数学归纳法

能使多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？ 能使多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？
只要满足以下两个条件 ， 只要满足以下两 个条件，所有多米诺骨牌就 都能倒下： 都能倒下： 第一块骨牌倒下； （1）第一块骨牌倒下； （ 2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定 任意相邻的两块骨牌， 导致后一块倒下。 导致后一块倒下 。
1 1 1 2.用数学归纳法证明 : 1 + + + L + n < n(n ∈ N + , n > 1), 2 3 2 −1 第二步证明从" k到k + 1" , 左端增加的项数是 ( B ) A.2k -1 B.2 k C .2 k − 1 D.2 k + 1
练习3： 练习 ：
1 1 1 13 + + L+ > (1)用数学归纳法证 用数学归纳法证: 用数学归纳法证 n +1 n + 2 2n 24
评析： 评析：
以上三道题告诉我们用数学归纳法证明 命题的步骤（2）中，要注意对 要注意对n=k到n=k+1 命题的步骤（ ） 到 的正确理解，以及由 的正确理解，以及由n=k到n=k+1的过程中所 到 的过程中所 变化的部分。 变化的部分。
练习4： 练习 ：
证明： ）当 n＝1时，左边＝12＝1，右边＝ 证明：1 （
试验 （2）从大球中取出所有的小球， 发现全是红色的。 ）从大球中取出所有的小球， 发现全是红色的。 推理 大球中装的全是红 球 判 考察全部对象，得到一般结论的方法， 全部对象 断 考察全部对象，得到一般结论的方法， 叫做完全归纳法。 叫做完全归纳法。完全归纳法得到的 结论一定正确！ 结论一定正确！ 不完全归纳法和完全归纳法 均称为归纳法。 均称为归纳法。
(1)证明：当n取第一个值 结论正确； 证明： 取第一个值n0结论正确 证明 取第一个值 结论正确； (2)假设当 假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确，证明当 时结论正确， 时结论也正确. 假设当 ∈ ， 时结论正确 证明当n=k+1时结论也正确 时结论也正确
可知， 开始的所有正整数n都正确 由(1)，(2)可知，命题对于从 开始的所有正整数 都正确。 ， 可知 命题对于从n0开始的所有正整数 都正确。
练习1： 练习Fra Baidu bibliotek：
？
练习2： 练习 ：
1.用数学归纳法证明"当n是正奇数时, x n + y n能被x + y整除" , 在第二步时, 正确的证法是( C ) A.假设n = k (k ∈ N +，k ≥ 1)时命题成立, 推得n = k + 1命题成立 B.假设n = 2k＋1(k ∈ N +，k ≥ 1)时命题成立, 推得n = 2k + 3命题成立 C.假设n = 2k－1(k ∈ N +，k ≥ 1)时命题成立, 推得n = 2k + 1命题成立 D.假设n ≤ k (k ∈ N +，k ≥ 1)时命题成立, 推得n = k + 2命题成立
(1)证明当n取第一个值 0时命题成立； n
（递推基础） 递推基础）
2）假若第k（k≥1） （2）假若第k（k≥1）张能倒下 （2）假设n = k (k ∈ N ∗ , k ≥ n0 )时 时，一定能推倒紧挨着它的 命题成立，再证明当n = k + 1时 第k+1张骨牌 张骨牌 命题也成立。 游戏继续的条件） 递推依据） （游戏继续的条件） （递推依据） ）（2） 由（1）（ ）知，游戏可以一直 ）（ 连续运行。 连续运行。 ）（2） 由（1）（ ）知，命题对于一切 ）（ n≥n。的自然数 都正确。 都正确。 。的自然数n都正确 我们把以上证明关于自然数n的 我们把以上证明关于自然数 的 命题的方法，叫做数学归纳法。 命题的方法，叫做数学归纳法。
