y=2x

6.(2018·全国Ⅲ卷,理14)曲线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a= .

解析:因为y'=(ax+a+1)e x,

所以当x=0时,y'=a+1,

所以a+1=-2,得a=-3.

答案:-3

7.(2018·全国Ⅰ卷,理16)已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是.

解析:f'(x)=2cos x+2cos 2x=2cos x+2(2cos2x-1)=2(2cos2x+cos x-1)=2(2cos x-1)(cos x+1).

因为cos x+1≥0,

所以当cos x<时,即x∈+2kπ,+2kπ,k∈Z,

f'(x)<0,f(x)单调递减;

当cos x>时,+2kπ,+2kπ,k∈Z,

f'(x)>0,f(x)单调递增.

所以当x=+2kπ,k∈Z,sin x=-,cos x=,

f(x)有最小值.

又f(x)=2sin x+sin 2x=2sin x(1+cos x),

所以f(x)min=2×-×1+=-.

答案:-

8.(2018·全国Ⅰ卷,理21)已知函数f(x)=-x+aln x.

(1)讨论f(x)的单调性;

(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:

(1)解:f(x)的定义域为(0,+∞),

f'(x)=--1+=-.

①若a≤2,则f'(x)≤0,

当且仅当a=2,x=1时f'(x)=0,

所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.

②若a>2,令f'(x)=0得,

x=或x=.

当x∈0,∪,+∞时,

f'(x)<0;

当x∈,时,f'(x)>0.

所以f(x)在0,,,+∞上单调递减,在,

上单调递增.

(2)证明:由(1)知,f(x)存在两个极值点当且仅当a>2.

由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x2-ax+1=0,

所以x1x2=1,不妨设x11.

由于=--1+a=-2+a=-2+a,

所以

设函数g(x)=-x+2ln x,

由(1)知,g(x)在(0,+∞)上单调递减,

又g(1)=0,从而当x∈(1,+∞)时,g(x)<0.

所以-x2+2ln x2<0,

即

1.考查角度

(1)考查导数的几何意义的应用,包括求曲线的切线方程、根据切线方程求参数值等;

(2)考查导数在研究函数性质中的应用,包括利用导数研究函数性质判断函数图象、利用导数求函数的极值和最值、利用导数研究不等式与方程等.

2.题型及难易度