证明： 证明： （1）当n=1时，左边 ，右边 ，等式成立． ） 时 左边=1，右边=1，等式成立． （2）假设当 n = k 时，等式成立，就是 ） 等式成立， 1 + 3 + 5L + ( 2k − 1) = k 2 . 那么 1 + 3 + 5L + ( 2k − 1) + [ 2( k + 1) − 1] = k 2 + [( 2( k + 1) − 1] = k 2 + 2k + 1 = ( k + 1) 2 这就是说， 这就是说，当n=k+1时，等式也成立． 时 等式也成立．
数学归纳法
一、归纳法的原理： 归纳法的原理： 我是 一毛 我是 二毛 我是 三毛 我不是 四毛！ 四毛！ 我是小 明！ 我是 谁？
——小明的爸爸有四个小孩 小明的爸爸有四个小孩
大球中装有若干个小球，以下是试验过程和推理， 大球中装有若干个小球，以下是试验过程和推理， 其结论是否正确？ 其结论是否正确？ 试验 个小球， （1）从大球中取出了 个小球，发现全是红色的。 ）从大球中取出了5个小球 发现全是红色的。 推理 大球中装的全是红球 判断 考察部分对象，得到一般结论的方法， 考察部分对象，得到一般结论的方法， 部分对象 叫做不完全归纳法。 叫做不完全归纳法。不完全归纳法得 到的结论不一定正确！ 到的结论不一定正确！
其中道理可用于数学证明──数学归纳法. 其中道理可用于数学证明──数学归纳法. ──数学归纳法
类似地，把关于自然数 的命题 类似地，把关于自然数n的命题 看作多米诺骨牌， 看作多米诺骨牌，产生一种符合 能够使游戏一直连续运行的条件： 运行条件的方法： 能够使游戏一直连续运行的条件： 运行条件的方法： 分析： 分析： （1）第一张骨牌必须能倒下 ） 游戏开始的基础） （游戏开始的基础）
1× 2 × 3 ＝1，等式成立； 6 k ( k + 1)( 2 k + 1) 2 2 2 2 （2）假设当 n＝k时，等式成立。即 1 ＋2 ＋3 ＋...＋k ＝ 6 k ( k + 1)( 2k + 1) 2 2 则12＋2 2＋32＋...＋k 2＋（ k＋1） ＝ ＋（ k＋1） 6
n(n + 1)(2n + 1) 求证： 求证：1 ＋2 ＋3 ＋...＋n ＝ 6
∗
要证明的 目标是： 1＋3＋5 ＋… ＋（2k-1 ）＋ [2(k+1)－ 1]=(k+1)^ 2
），可知的等式对任何 都成立． 由（1）和（2），可知的等式对任何 n ∈ N 都成立． ） ），
用数学归纳法证明命题的步骤： 用数学归纳法证明命题的步骤： (1)证明：当n取第一个值 0结论正确； 证明： 取第一个值n 证明 取第一个值 结论正确； (2)假设当 假设当n=k(k∈N*，且k≥n0)时结论正确， ∈ ， 时结论正确， 假设当 时结论正确 证明当n=k+1时结论也正确 时结论也正确. 证明当 时结论也正确 可知， 由(1)，(2)可知，命题对于从 0开始的所有正整数 ， 可知 命题对于从n 开始的所有正整数n 都正确。 都正确。
二、讲授新课 思考：下列推理正确吗？ 思考：下列推理正确吗？ 在等差数列{a n } 中，已知首项为 a1 ，公差为 d ， a1 = a1 + 0 ⋅ d , a 2 = a1 + 1 ⋅ d , a3 = a1 + 2 ⋅ d , a4 = a1 + 3 ⋅ d , L an = ? L 归纳 点评： 点评： 这个结论是由不完全归纳法得到的， 这个结论是由不完全归纳法得到的，证明结果 不一定可靠！ 不一定可靠！ 讨论： 讨论： 如何运用完全归纳法证明上面的等差数列通项 公式是正确的？ 公式是正确的？ an = a1 + ( n − 1)d
1 1 1 2.用数学归纳法证明 : 1 + + + L + n < n(n ∈ N + , n > 1), 2 3 2 −1 第二步证明从" k到k + 1" , 左端增加的项数是 ( ) A.2k -1 B.2 k C .2 k − 1 D.2 k + 1
= [a1 + ( k − 1)d ] = a1 + [( k + 1) − 1]d
这就是说， 这就是说，当n=k+1时，等式也成立 时 n ∈ N ∗ 都成立． ），可知的等式对任何 都成立． 由（1）和（2），可知的等式对任何 ） ），
三、例题分析
1 + 3 + 5L + ( 2n − 1) = n 2 . 例1 用数学归纳法证明
用数学归纳法证明: 用数学归纳法证明 2 2＋4＋6＋…＋2n＝ n ＋n+1(n∈N)的步骤如下： 的步骤如下： ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ∈ 的步骤如下 证明： 证明：当n=1时，左边＝2，右边＝3，等式不成立； 时 左边＝ ，右边＝ ，等式不成立； 假设当n＝ 时等式成立 时等式成立。 假设当 ＝k时等式成立。 2 即 2＋4＋6＋…＋2k＝ k ＋k＋1 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ 哪错了 则 2＋4＋6＋…＋2k＋2（k＋1） ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ （ ＋ ） ？？？ 2 ＋ （ ＋ ＝ k ＋k＋1 ＋2（k＋1 ）k +1)2＋（ ＋1）＋ ＋（k＋ ）＋ ）＋1 ＝ ( 这就是说， 时等式成立。 这就是说，当n＝k＋1时等式成立。2 ＝ ＋ 时等式成立 根据数学归纳法2＋4＋6＋…＋2n＝ n＋n+1对n∈N都正确。 根据数学归纳法 ＋ ＋ ＋ ＋ ＝ 对 ∈ 都正确。 都正确 评析： 评析： 用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的。 用数学归纳法证明命题的两个步骤是缺一不可的。 没有步骤（ ）命题的成立就失去了基础； 没有步骤（1）命题的成立就失去了基础； 没有步骤（ ）命题的成立就失去了保证！ 没有步骤（2）命题的成立就失去了保证！
下面用数学归纳法证明等差数列通项公式： 下面用数学归纳法证明等差数列通项公式：
a n = a1 + ( n − 1) d
证明：（ ） 证明：（1）当n=1时， ：（ 时 左边 = a1 , 右边 = a1 + 0 ⋅ d = a1 , 等式是成立的． 等式是成立的． （2）假设当 时等式成立， ）假设当n=k时等式成立，就是a k = a1 + ( k − 1)d , 时等式成立 那么 a k +1 = a k + d
2 2 2 2
k (k + 1)(2k + 1)＋（k + 1 2 (k + 1)(2k 2 + 7 k + 6) ） 6 ＝ ＝ 6 6 (k + 1)(k + 2)(2k + 3) (k + 1)[(k + 1) + 1][2(k + 1) + 1] ＝ ＝ 6 6 即当 n ＝ k + 1时等式成立；
由 (1)( 2 )可得，对任意 n ∈ N * , 等式成立。
五、小结
数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。 数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。 某些与正整数有关的数学命题. 一、数学归纳法适用范围:某些与正整数有关的数学命题 数学归纳法适用范围 某些与正整数有关的数学命题 用数学归纳法证明命题的步骤： 二、用数学归纳法证明命题的步骤：
递推基础不可少，归纳假设要用到， 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明 莫忘掉
作业： 作业：
1.用数学归纳法证明 : 1 + a + a 2 + L + a n +1 (a ≠ 1)在验证 n = 1时, 左端计算所得的项为( A.1 B.1 + a ) D.1 + a + a 2 + a 3 C.1 + a + a 2
过程中, n=k”变到 (n≥2,n∈N )过程中,由“n=k 变到 n≥2,n∈ )过程中 n=k+1”时 “n=k+1”时，不等式左边的变化是 D （ ）： 1 1 1 (B) + ; + ( A) + ; 2k + 1 2k + 2 2( k + 1)
1 1 1 1 1 (C ) + ; ( D) + − . + − 2k + 2 k + 1 2k + 1 2k + 2 k + 1